Determinant

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:

 \begin{bmatrix}a&b&c\\
d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir:  \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}\ .

Basit bir örnek olarak,


A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}\,

matrisinin determinantı şudur

\det A = ad - bc.\

Determinantın açık tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:

\det(A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j}.

Determinant ve geometri[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d), ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

Determinantın temel özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Birim matrisin determinantı birdir:
 \begin{vmatrix}1&0&\ldots&0\\

0 & 1 & \ldots & 0\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

0 &0&\ldots&1\end{vmatrix} = 1.
  • Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:
\mathsf{\det(AB) = \det (A) \det (B)}.
  • det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A-1 tanımlıdır. Bu durumda:
\mathsf{\det(A^{-1}) = \left(\det (A)\right)^{-1}}.
  • A ve B benzer matrisler olsun: \textstyle\mathsf{A = X^{-1}BX} ve dönüşüm matrisi X in tersi \textstyle\mathsf{X^{-1}} tanımlı olsun. Bu durumda:
\mathsf{\det(A) = \det(X)^{-1} \det(BX) = \det(X)^{-1} \det(B)\det(X) = \det(B) \det(X)^{-1} \det(X) = \det(B)}.
  • Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:
\mathsf{\det(A^\mathrm{T}) = \det (A)}.
  • Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:
\mathsf{\det(\alpha A) = \alpha^ndet(A)}.

Kalıp Matrisler (Blok matrisler)[değiştir | kaynağı değiştir]

Boyutları n×n, n×m, m×n, ve m×m olan A, B, C, ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C, ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& 0\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ 0& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(A) \det(D)} .

Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathsf{A}& 0\\ \mathsf{C}& \mathsf{I}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathsf{I}& \mathsf{A}^{-1} \mathsf{B}\\ 0& \mathsf{D - C A^{-1} B}\end{pmatrix}

denkliği yazılabilir, ve burdan determinant

\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(A) \det(D - C A^{-1} B)} .

şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etimiş oluruz.

Ayrıca,

C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(AD - BC)}.

A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(AD - CB)}.

B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(DA - BC)}.

A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(DA - CB)}.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]