Negatif sayı

Negatif bir Fahrenhayt sıcaklığını (−4 °F) gösteren termometre.

Matematikte, negatif sayı, pozitif bir reel sayının zıttıdır. Eşdeğer olarak, negatif sayı sıfırdan küçük olan bir reel sayıdır.

Negatif sayılar genellikle bir kaybın veya eksikliğin büyüklüğünü temsil etmek için kullanılır. Ödenmesi gereken bir borç, negatif bir varlık olarak düşünülebilir. Eğer bir elektron üzerindeki yük gibi bir nicelik, iki zıt yönden birine sahip olabiliyorsa, o zaman bu yönlerden birini —belki de keyfi olarak— pozitif ve diğerini negatif olarak ayırt etmek mümkündür. Negatif sayılar, sıcaklık için Celsius ve Fahrenhayt ölçeklerinde olduğu gibi, sıfırın altına inen bir ölçekteki değerleri tanımlamak için kullanılır. Negatif sayılar için aritmetik kuralları, sağduyuya dayalı "zıtlık" fikrinin aritmetiğe yansımasını sağlar. Örneğin, −(−3) = 3'tür çünkü bir zıttın zıttı orijinal değerdir.

Negatif sayılar genellikle önlerinde bir eksi işareti ile yazılır. Örneğin, −3, üç büyüklüğündeki negatif bir miktarı temsil eder ve "eksi üç" veya "negatif üç" olarak okunur. Buna karşılık, sıfırdan büyük olan bir sayıya pozitif denir; sıfır genellikle (her zaman olmamakla birlikte) ne pozitif ne de negatif olarak düşünülür. Bir sayının pozitifliği, önüne bir artı işareti konularak vurgulanabilir, örn. +3. Genel olarak, bir sayının negatifliği veya pozitifliği onun işareti olarak adlandırılır.

Sıfır dışındaki her gerçel sayı ya pozitiftir ya da negatiftir. Negatif olmayan tam sayılar doğal sayılar (yani 0, 1, 2, 3,...) olarak adlandırılırken, pozitif ve negatif tam sayılar (sıfır ile birlikte) tam sayılar olarak adlandırılır. (Doğal sayıların bazı tanımları sıfırı hariç tutar.)

Muhasebede, borçlanılan tutarlar genellikle negatif sayıları temsil etmek için alternatif bir gösterim olarak kırmızı sayılarla veya parantez içindeki sayılarla temsil edilir.

Negatif sayılar, mevcut haliyle Çin Han Hanedanı dönemine (MÖ 202 – MS 220) tarihlenen, ancak çok daha eski materyaller içermesi muhtemel olan Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölümde (Nine Chapters on the Mathematical Art) kullanılmıştır. Liu Hui (yaklaşık 3. yüzyıl) negatif sayıların toplanması ve çıkarılması için kurallar belirlemiştir. 7. yüzyıla gelindiğinde, Brahmagupta gibi Hint matematikçiler negatif sayıların kullanımını tanımlıyorlardı. İslam matematikçileri, negatif sayıları çıkarma ve çarpma kurallarını daha da geliştirdiler ve negatif katsayılı problemleri çözdüler. Negatif sayı kavramından önce, Diophantus gibi matematikçiler problemlerin negatif çözümlerini "yanlış" olarak kabul ediyor ve negatif çözüm gerektiren denklemleri saçma (absürt) olarak nitelendiriyorlardı. Leibniz gibi Batılı matematikçiler negatif sayıların geçersiz olduğunu savunsalar da hesaplamalarda bunları kullanmışlardır.

Giriş

Sayı doğrusu

Ana madde: Sayı doğrusu

Negatif sayılar, pozitif sayılar ve sıfır arasındaki ilişki genellikle bir sayı doğrusu şeklinde ifade edilir: Bu doğru üzerinde daha sağda görünen sayılar daha büyük, daha solda görünen sayılar ise daha küçüktür. Böylece sıfır ortada, pozitif sayılar sağda ve negatif sayılar solda yer alır.

Daha büyük büyüklüğe sahip bir negatif sayının daha küçük kabul edildiğine dikkat edin. Örneğin, (pozitif) 8, (pozitif) 5'ten büyük olsa da ve

−8 < −5.

şeklinde yazılsa da, negatif 8, negatif 5'ten küçük kabul edilir:

−8 < −5.

