Çarpma

Torba başına üç misket bulunan dört torba, on iki misket eder (4 × 3 = 12).

Çarpma, ölçekleme olarak da düşünülebilir. Burada 2, ölçekleme kullanılarak 3 ile çarpılmakta ve sonuç olarak 6 elde edilmektedir.

Çarpma, aritmetik işlemlerinin dört temelinden biridir; diğerleri toplama, çıkarma ve bölmedir. Bir çarpma işleminin sonucuna çarpım denir. Çarpma genellikle çarpı sembolü ×, orta nokta işleci ⋅, yan yana yazma ile ya da programlama dillerinde yıldız işareti * ile gösterilir.

Tam sayıların çarpımı, tekrarlı toplama olarak düşünülebilir; yani iki sayının çarpımı, sayılardan birinin (çarpılan), diğerinin (çarpan) belirttiği miktar kadar kendisiyle toplanmasına eş değerdir. Her iki sayı da çarpanlar (veya faktörler) olarak adlandırılabilir.

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ kere}}}.$

İlk çarpanın çarpan mı yoksa çarpılan mı olduğu belirsiz olabilir ya da bağlama bağlı olabilir. Örneğin, $3\times 4$ ifadesi "3 kere 4" diye söylenip $4+4+4$ olarak değerlendirilebilir; burada 3 çarpandır, ancak "3'ün 4 ile çarpımı" olarak da ifade edilebilir; bu durumda 3 çarpılan olur. Çarpmanın başlıca özelliklerinden biri değişme özelliğidir; bu, bu durumda 4'ün 3 kopyasını toplamanın, 3'ün 4 kopyasını toplamakla aynı sonucu verdiğini söyler. Dolayısıyla çarpan ve çarpılanın adlandırılması çarpma sonucunu etkilemez.

Bu temel tanımın sistematik genellemeleri, tam sayıların (negatif sayılar dahil), rasyonel sayıların (kesirler) ve reel sayıların çarpımını tanımlar.

Çarpma, (tamsayılar için) bir dikdörtgen biçiminde düzenlenmiş nesneleri saymak olarak ya da kenarları verilen uzunluklara sahip bir dikdörtgenin alanını bulmak olarak da görselleştirilebilir. Bir dikdörtgenin alanı, hangi kenarın önce ölçüldüğüne bağlı değildir—bu, değişme özelliğinin bir sonucudur.

İki ölçümün (veya fiziksel niceliklerin) çarpımı, genellikle türetilmiş bir ölçü birimi ile, yeni bir ölçüm türüdür (veya yeni bir niceliktir). Örneğin, bir dikdörtgenin iki kenarının uzunluklarını (metre ya da fit cinsinden) çarpmak, alanını (metrekare ya da fitkare cinsinden) verir. Böyle bir çarpım, boyut analizinin konusudur.

Çarpmanın ters işlemi bölmedir. Örneğin, 4 ile 3'ün çarpımı 12 olduğundan, 12'nin 3'e bölümü 4'tür. Nitekim, 3 ile çarpmanın ardından 3'e bölmek, başlangıçtaki sayıyı verir. 0 dışındaki bir sayının kendisine bölümü 1'dir.

Bazı matematiksel kavramlar, çarpmanın temel fikrini genişletir. Bir dizinin çarpımı, vektör çarpımı, karmaşık sayılar ve matrisler, bunun görülebileceği örneklerdendir. Bu daha ileri yapılar, temel özellikleri kendi yollarıyla etkiler; örneğin matrislerde ve vektör çarpımının bazı türlerinde değişmeli olmaması ya da karmaşık sayıların işaretini değiştirmesi gibi.

Simgelem

Ana madde: Çarpma işareti

Aritmetikte, çarpma çoğu zaman çarpanların arasına çarpma işareti (ya × ya da $\times$) konarak (yani içtakı gösterimi ile) yazılır. Örneğin,

$2\times 3=6,$ ("iki kere üç eşittir altı")

$3\times 4=12,$

$2\times 3\times 5=6\times 5=30,$

$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.$

Çarpma için başka matematiksel simgelemler de vardır:

