i sayısı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
i sayısı'nın kuvvetleri ile tekrarlanan döngü:
\ldots (tekrarlanan desen mavi bölgedir)
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
i^5 = i\,
i^6 = -1\,
\ldots (tekrarlanan desen mavi bölgedir)

i sayısı reel sayılar ile belirtilemeyen, i^2=-1 eşitliğini sağlayan sayıdır. Zihin yapımız zıtlıklar üzerine kurgulanmıştır.Bir niceliği veya niteliği betimlerken fazlası eksiği,katı,karesi ,karekökü, vb. gibi kıyaslamalarla ifade etmeye çalışırız.Fazlası demişsek pozitif kavramını eksiği demişsek negatif kavramını zaten tanımlamışızdır,karesi demişsek zıt kavramı olan karekökü varmıdır?karekökü demişsek karesi varmıdır?diye düşünürüz,işte i=\sqrt{-1} böyle bir kıyaslamanın gereği olarak çıkmıştır,benzer şekilde {0!}\, Gama fonksiyonu'nun tanımlanmasına neden olmuştur örneğin \Gamma(1/2) anlamlıyken,(1/2)! anlamsızdır,ama \Gamma(n+1)=n! dir,fark(fazlası,eksiği) ve oran(tersi) kavramlarını bir arada kullanarak başlangıçta anlamsız görünen ifadelerden yeni fonksiyonlar türetebiliyoruz.

Matematikte ,fizikte ve teknolojide latince i yunanca j olarak gösterilen imajiner birimdir(bakınız alternatif gösterimler) ve gerçel sayılar kümesi, Kompleks Sayılar kümesi

\mathbb{C}. 'ye
\mathbb{R}, uzantısıyla bağlıdır.

Gerçek katsayılı her polinomal denklem f(x) = 0 'ın reel çözümünün olmaması bu uzantının anlaşılabilmesi için temel kolaylıktır.Özel olarak x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek çözümünün olmaması gibi. Ancak sıfırıncı dereceden olmayan polinomal denklemler f(x) = 0 için kompleks sayılar sisteminde bir çözümü vardır.(bakınız cebrik kapalılık ve cebirin temel teoremi.) İmajiner birimin tarihi için (bakınız kompleks sayıların tarihçesi.) İmajiner birim sıklıkla "-1'in karekökü"(yani i ve −i) olarak tanıtlanır.

Tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

i sayısı reel sayılar ile belirtilemeyen, i^2=-1 eşitliğini sağlayan sayıdır.

Lise kitaplarında i=\sqrt{-1} olarak tanımlansa da doğru tanım i^2=-1 olmalıdır.

İmajiner sayı i, sadece karesi -1 olan sayı olarak tanımlanır.Böylece i ikinci dereceden bir denklemin çözümüdür.

x^2 + 1 = 0, \

veya eşdeğeri,

x^2 = -1. \

Eğer bu tür bir manipulasyonla bilinmeyen değer(imajiner) değer i olarak tanımlanacaksa bu ikinci derece denklemin ikinci çözümü -i olacaktır.imaginer kavramının mimarisi açısndan bu önemlidir.Ama bu hayali sayıları kavramak zordur buna rağmen matematiksel açıdan mükemmel bir değerdir.

Burada i ile gösterim aslında i'nin ne olduğu sorununu çözmüş değildir i yerine x'da alınabilirdi.Ancak cebirsel denklemlerde i yerine x ile gösterim birtakım karışıklıklara sebep olurdu,onun için x yerine i manipulasyonu yapılmıştır.

Reel sayılar bu bilinmeyen uzantı ile imaginer ve ve kompleks sayılara genişletilebilir,î^2 , -1 le birbirinin yerine kullanılabilir:

i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,
i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,
i^5 = i^4 i = (1) i = i. \,

i ve -i[değiştir | kaynağı değiştir]

x^2+1= 0 polinomu dışında başka hiçbir ikinci derece polinomunda çok katlı ve kökleri birbirlerini destekleyen ve tersi olacak böyle bir özellik yoktur. i ve -i'nin birbirlerine eşit olmadığı -bir çözümdür- ve kanıtlanabilir,denklemin çözümünü sadece i olarak vermek belirsizlik ortaya çıkarır.Ancak i ve -i niceliksel ve niteliksel olarak kıyaslamada kullanılamaz.Heriki imajiner sayının kareleri -1 dir. x^2+1= 0 bağıntısında köklerde birisi daha notasyonel olsa da hiçbiri daha öncelikli kabul edilemez. Bu konularda en hassas açıklama karmaşık düzlemde tanımlanan R[X]/ (X2 + 1),izomorfizmdir,nerdeyse böyle eşsiz bir izomorfizm yoktur. R[X]/ (X2 + 1)'de X dan −X a birbirine eş iki otomorfik düzlem vardır. Bakınız complex number, complex conjugation, field automorphism, ve Galois group. Kompleks sayılar 2 × 2 reel matrisinde yorumlanırsa matrisler (bkz. Kompleks Sayılar),benzer sorunlar doğar,çünkü burada;

 X^2 = -I. \

matris denkleminin çözümü

X = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & \;\; 0 
\end{pmatrix}

ve

X = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & \;\; 0 
\end{pmatrix}

şeklindedir. Tüm bu belirsizlikleri çözmek için kompleks sayılardaki imajiner birim tanımına sadık kalmalıyız. Örneğin iki boyutlu vektörlerin inşasında (0,1) vektörü kullanılır.

