Sayı

Sayı ya da numara, bir çokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir. Sayılar matematiğin harfleridir.

Sayıların sınıflandırılması, sayı sistemi

Sayı sistemi, matematikte herhangi bir sayılar kümesidir. Sayılar kümeler halinde sınıflandırılabilir:

Sayı sistemleri

$\scriptstyle \mathbb {N}$	Doğal	0, 1, 2, 3, 4, ... ya da 1, 2, 3, 4, ...
$\scriptstyle \mathbb {Z}$	Tam	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
-	Pozitif tam	1, 2, 3, 4, 5, ...
$\scriptstyle \mathbb {Q}$	Rasyonel	a ve b tam sayı ve b sıfır değil iken, a⁄b
$\scriptstyle \mathbb {R}$	Gerçek (Gerçel, Reel)	İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşimi
$\scriptstyle \mathbb {C}$	Karmaşık	a ve b gerçek sayılar ve i  −1'in karekökü iken, a + bi

Sayma sayılar

Ana madde: Sayma sayıları

Sayma sayıları boştan farklı bir kümenin elemanlarını azlık veya çokluk yönünden nitelemekten ziyade onların içindeki eleman miktarına göre verilen bir temsilciler kümesi olarak tanımlanır. Temsilcilere verilen isme kanonik temsilci denir. Her sayma sayısı aynı zamanda bir kanonik temsilcidir. Sayma sayılarına sıfırın dahil olmamasının sebebi boş kümenin içinde temsil edecek bir elemanın olmamasıdır.

$\scriptstyle \mathbb {N} ^{+}=\left\{1,2,3,...\right\}$

Doğal sayılar

Ana madde: Doğal sayılar

Doğal sayılar 0'dan başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır. Matematikte doğal sayılar kümesi $\scriptstyle \mathbb {N}$ ile gösterilir. Doğal sayılar ismi bu sayıların doğada görüp tanıdığımız sayılar olduğu fikrinden ileri gelmektedir. Doğal sayılar kümesi "0" ve pozitif tüm tam sayıların olduğu kümedir.

$\scriptstyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,5,6,7,...\}$

Tam sayılar

Ana madde: Tam sayılar

Tam sayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler. Yani "0"ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar. Tam sayılar kümesi $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ile gösterilir.

$\scriptstyle \mathbb {Z} =\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

Pozitif tam sayılar

Başında "+" işareti bulunan veya bir şey bulunmayan tam sayılar pozitif tam sayılar adını alırlar. Sayı ekseninde (sayı doğrusunda) 0'ın sağ yanında yer alırlar. Tüm sayma sayıları pozitif tam sayılardır. Pozitif tam sayılar kümesi $\scriptstyle \mathbb {Z} ^{+}$ ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlıdır:

$\scriptstyle \mathbb {Z} ^{+}=\{+1,+2,+3,+4,+5...\}$

Negatif tam sayılar

Başında "-" işareti olan tam sayılar negatif tam sayılar adını alırlar. Sayı ekseninde 0'ın sol yanında yer alırlar. Negatif tam sayılar kümesi $\scriptstyle \mathbb {Z} ^{-}$ ile gösterilir. Cebirde çıkarma işlemi bu sayıların diğer tam sayılarla toplanması olarak ifade edilir.

$\scriptstyle \mathbb {Z} ^{-}=\{...,-3,-2,-1\}$

Sıfır

Tam sayıdır.Sıfır (0) negatif veya pozitif bir tam sayı değildir.Bir uzlaşma noktasıdır. Bu iki kümeden herhangi birinde yer almaz. Ancak tam sayılar aşağıdaki gibi de tanımlanabilir:

$\scriptstyle \mathbb {Z} =\scriptstyle \mathbb {Z} ^{-}\cup \{0\}\cup \scriptstyle \mathbb {Z} ^{+}$

Sıfırın doğal sayı kabul edilmediği (akademik) çevreler azımsanmayacak kadar fazladır. Sıfırı dahil eden çevreler doğal sayılar kümesini $\scriptstyle \mathbb {N} _{(0)}$ sembolü ile gösterirler, sıfırı dahil etmeyen çevrelerse sıfırın dahil olmadığı sayma sayıları kümesini $\scriptstyle \mathbb {N} ^{+}$ ile gösterirler.

Rasyonel (oranlı) sayılar

Ana madde: Rasyonel sayılar

Oranlı sayılar veya rasyonel sayılar, tam sayılar kullanılarak oluşturulan oranlara denk gelen büyüklüklere denir. Yani, a ve b tam sayı ve sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar Q ile gösterilir. Rasyonel sayılar kesir veya ondalıklı sayı şeklinde ifade edilebilir: 1/3, 4,25 vb.