• Çarpma işareti × ile yaygın değişken x arasındaki karışıklığı azaltmak için, çarpma nokta işaretleriyle de gösterilir; genellikle bu işaret ortada bir nokta ya da nadiren nokta olur: $5\cdot 2$. Orta nokta gösterimi veya nokta operatörü artık ABD'de ve diğer ülkelerde standarttır. Nokta operatörü karakterine erişilemediğinde orta nokta (·) kullanılır. Virgülü ondalık işareti olarak (ve noktayı binlik ayracı olarak) kullanan Avrupa ülkelerinin çoğunda ve diğer ülkelerde çarpma işareti veya orta nokta çarpmayı göstermek için kullanılır. Tarihsel olarak Birleşik Krallık ve İrlanda'da orta nokta, çizgili satırda kaybolmasını önlemek için bazen ondalık ayıracı olarak kullanılırdı ve çarpma için nokta kullanılırdı. Ancak İngiltere'de Teknoloji Bakanlığı 1968'de ondalık ayıracı olarak noktanın kullanılmasına karar verdiğinden ve International System of Units (SI) standardı o zamandan beri yaygın biçimde benimsendiğinden, bu kullanım artık yalnızca The Lancet gibi daha geleneksel dergilerde görülmektedir.
• Cebirde, değişkenleri içeren çarpma çoğu zaman bir yan yana yazım (ör. $xy$, $x$ ile $y$'nin çarpımı için; ya da beş ile $x$'in çarpımı için $5x$) olarak yazılır; buna örtük çarpma da denir. Bu gösterim parantez içine alınmış nicelikler için de kullanılabilir (ör. $5(2)$, $(5)2$ ya da beş ile ikinin çarpımı için $(5)(2)$). Çarpmanın bu örtük kullanımı; yan yana yazılan değişkenler başka bir değişkenin adıyla çakıştığında, parantez önündeki bir değişken adı bir fonksiyon adıyla karıştırılabildiğinde veya işlem önceliğinin doğru belirlenmesinde belirsizliğe yol açabilir.
• Vektör çarpımında çarpı ve nokta sembolleri arasında bir ayrım vardır. Çarpı sembolü genellikle iki vektörün vektörel çarpımının alınmasını ve sonuç olarak bir vektör elde edilmesini gösterirken, nokta, iki vektörün skaler çarpımının alınmasını ve sonuç olarak bir skaler elde edilmesini gösterir.

Bilgisayar programlamasında asterisk (5*2'daki gibi) hâlâ en yaygın gösterimdir. Bunun nedeni, tarihsel olarak çoğu bilgisayarın çarpma işareti (ör. × ya da ⋅) içermeyen küçük karakter kümesileriyle (ör. ASCII ve EBCDIC) sınırlı olmasıydı; oysa yıldız işareti her klavyede bulunuyordu. Bu kullanım FORTRAN programlama dilinde ortaya çıkmıştır. (Hatta modern derleyiciler bile × veya ⋅ işaretlerini çarpma operatörü olarak tanımaz.)

Çarpılacak sayılara genel olarak "çarpanlar" denir (çarpanlara ayırmadaki gibi). Çarpılan sayı "çarpılan", onunla çarpılan sayı ise "çarpan"dır. Genellikle çarpan önce, çarpılan sonra yazılır; ancak bazen birinci çarpan çarpılan ve ikinci çarpan çarpan olarak kabul edilir. Ayrıca, çarpmanın sonucu çarpanların sırasına bağlı olmadığından, "çarpılan" ile "çarpan" arasındaki ayrım yalnızca çok temel bir düzeyde ve çarpma algoritmalarının bazılarında, örneğin uzun çarpmada (long multiplication) yararlıdır. Bu nedenle bazı kaynaklarda "çarpılan" terimi "çarpan" ile eşanlamlı kabul edilir. Cebirde, bir değişkenin ya da ifadenin çarpanı olan sayıya (ör. $3xy^{2}$ ifadesindeki 3) katsayı denir.

Bir çarpmanın sonucuna çarpım denir. Çarpanlardan biri bir tam sayı olduğunda, çarpım diğerinin ya da diğerlerinin çarpımının bir katıdır. Dolayısıyla $2\times \pi$, $\pi$'ın bir katıdır; $5133\times 486\times \pi$ da öyledir. Tam sayıların bir çarpımı her çarpanın katıdır; örneğin 15, 3 ile 5'in çarpımıdır ve hem 3'ün hem de 5'in katıdır.

Tanımlar

İki sayının çarpımı ya da iki sayı arasındaki çarpma işlemi, yaygın bazı özel durumlar için tanımlanabilir: doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar, karmaşık sayılar ve kuaterniyonlar.

İki doğal sayının çarpımı

3 çarpı 4, 12'dir.

