Determinant

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:

matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: .

Basit bir örnek olarak,

matrisinin determinantı şudur:

Determinantın açık tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:

.

Determinant ve geometri[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d), ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

Determinantın temel özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Birim matrisin determinantı birdir:
  • Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:
.
  • det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A−1 tanımlıdır. Bu durumda:
.
  • A ve B benzer matrisler olsun: ve dönüşüm matrisi X in tersi tanımlı olsun. Bu durumda:
.
  • Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:
.
  • Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:
.

Kalıp Matrisler (Blok matrisler)[değiştir | kaynağı değiştir]

Boyutları n×n, n×m, m×n, ve m×m olan A, B, C, ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C, ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

denkliği yazılabilir, ve burdan determinant

şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etimiş oluruz.

Ayrıca,

C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, .

A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, .

B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, .

A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, .

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]