Bileşik sayı

10 bileşik sayısının bölenlerinin Cuisenaire çubukları ile gösterimi

Bileşik sayılar dikdörtgenler şeklinde dizilebilirken asal sayılar dizilemez (İngilizce gösterim).

Bileşik sayı, kendisinden daha küçük iki pozitif tam sayının çarpılmasıyla elde edilebilen bir pozitif tam sayıdır. Buna göre, bu bileşik sayı için, 1 ve kendisinden başka en az bir böleni olan pozitif bir tam sayıdır tanımı mümkündür. Her pozitif tam sayı ya bileşiktir, ya asaldır ya da birim 1'dir; dolayısıyla bileşik sayılar tam olarak asal olmayan ve birim olmayan doğal sayılardır. Örneğin, 14 tam sayısı bir bileşik sayıdır çünkü kendisinden daha küçük iki tam sayının (2 × 7) çarpımıdır, ancak 2 ve 3 tam sayıları bileşik değildir çünkü her biri yalnızca bire ve kendisine bölünebilir.

150'ye kadar olan bileşik sayılar şunlardır:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (OEIS'de A002808 dizisi)

Her bileşik sayı, iki veya daha fazla (birbirinden farklı olması gerekmeyen) asal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Örneğin, 299 bileşik sayısı 13 × 23 olarak yazılabilir ve 360 bileşik sayısı 2³ × 3² × 5 olarak yazılabilir; ayrıca, bu gösterim çarpanların sırası göz ardı edildiğinde tek türlüdür. Bu gerçek, aritmetiğin temel teoremi olarak adlandırılır.

Bir sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu belirleyebilen ve bileşik bir girdinin çarpanlara ayrılmış halini ortaya çıkarması gerekmeyen bilinen çeşitli asallık testleri vardır.

Özellikleri

• 2'den büyük tüm çift sayılar bileşik sayıdır.
• En küçük bileşik sayı 4'tür.
• Bütün bileşik sayılar birbirinden farklı olması gerekmeyen asal sayıların çarpımı olarak tek biçimde yazılabilirler.

Örnek olarak: 45 = 3 x 3 x 5.

• Wilson kuramının karşıtı şunu ifade eder:

n > 5 koşulunu sağlayan bütün bileşik sayılar için, $(n-1)!\,\,\equiv \,\,0{\pmod {n}}$ ;

yani, 5'den büyük herhangi bir n bileşik sayısı (n-1)! faktöryelini kalansız bölebilir.

Türleri

Bileşik sayıları sınıflandırmanın bir yolu, asal çarpanlarının sayısını saymaktır. İki asal çarpanı olan bir bileşik sayı, bir yarı asal veya 2-neredeyse asal sayıdır (çarpanların birbirinden farklı olması gerekmez, bu nedenle asalların kareleri de buna dahildir). Üç farklı asal çarpanı olan bir bileşik sayıya sfenik sayı denir. Bazı uygulamalarda, tek sayıda farklı asal çarpana sahip bileşik sayılar ile çift sayıda farklı asal çarpana sahip olanları birbirinden ayırmak gerekir. İkincisi için

$\mu (n)=(-1)^{2x}=1$

(burada μ Möbius fonksiyonu ve x asal çarpanların toplam sayısının yarısıdır), birincisi için ise

$\mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.$

Ancak asal sayılar için de fonksiyon −1 döndürür ve $\mu (1)=1$ olur. Bir veya daha fazla tekrarlanan asal çarpanı olan bir n sayısı için,

$\mu (n)=0$.

Bir sayının asal çarpanlarının tümü tekrarlanıyorsa, buna kuvvetli sayı (powerful number) denir (Tüm tam kuvvetler kuvvetli sayılardır). Asal çarpanlarının hiçbiri tekrarlanmıyorsa, buna karesiz denir. (Tüm asal sayılar ve 1 karesizdir.)

Örneğin, 72 = 2³ × 3², tüm asal çarpanlar tekrarlanmıştır, bu yüzden 72 bir kuvvetli sayıdır. 42 = 2 × 3 × 7, asal çarpanların hiçbiri tekrarlanmamıştır, bu yüzden 42 karesizdir.

Bileşik sayıları sınıflandırmanın bir başka yolu da bölenlerinin sayısını saymaktır. Tüm bileşik sayıların en az üç böleni vardır. Asalların kareleri durumunda bu bölenler $\{1,p,p^{2}\}$ şeklindedir. Herhangi bir x < n değerinden daha fazla bölene sahip olan bir n sayısı, bir yüksek-derece bileşik sayıdır (ancak bu tür ilk iki sayı 1 ve 2'dir). Bileşik sayılar "dikdörtgensel sayılar" olarak da adlandırılmıştır, ancak bu isim ardışık iki tam sayının çarpımı olan pronik sayılara da atıfta bulunabilir.

Bileşik sayıları sınıflandırmanın bir başka yolu da, tüm asal çarpanların sabit bir (asal) sayının tamamen altında veya tamamen üstünde olup olmadığını belirlemektir. Bu tür sayılara sırasıyla pürüzsüz sayılar ve kaba sayılar denir.

Sayı sistemleri Karmaşık $:\;\mathbb {C}$ Reel $:\;\mathbb {R}$ Rasyonel $:\;\mathbb {Q}$ Tam sayı $:\;\mathbb {Z}$ Doğal $:\;\mathbb {N}$ Sıfır: 0 Bir: 1 Asal sayılar Bileşik sayılar Negatif tam sayılar Kesir Sonlu ondalık sayı İkili (sonlu ikili) Devirli ondalık sayı İrrasyonel Cebirsel irrasyonel Aşkın Sanal

Ayrıca bakınız

• Eratosten kalburu
• Asal çarpanlar tablosu
• Asal omega fonksiyonu
• Möbius fonksiyonu

Notlar

1. ^ Wilson'ın kuramı şunu ifade eder: herhangi bir p asal sayısı için, $(p-1)!\,\,\equiv \,\,-1{\pmod {p}}$

Kaynaklar

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd bas.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd bas.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950 
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68-15225 
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 

Dış bağlantılar

• Asal çarpanlarına ayrılmış bileşik sayılar listesi (ilk 100, 1.000, 10.000, 100.000 ve 1.000.000)
• Bölen Çizimi (büyük bileşik sayılarda bulunan örüntüler)
• Reference.com'daki "composite number" maddesi ; İngilizce