İki doğal sayının $r,s\in \mathbb {N}$ çarpımı şu şekilde tanımlanır:

$$r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ kere}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ kere}}}.$$

İki tamsayının çarpımı

Bir tam sayı ya sıfır, ya sıfır olmayan bir doğal sayı ya da sıfır olmayan bir doğal sayının eksi işaretlisi olabilir. Sıfır ile başka bir tam sayının çarpımı her zaman sıfırdır. Sıfır olmayan iki tam sayının çarpımı, bunların pozitif büyüklüklerinin çarpımı ile, aşağıdaki kurala göre belirlenen işaretin birleştirilmesiyle belirlenir:

×	+	−
+	+	−
−	−	+

(Bu kural, çarpmanın toplamaya göre dağılımlılığının bir sonucudur ve ek bir kural değildir.)

Sözcüklerle ifade edilirse:

• Pozitif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı pozitiftir (doğal sayıların çarpımı),
• Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatiftir,
• Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı negatiftir,
• Negatif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı pozitiftir.

İki kesrin çarpımı

İki kesir, payları ve paydaları çarpılarak çarpılabilir:

$${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},$$

ki bu, $n,n'\neq 0$ olduğunda tanımlıdır.

İki reel sayının çarpımı

Reel sayıları biçimsel olarak tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır. Çarpmanın tanımı bu tanımların hepsinin bir parçasıdır.

Bu tanımların temel bir yönü; her reel sayının, rasyonel sayılarla istenilen hassasiyette yaklaşık olarak ifade edilebilmesidir. Bunu ifade etmenin standart bir yolu, her reel sayının bir rasyonel sayılar kümesinin en küçük üst sınırı olduğunu belirtmektir. Özellikle, her pozitif reel sayı, sonsuz ondalık gösterimin kırpmalarının en küçük üst sınırıdır; örneğin, $\pi$, $\{3,\;3.1,\;3.14,\;3.141,\ldots \}.$'nin en küçük üst sınırıdır.

Reel sayıların temel bir özelliği, rasyonel yaklaştırmaların aritmetik operasyonlarla ve özellikle çarpmayla uyumlu olmasıdır. Bu, eğer a ve b, $a=\sup _{x\in A}x$ ve $b=\sup _{y\in B}y,$ olacak şekilde pozitif reel sayılar ise, o zaman $a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.$ olduğu anlamına gelir. Özellikle, iki pozitif reel sayının çarpımı, ondalık gösterimlerinin dizilerinin terim terim çarpımlarının en küçük üst sınırıdır.

İşaretlerin değiştirilmesi en küçük üst sınırları en büyük alt sınırlara dönüştürdüğünden, bir veya iki negatif sayı içeren bir çarpma ile başa çıkmanın en basit yolu, yukarıda § iki tamsayının çarpımı içinde açıklanan işaret kuralını kullanmaktır. Reel sayıların Cauchy dizisi aracılığı ile inşası, olası dört işaret düzenlemesini dikkate almaktan kaçınmak için sıklıkla tercih edilir.

İki karmaşık sayının çarpımı

İki karmaşık sayı, dağılım yasası ve $i^{2}=-1$ gerçeği kullanılarak aşağıdaki gibi çarpılabilir:

${\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}$

Kutupsal koordinatlarda bir karmaşık sayı

Karmaşık çarpmanın geometrik anlamı, karmaşık sayılar kutupsal koordinatlar cinsinden yeniden yazılarak anlaşılabilir:

$a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }$

Ayrıca,

$c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },$

buradan

$(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.$

elde edilir.

Geometrik anlamı, büyüklüklerin çarpılması ve argümanların toplanmasıdır.

İki dördeyin (kuaterniyon) çarpımı

İki dördeyin çarpımı dördeyler hakkındaki maddede bulunabilir. Bu durumda, genel olarak $a\cdot b$ ve $b\cdot a$ ifadelerinin farklı olduğu hatırlanmalıdır.

Hesaplama

Ana madde: Çarpma algoritmaları

The Educated Monkey—1918 tarihli bir teneke oyuncak, çarpma "hesaplayıcısı" olarak kullanılmıştır. Örneğin: maymunun ayaklarını 4 ve 9'a ayarlayın ve ellerinde çarpımı—36—elde edin.