İrrasyonel (oransız) sayılar

Ana madde: İrrasyonel sayılar

Oransız sayılar veya irrasyonel sayılar ise a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Q' kümesi ile gösterilirler. Bu kümenin en bilinen üyesi pi sayısıdır. Hiçbir oranlı sayı oransız sayılar kümesine dahil değildir. Aynı şekilde hiçbir oransız sayı da oranlı sayılar kümesine dahil değildir.

Örnek

• $\pi \!$, $e\!$
• ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {3}}$

Gerçek sayılar

Ana madde: Reel sayılar

İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesini oluşturur. Bu kümeye reel sayılar veya gerçek sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dahil edilmişlerdir. Anlatılanlara göre Pisagor doğadaki tüm büyüklüklerin rasyonel sayılarla ifade edilebileceğini söylemekteydi. Fakat bulduğu hipotenüs eşitliğinin bir sonucu olarak $x^{2}=2$ gibi bir değerlerle karşılaştı. Uzun yıllar boyu bu tür sayıların uzun kesirlerle ifade edilebileceğini iddia etti ve göstermeye çalıştıysa da, öğrencilerinden birinin bunun gibi sayıların kesinlikle kesirli bir biçimde gösterilemeyeceğini ispat etmesiyle ikna oldu ama hayatı boyu bunun bir sır gibi gizlenmesi için çalıştı ve doğada gerçek sayıların yeri olmadığını söylemeye devam etti.

Gerçel sayılar, katsayıları tam sayılar ya da rasyonel sayılar olan polinomlar kümesinin çözümlerini göstermek için kullanılırlar. Bu bakımdan gerçel sayılar kümesi, tam sayı katsayılı polinomlar kümesi $\scriptstyle \mathbb {Z} [x]$in bir cisim genişlemesidir.

Gerçek sayılar kümesi $\scriptstyle \mathbb {R}$ harfi ile ifade edilir.

Karmaşık sayılar

Ana madde: Karmaşık sayılar

Tüm cebirsel denklemleri çözebilmek için reel sayılar tekrar genişletilirse karmaşık sayılar veya kompleks sayılar kümesi elde edilir. Karmaşık sayıların sembolü $\scriptstyle \mathbb {C}$dir. Rönesans döneminde gerçekleşen cebirsel denklemlerin çözüm metotlarındaki ilerlemelerin bir uzantısı olarak sayı kavramına eklenmişlerdir. Gerçek olmayan sayılar fikri reel sayılar kümesinde karşılığı olmayan -1 sayısının karekökünden gelmektedir. Bu sayı "i" sembolü ile gösterilir ve karesi -1 olarak kabul edilir.

Sınıflama özeti

Matematiksel notasyonda yukarıdaki bütün semboller büyük harfle ve kalın olarak yazılır.

$\scriptstyle \mathbb {N} \subset \scriptstyle \mathbb {Z} \subset \scriptstyle \mathbb {Q} \subset \scriptstyle \mathbb {R} \subset \scriptstyle \mathbb {C}$

Bir tablo olarak sayılar için şöyle sınıflandırma yapılabilir:

$\scriptstyle \mathbb {C} {\mbox{ Karmaşık}}{\begin{cases}\scriptstyle \mathbb {R} &{\mbox{Gerçek}}{\begin{cases}\scriptstyle \mathbb {Q} &{\mbox{Rasyonel}}{\begin{cases}\scriptstyle \mathbb {Z} &{\mbox{Tam sayılar}}{\begin{cases}\scriptstyle \mathbb {N} &{\mbox{Doğal Sayılar}}\\\end{cases}}\\&{\mbox{Oranlı}}\end{cases}}\\&{\mbox{İrrasyonel}}\end{cases}}\\jjj&{\mbox{Sanal}}\end{cases}}$

Diğer Tip Sayılar

Bu sayılara ek olarak matematikte, kümeler teorisinin uğraş alanında olan ordinal sayılar ve kardinal sayılar da sayı kavramının genişletilmesiyle elde edilmişlerdir. Bütünleme tekniğinin değişik bir uygulanmasıyla elde edilen p-sel sayılar ve reel sayılara sonsuz küçükler ve büyüklerin eklenmesiyle elde edilen sürreel sayılar da sayı kavramının parçaları olarak düşünülürler.

Sayı (dilbilim)

Dilbilim alanında sayılar ya da sayı adları, biçimbilimsel (morfolojik) olarak bağımsız bir sözcük kategorisidir.

Türkçede sayı türleri

• asal sayılar (iki, üç ,beş, yedi ...)
• sıra sayıları (onuncu, yüzüncü ...)
• üleştirme sayıları (ikişer, onar ...)
• kesir sayıları (beşte bir ...)

Sayı sıfatı

Dilbilimde, sayı kavramı içeren sıfatlara sayı sıfatı denir (örneğin on yıl, ikinci gün, birer kişi dizimlerindeki on, ikinci, birer sözcükleri).