Doğru kullanım[değiştir | kaynağı değiştir]

The imajiner birim bazen uzman matematik bağlamlarında \sqrt{-1} olarak yazılır. (veya daha az uzman fakat popular bağlamda ). Ancak,kök bulmak gibi durumlarda manipüle şekli kullanılmaktadır.Çünkü prensip olarak karekök fonksiyon,yalnızca x ≥ 0, gerçel durumlar için tanımlanır,veya disipliner bir şekilde kompleks karekök fonksiyon olarak ele alınmalıdır.Eğer kompleks karekök fonksiyon manipulasyonu yapılmazsa yanlış sonuçlar çıkabilir:

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1    (tutarsız).

tutarlı bir yöntemin pozitif ve negatif kökler için çıkardığı farklı sonuçlar:

-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1   (farklılık).

Hesaplama kuralı

a and b'nin yalnızca negatif olmayan gerçel değerleri için
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}. geçerlidir.

Bu tür hataların önüne geçmek için, bir strateji olarak kare kök işareti altında negatif bir sayı asla kullanılmamalıdır,örneğin

\sqrt{-7}, yerine i\sqrt{7} yazılmalıdır.

i sayısı'nın karekökü[değiştir | kaynağı değiştir]

imajiner birimin karekökünü karmaşık sayılar içinde ifade edebilmek için iki rakam gereklidir.Ancak bu gerekli değildir: :[1]

 \pm \sqrt{i} = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i). ,

çünkü : \pm \sqrt{i} ifadesini kullanmak daha pratiktir.

\left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \
= \frac{1}{2} (1 + i)(1 + i) \
= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \quad \quad \quad (i^2 = -1) \
= \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \
= \frac{1}{2} (2i) \
= i. \

i sayısı'nın tersi[değiştir | kaynağı değiştir]

i'nin tersi kolaylıkla bulunur.:

\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i

Bütün kompleks sayıların bölmesinde i 'nin kullanılan şekli :

\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai

i sayısı'nın kuvvetleri[değiştir | kaynağı değiştir]

i sayısının kuvvetleriyle tekrarlanan evresi:

\ldots
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
\ldots

Herhangi bir n tamsayısına eklenen değerler şu açılım desenlerini verir:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,

sonuç olarak

i^n = i^{n \bmod 4}\,

Burada mod 4 gösterimi aritmetik modül 4.

Euler formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Euler formülü

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \, ,şeklindedir.

burada x gerçel bir sayıdır. Bu formülde kompleksx analitik olarak gösterilebilir.

x = π alınırsa

e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i0 \,

ve Euler özdeşliği:

e^{i\pi} + 1 = 0.\,

zarif bir şekle gelir. Bu basit özdeşlikte beş farklı değeri bir arada bulabiliriz(0, 1, π, e, ve i) ve temel operatörler toplama,çarpma,üs alma'da bir aradadır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

x = π/2 − 2πN, alalım burada N herhangi bir sayıdır.

e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i.\,

veya, i,yi üs yaparak

e^{i i(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,

veya

e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,,
e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,,
i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}\,

burada N herhangi bir tamsayıdır. Bu değer gerçel, ama eşitsizlikle

sonuçlanmamıştır.

N = 0 olarak girildiğinde;

i^i = e^{-\pi/2} = .207879576....\,

Diğer birkaç örnek

lni = i\pi/2 \,
i.ln(i) = -\pi/2 \,
i^{ln(i)} =e^{({lni})^2}= e^{-\pi^{2}/4}=0,1076929315 \,

i sayısı ile yapılan işlemler[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçel sayılarla birlikte i;üs alma, kök alma, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlu birçok matematiksel işlemlerde bir arada kullanılabilir.

Bir sayının ni inci kuvveti:

 \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)).

Bir sayının niinci kuvvetten kökü :

 \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).

Bir sayının imajiner-tabanlı logaritma'sı :

 \log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}.

görüldüğü gibi i tabanlı log herhangi tabanlı gibi tanımlı değil

i 'li cos gerçel bir sayıdır:

 \cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.

ve i 'li sin imajinerdir:

 \sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.

Alternatif gösterimler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • elektrik mühendisliği ve diğer alanlarda, zamanın bir fonksiyonu olani(t) veya sadece i olan elektrik akımı ile karıştırılmaması için imajiner birim j\, seçilmiştir. Ancak Python programlama dili'ndede imajiner birim j olarak kullanılır. ise, i ve j gösterimlerini aynı şekilde algılar.
  • Bazı özel incelem durumları içeren ders kitaplarında ise j = −i, alma ihtiyacı vardır.
özellikle hareketli dalgalar (e.g. x yönünde hareket eden düzlem dalga için
e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)} \,).
  • Bazı yazılarda yazıyla imaijner birim'le karıştırmamak için ( ι ) kullanılır .örnek: .

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]