Kalem ve kâğıt kullanarak sayıları çarpmaya yönelik birçok yaygın yöntem, küçük sayıların (genellikle 0'dan 9'a kadar herhangi iki sayı) ezberlenmiş veya bakılarak bulunmuş çarpımlarından oluşan bir çarpım tablosu gerektirir. Ancak bir yöntem, köylü çarpımı algoritması, bunu gerektirmez. Aşağıdaki örnek "uzun çarpma"yı ("standart algoritma", "ilkokul çarpması") göstermektedir:

      23958233
×         5830
———————————————
      00000000 (=      23,958,233 ×     0)
     71874699  (=      23,958,233 ×    30)
   191665864   (=      23,958,233 ×   800)
+ 119791165    (=      23,958,233 × 5,000)
———————————————
  139676498390 (= 139,676,498,390    )

Almanya gibi bazı ülkelerde, yukarıdaki çarpma işlemi benzer şekilde gösterilir; ancak özgün problem tek bir satırda yazılır ve hesaplama çarpanın ilk basamağından başlayarak yapılır:

23958233 · 5830
———————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000
———————————————
   139676498390

El ile birkaç ondalık basamaktan daha fazla olacak şekilde sayı çarpmak zahmetlidir ve hataya açıktır. Adi logaritmalar bu tür hesaplamaları basitleştirmek için icat edilmiştir, çünkü logaritmaları toplamak çarpmaya eşdeğerdir. Sürgülü cetvel sayıları yaklaşık üç basamak doğrulukla hızlıca çarpmaya olanak tanırdı. 20. yüzyılın başlarından itibaren, Marchant gibi mekanik hesap makinesiler 10 basamağa kadar sayıların çarpımını otomatikleştirdi. Modern elektronik bilgisayarlar ve hesap makineleri, el ile çarpma gereksinimini büyük ölçüde azaltmıştır.

Tarihsel algoritmalar

Çarpma yöntemleri, antik Mısırlı ve Çin uygarlıklarının yazılarında belgelenmiştir.

Yaklaşık MÖ 18.000 ile 20.000 arasına tarihlenen İşango kemiği, Orta Afrika'da Üst Paleolitik çağda çarpma bilgisine işaret ediyor olabilir, ancak bu spekülatiftir.

Mısırlılar

Ana madde: Antik Mısır çarpımı

Rhind Papirüsü'nde belgelenmiş olan Mısırlıların tam sayıların ve kesirlerin çarpımına ilişkin yöntemi, ardışık toplama ve ikiye katlamaya dayanıyordu. Örneğin, 13 ile 21'in çarpımını bulmak için 21'i üç kez ikiye katlamak gerekiyordu; böylece 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168 elde ediliyordu. Tam çarpım daha sonra ikiye katlama dizisinde bulunan uygun terimler toplanarak bulunabiliyordu:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babilliler

Babilliler modern ondalık sisteme benzer bir altmışlık konumsal sayı sistemi kullanıyordu. Bu nedenle, Babil çarpması modern ondalık çarpmaya çok benzerdi. 60 × 60 farklı çarpımı hatırlamanın göreli zorluğu nedeniyle, Babil matematikçileri çarpım tabloları kullandılar. Bu tablolar, belirli bir ana sayının n ilk yirmi katının bir listesinden oluşuyordu: n, 2n,..., 20n; ardından 10nin katları: 30n 40n ve 50n. Daha sonra herhangi bir altmışlık çarpımı, örneğin 53ni hesaplamak için, tablodan hesaplanan 50n ve 3ni toplamak yeterliydi.

Çin

Ayrıca bakınız: Çin çarpım tablosu

38 × 76 = 2888

MÖ 300'den önceye tarihlenen matematik metni Zhoubi Suanjing ile Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm adlı eserde, çarpma hesaplamaları sözcüklerle yazılıyordu; ancak erken dönem Çinli matematikçiler, basamak değerine dayalı toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi içeren çubuk kalkülüsü kullanıyordu. Çinliler, Savaşan Devletler Çağı döneminin sonuna gelindiğinde zaten bir ondalık çarpım tablosu kullanıyordu.

Modern yöntemler

45 x 256 = 11.520 işleminin Çin metodu ile çözümü. Bu yöntemde çarpılacak sayılar basamaklarına ayrılarak sütun ve satır başlarına yazılır. Her bir kutu çaprazlamasına ikiye bölünür. Satır ile sütunların çarpımları iki üçgen bölüme yerleştirilir. Örneğin şekilde 5 ve 2'nin çarpımı 1 ve 0 olarak ilk iki üçgene yerleştirilmiştir. Daha sonra çapraz kolonlar toplanır. Örneğin 5 + 3 + 4 = 12 işleminin birler basamağı olan 2 rakamı en sağa yazılmıştır ve 1 rakamı hemen solundaki çapraz kolona devretmiştir. Toplamalar da tamamlandıktan sonra soldan sağa en dıştaki rakamlar (koyu yazılanlar) işlemin sonucunu verir.

Hint-Arap rakam sistemine dayanan modern çarpma yöntemi ilk olarak Brahmagupta tarafından tanımlandı. Brahmagupta, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme için kurallar verdi. O dönemde Princeton University'nde matematik profesörü olan Henry Burchard Fine şunları yazdı:

Hintliler, yalnızca basamak değerli ondalık sistemin kendisinin değil, aynı zamanda bu sistemle yapılan temel hesaplamalardaki süreçlerin çoğunun da mucitleridir. Toplama ve çıkarmayı günümüzde yapıldığı gibi yapıyorlardı; çarpmayı, bizimkiler de dahil olmak üzere, birçok yolla gerçekleştiriyorlardı; ancak bölmeyi hantal bir biçimde yapıyorlardı.

Bu basamak değerli ondalık aritmetik algoritmaları, 9. yüzyılın başlarında Hârizmî tarafından Arap ülkelerine tanıtıldı ve 13. yüzyılda Fibonacci tarafından Batı dünyasında yaygınlaştırıldı.

Izgara yöntemi

Izgara yöntemi ile çarpma (grid method multiplication) veya kutu yöntemi, birden çok basamaklı çarpmanın nasıl işlediğine dair bir anlayışın öğretilmesine yardımcı olmak için İngiltere ve Galler'deki ilkokullarda ve Amerika Birleşik Devletleri'nin bazı bölgelerinde kullanılır. 34 ile 13'ün çarpılmasına bir örnek, sayıları aşağıdaki gibi bir ızgarada düzenlemek olabilir:

×	30	4
10	300	40
3	90	12

ve ardından girdiler toplanır.

Bilgisayar algoritmaları

Ana madde: Çarpma algoritmaları

İki n basamaklı sayıyı çarpmanın klasik yöntemi, n² basamak çarpımı gerektirir. Büyük sayıları çarparken hesaplama süresini önemli ölçüde azaltan çarpma algoritmaları tasarlanmıştır. Ayrık Fourier dönüşümüne dayanan yöntemler hesaplama karmaşıklığını O(n log n log log n)'ye indirger. 2016'da, log log n çarpanı, hâlâ sabit olmasa da çok daha yavaş artan bir fonksiyonla değiştirildi. Mart 2019'da David Harvey ve Joris van der Hoeven, karmaşıklığı $O(n\log n)$ olan bir tam sayı çarpma algoritması sunan bir makale sundu. Algoritmanın, yine hızlı Fourier dönüşümüne dayalı olarak, asimptotik olarak optimal olduğu varsayılmaktadır. Algoritma pratikte kullanışlı değildir, çünkü yalnızca son derece büyük sayıların (2¹⁷²⁹¹² bitten fazla olan) çarpılmasında daha hız kazandırır.

Ölçüm çarpımları

Ana madde: Boyut analizi

Yalnızca aynı türden nicelikler anlamlı bir şekilde toplanabilir veya çıkarılabilir, ancak farklı türden nicelikler sorun olmaksızın çarpılabilir ya da bölünebilir. Örneğin, her birinde üç bilye bulunan dört torba şöyle düşünülebilir:

[4 torba] × [torba başına 3 bilye] = 12 bilye.

İki ölçüm çarpıldığında, çarpımın türü ölçümlerin türlerine bağlıdır. Genel kuram boyut analizi tarafından verilir. Bu analiz fizik alanında rutin olarak uygulanır, ancak finans ve diğer uygulamalı alanlarda da uygulamaları vardır.

Fizikte yaygın bir örnek, sürat ile zamanın çarpılmasının mesafeyi vermesidir. Örneğin:

50 kilometre/saat × 3 saat = 150 kilometre.

Bu durumda, saat birimleri sadeleşir ve çarpımda yalnızca kilometre birimleri kalır.

Birimler içeren çarpmaya ilişkin diğer örnekler şunlardır:

2,5 metre × 4,5 metre = 11,25 metrekare

11 metre/saniye × 9 saniye = 99 metre

ev başına 4,5 sakin × 20 ev = 90 sakin

Bir dizinin çarpımı

Büyük pi gösterimi

Daha fazla bilgi: Tekrarlı ikili işlem § Simgelem

Bir dizi çarpanın çarpımı, çarpım sembolü $\textstyle \prod$ ile yazılabilir; bu sembol, Yunan alfabesindeki büyük harf Π (pi)'den türetilmiştir (aynı şekilde toplam işareti $\textstyle \sum$ de Yunan harfi Σ (sigma)'dan türetilmiştir). Bu gösterimin anlamı şu şekilde verilir:

$\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),$

ve bunun sonucu olarak:

$\prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.$

Bu tür bir gösterimde, değişken i, çarpma indisi denilen ve alt indiste belirtilen alt değer 1'den üst indiste verilen üst değer 4'e kadar giden değişken bir tamsayıyı temsil eder. Çarpım, çarpım operatörünü izleyen ifadede, çarpma indisinin alt ve üst değerler arasındaki (sınırlar dahil) her bir tam sayı için yerine konulmasıyla elde edilen tüm çarpanların birbiriyle çarpılmasıyla elde edilir.

Daha genel olarak, gösterim şu şekilde tanımlanır:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},$

burada m ve n tam sayıdır veya tam sayıya değerlendirilen ifadelerdir. m = n durumunda, çarpımın değeri tek çarpan x_m'in değeriyle aynıdır; m > n ise, çarpım, değeri 1 olan boş çarpımdır—çarpanlara ilişkin ifade ne olursa olsun.

Büyük pi gösteriminin özellikleri

Tanım gereği,

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.$

Tüm çarpanlar özdeşse, n çarpanlı bir çarpım üs alma işlemine eşdeğerdir:

$\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.$

Çarpmanın birleşme özelliği ve değişme özelliği şunu gerektirir:

$\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)$ ve

$\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}$

eğer a negatif olmayan bir tam sayıysa ya da tüm $x_{i}$ pozitif reel sayılarsa ve

$\prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

eğer tüm $a_{i}$ negatif olmayan tam sayılarsa ya da x pozitif bir gerçek sayıysa.

Sonsuz çarpımlar

Ana madde: Sonsuz çarpım

Sonsuz sayıda çarpanın çarpımları da düşünülebilir; bunlara sonsuz çarpımlar denir. Gösterimsel olarak bu, yukarıdaki n yerine sonsuzluk simgesi ∞ konulmasıyla yapılır. Böyle bir sonsuz dizinin çarpımı, n sınırsız büyürken ilk n çarpanın çarpımının limiti olarak tanımlanır. Yani,

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

Benzer şekilde m negatif sonsuzluk ile değiştirilebilir ve şu şekilde tanımlanır:

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),$

her iki limitin de var olması koşuluyla.

Üs alma

Ana madde: Üs

Çarpma işlemi tekrarlandığında, ortaya çıkan işlem üs alma olarak bilinir. Örneğin, ikinin üç çarpanının çarpımı (2×2×2) "ikinin üçüncü kuvvete yükseltilmesi"dir ve 2³ ile gösterilir; bu, üzerinde üst indis olarak üç bulunan bir ikidir. Bu örnekte, iki sayısı tabandır ve üç sayısı üstür. Genel olarak, üs (veya üst indis), tabanın ifadede kaç kez yer aldığını belirtir; böylece ifade

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a$

taban anın n kopyasının birlikte çarpılacağını belirtir. Bu gösterim, çarpmanın kuvvetle birleşmeli olduğu bilindiğinde kullanılabilir.

Özellikler

0–10 sayılarının çarpımı. Çizgi etiketleri = çarpılan. X ekseni = çarpan. Y ekseni = çarpım.
Bu örüntünün diğer bölgelere genişletilmesi, negatif bir sayının negatif bir sayıyla çarpılmasının neden pozitif bir sayı verdiğini açıklar.
Ayrıca, sıfırla çarpmanın boyutsallıkta bir azalmaya yol açtığına; aynı şekilde determinantı 0 olan bir tekil matris ile çarpmada da aynı etkinin görüldüğüne dikkat edin. Bu süreçte bilgi kaybolur ve geri kazanılamaz.

Reel ve karmaşık sayılar için; buna örneğin doğal sayılar, tam sayıler ve kesirler dahildir; çarpmanın belirli özellikleri vardır:

Değişme özelliği

İki sayının hangi sırayla çarpıldığının önemi yoktur:

$x\cdot y=y\cdot x.$

Birleşme özelliği

Yalnızca çarpma veya toplama içeren ifadeler, işlem önceliğine göre değişmezdir:

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).$

Dağılma özelliği

Toplama üzerinde çarpmaya göre geçerlidir. Bu özdeşlik, cebirsel ifadeleri sadeleştirmede birincil öneme sahiptir:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.$

Etkisiz eleman

Çarpmanın etkisiz elemanı 1'dir; 1 ile çarpılan her şey kendisidir:

$x\cdot 1=x.$

Yutan eleman

Çarpmanın yutan elemanı 0'dır; 0 ile çarpılan her sayı 0'dır:

$x\cdot 0=0.$

Negasyon

−1 ile herhangi bir sayının çarpımı, o sayının toplamsal tersine eşittir:

$(-1)\cdot x=(-x)$ $(-x)+x=0.$

−1 ile −1'in çarpımı 1'dir:

$(-1)\cdot (-1)=1.$

Ters öge

Her x sayısının, 0 hariç, bir çarpımsal tersi ${\frac {1}{x}}$ vardır; öyle ki $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$.

Sıra korunumu

Pozitif bir sayı ile çarpma sırayı korur:

a > 0 için, b > c, ise ab > ac.

Negatif bir sayı ile çarpma sırayı tersine çevirir:

a < 0 için, b > c, ise ab < ac.

Karmaşık sayıların, hem toplama hem çarpma ile uyumlu bir sıralaması yoktur.

Çarpma işlemi içeren diğer matematiksel sistemler bu özelliklerin tümüne sahip olmayabilir. Örneğin, çarpma genel olarak matrisler ve dördeyler için değişmeli değildir. Hurwitz teoremi, boyutu 8 veya daha büyük olan hiperkarmaşık sayılar için—oktoniyonlar, sedeniyonlar ve trigintaduoniyonlar dahil—çarpmanın genel olarak birleşmeli olmadığını gösterir.

Aksiyomlar

Ana madde: Peano aksiyomları

Arithmetices principia, nova methodo exposita kitabında Giuseppe Peano, doğal sayılar için ortaya koyduğu aksiyomlara dayanarak aritmetik için aksiyomlar önerdi. Peano aritmetiğinde çarpma için iki aksiyom vardır:

$x\times 0=0$

$x\times S(y)=(x\times y)+x$

Burada S(y), y'nin ardılını; yani y'yi izleyen doğal sayıyı temsil eder. Birleşme gibi çeşitli özellikler, bunlardan ve Peano aritmetiğinin diğer aksiyomlarından, tümevarım dahil, ispatlanabilir. Örneğin 1 ile gösterilen S(0), şu nedenle bir çarpımsal birimdir:

$x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.$

Tamsayılar için aksiyomlar tipik olarak onları doğal sayıların sıralı ikililerinin denk sınıfları olarak tanımlar. Model, (x,y) ikilisini, x ve y tam sayılar olarak ele alındığında x − y ile denk saymaya dayanır. Böylece hem (0,1) hem de (1,2), −1'e denktir. Bu şekilde tanımlanan tam sayılar için çarpma aksiyomu şöyledir:

$(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).$

−1 × −1 = 1 kuralı daha sonra şu ifadeden türetilebilir:

$(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).$

Çarpma benzer bir biçimde rasyonel sayılara ve ardından reel sayılara genişletilir.

Küme kuramı ile çarpma

Negatif olmayan tam sayıların çarpımı, kardinal sayılar veya Peano aksiyomları kullanılarak küme kuramı ile tanımlanabilir. Bunu keyfi tam sayıları, ardından keyfi rasyonel sayıları çarpmaya nasıl genişleteceğinizi buradan görebilirsiniz. Reel sayıların çarpımı rasyonel sayıların çarpımlarına göre tanımlanır.

Grup kuramında çarpma

Çarpma işlemi altında grup yapısını tanımlayan aksiyomları sağlayan birçok küme vardır. Bu aksiyomlar kapalılık, birleşme özelliği ve birim eleman ile terslerin varlığıdır.

Basit bir örnek, sıfır olmayan rasyonel sayılar kümesidir. Burada, toplama altındaki gruplarda birimin tipik olarak 0 olmasına karşılık, birim 1'dir. Rasyonellerde sıfırın dışlanması gerektiğine dikkat edin; çünkü çarpma altında tersi yoktur: sıfırla çarpıldığında 1 sonucunu verecek hiçbir rasyonel sayı yoktur. Bu örnekte bir abel grubu vardır, ancak bu her zaman böyle değildir.

Bunu görmek için, verilen bir boyutta ve verilen bir cisim üzerinde tersinir kare matrisler kümesini ele alın. Burada kapalılık, birleşme özelliği ve birimin (birim matris) ve terslerin varlığı kolayca doğrulanabilir. Ancak matris çarpımı değişmeli değildir; bu da bu grubun abelyen olmadığını gösterir.

Dikkate değer bir başka olgu da, tam sayıların çarpma altında bir grup oluşturmamasıdır—sıfır dışlansa bile. Bu, 1 ve −1 dışındaki tüm elemanlar için tersin var olmamasından kolayca görülür.

Grup kuramında çarpma genellikle ya bir nokta ile ya da bitiştirme ile (elemanlar arasında işlem sembolünün yazılmaması) gösterilir. Dolayısıyla a elemanını b elemanı ile çarpmak a $\cdot$ b veya ab biçiminde gösterilebilir. Bir gruba küme ve işlem belirtilerek atıfta bulunulurken nokta kullanılır. Örneğin, ilk örneğimiz $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$ ile gösterilebilir.

Farklı sayı türlerinin çarpılması

Sayılar sayma (3 elma), sıralama (3. elma) veya ölçme (3,5 fit yükseklik) işlevlerini görebilir; matematik tarihi, parmak hesabı yapmaktan kuantum mekaniğini modellemeye doğru ilerledikçe, çarpma işlemi de daha karmaşık ve soyut sayı türlerine, sayı olmayan nesnelere (matrisler gibi) veya sayıya pek benzemeyen yapılara (dördeyler gibi) genelleştirilmiştir.

Tam sayılar

$N\times M$ N ve M pozitif doğal sayılar olduğunda, N adet M kopyasının toplamıdır. Bu, N genişliğinde ve M yüksekliğinde bir dizideki unsurların sayısını verir. Negatif sayılara genelleme şu şekilde yapılabilir:

$N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ ve

$(-N)\times (-M)=N\times M$

Aynı işaret kuralları rasyonel ve reel sayılar için de geçerlidir.

Rasyonel sayılar

Kesirlere genelleme ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$, payları ve paydaları sırasıyla çarparak yapılır: ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$. Bu, ${\frac {A}{B}}$ yüksekliğinde ve ${\frac {C}{D}}$ genişliğinde bir dikdörtgenin alanını verir ve rasyonel sayılar doğal sayı olduğunda bir dizideki unsurların sayısıyla aynıdır.

Reel sayılar

Reel sayılar ve bunların çarpımları rasyonel sayı dizileri cinsinden tanımlanabilir.

Karmaşık sayılar

$z_{1}$ ve $z_{2}$ karmaşık sayılarını, $(a_{1},b_{1})$ ve $(a_{2},b_{2})$ reel sayı sıralı ikilileri olarak ele alırsak, çarpım $z_{1}\times z_{2}$, $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$ olur. Bu, imajiner kısımlar $b_{1}$ ve $b_{2}$ sıfır olduğunda gerçeller için $a_{1}\times a_{2}$ ile aynıdır.

Eşdeğer olarak, ${\sqrt {-1}}$'yi $i$ olarak gösterirsek, $z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.$

Alternatif olarak, trigonometrik biçimde, eğer $z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})$ ise, o hâlde${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

Daha ileri genellemeler

Yukarıdaki grup kuramında çarpma konusuna ve örneğin matris çarpımını da kapsayan çarpımsal gruba bakınız. Çok genel ve soyut bir çarpma kavramı, bir halkadaki 'çarpımsal olarak gösterilen' (ikinci) ikili işlem olarak tanımlanır. Yukarıdaki sayı sistemlerinden hiçbiri olmayan bir halka örneği, polinom halkasıdır (polinomlar toplanabilir ve çarpılabilir, ancak polinomlar alışılagelmiş anlamda sayı değildirler).

Bölme

Çoğu zaman bölme, ${\frac {x}{y}}$, bir tersle çarpma ile aynıdır, $x\left({\frac {1}{y}}\right)$. Bazı "sayı" türleri için çarpmaya karşılık gelen bir bölme olabilir, tersler olmaksızın; bir tamlık bölgesinde x "${\frac {1}{x}}$" tersine sahip olmayabilir ama ${\frac {x}{y}}$ tanımlanabilir. Bir bölme halkasında (division ring) tersler vardır, ancak ${\frac {x}{y}}$ değişmeli olmayan halkalarda belirsiz olabilir çünkü $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ ile $\left({\frac {1}{y}}\right)x$ aynı olmak zorunda değildir.

Ayrıca bakınız

• Boyut analizi
• Faktöriyel
• Çarpım tablosu
• Napier'in kemikleri
• Çarpma algoritmaları

Daha fazla okuma

• Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)

Dış bağlantılar

• Çarpma ve Çeşitli sayı sistemlerinde aritmetik işlemler
• Bir abaküste modern Çin çarpma teknikleri