İşaretli sayılar

Ana madde: İşaret (matematik)

Negatif sayılar bağlamında, sıfırdan büyük olan bir sayıya pozitif denir. Bu nedenle sıfır dışındaki her reel sayı ya pozitif ya da negatiftir, sıfırın kendisinin ise bir işareti olmadığı kabul edilir. Pozitif sayılar bazen önlerinde bir artı işareti ile yazılır, örn. +3 pozitif üçü belirtir. Sıfır ne pozitif ne de negatif olduğundan, negatif olmayan terimi bazen pozitif veya sıfır olan bir sayıyı belirtmek için kullanılırken, pozitif olmayan terimi negatif veya sıfır olan bir sayıyı belirtmek için kullanılır. Sıfır nötr bir sayıdır.

Çıkarma işleminin sonucu olarak

Negatif sayılar, daha büyük bir sayının daha küçük bir sayıdan çıkarılması sonucu oluşmuş gibi düşünülebilir. Örneğin, negatif üç, üçün sıfırdan çıkarılmasının sonucudur:

0 − 3  =  −3.

Genel olarak, daha büyük bir sayının daha küçük bir sayıdan çıkarılması, sonucun büyüklüğünün iki sayı arasındaki fark olduğu negatif bir sonuç verir. Örneğin,

5 − 8  =  −3

çünkü 8 − 5 = 3'tür.

Negatif sayıların günlük kullanımları

Spor

Par altı vuruşlara göre negatif golf skorları.

• Futbol ve hokeyde gol averajı; ragbi futbolunda puan farkı; krikette net koşu oranı; golfte para göre skorlar.
• Buz hokeyinde artı-eksi farkı: belirli bir oyuncu buzdayken takımın attığı toplam gol (+) ile yediği gol (−) arasındaki fark, oyuncunun +/− derecesidir. Oyuncular negatif (+/−) dereceye sahip olabilir.
• Beyzbolda 'koşu farkı' (run differential): Takım attığından daha fazla koşuya (sayıya) izin verirse koşu farkı negatiftir.
• Kulüpler, kuralların ihlali nedeniyle puan silme cezası alabilir ve ilgili sezonda en az o kadar puan kazanana kadar negatif puan toplamına sahip olabilirler.
• Formula 1'deki tur (veya sektör) süreleri, önceki bir tura (veya sektöre) (önceki rekor veya öndeki sürücünün tamamladığı tur gibi) kıyasla fark olarak verilebilir ve daha yavaşsa pozitif, daha hızlıysa negatif olur.
• Sprint yarışları, 110 metre engelli, üç adım atlama ve uzun atlama gibi bazı atletizm etkinliklerinde, rüzgar yardımı (wind assistance) ölçülür ve kaydedilir; bu değer arkadan esen rüzgar için pozitif, karşı rüzgar için negatiftir.

Bilim

• 0 °C veya 0 °F'den daha soğuk sıcaklıklar.
• Ekvatorun güneyindeki enlemler ve başlangıç meridyeninin batısındaki boylamlar.
• Yeryüzünün topografik özelliklerine deniz seviyesinin üzerinde bir yükseklik verilir, bu negatif olabilir (örneğin Lut Gölü veya Ölüm Vadisi'nin yüzey yüksekliği).
• Elektrik devreleri. Bir pil ters kutupta bağlandığında, uygulanan voltajın nominal voltajının zıttı olduğu söylenir. Örneğin, ters bağlanan 6 voltluk bir pil −6 voltluk bir voltaj uygular.
• İyonlar pozitif veya negatif elektrik yüküne sahiptir.

Finans

• Mali bilançolar, eksi işaretiyle veya bakiyeyi parantez içine alarak gösterilen negatif bakiyeler içerebilir. Örnekler arasında banka hesabı ek hesaplar ve işletme zararları (negatif kazançlar) bulunur.
• Bir ülkenin GSYİH'sindeki yıllık yüzdelik büyüme negatif olabilir, bu da durgunlukta olmanın bir göstergesidir.
• Bazen, enflasyon oranı negatif olabilir (deflasyon), bu da ortalama fiyatlarda bir düşüş olduğunu gösterir.
• Hisse senedi fiyatındaki veya FTSE 100 ya da Dow Jones gibi bir borsa endeksindeki günlük değişim.
• Finansmanda negatif bir sayı, "borç" ve "açık" ile eş anlamlıdır ve aynı zamanda "kırmızıda olmak" (being in the red) olarak da bilinir.
• Borç veren kişi parasını yatırmak için ücret ödediğinde faiz oranları negatif olabilir.

Diğer

Bir asansörde negatif kat numaraları.

• Bir binada zemin katın altındaki katların numaralandırılması.
• Bir iPod gibi taşınabilir medya oynatıcıda bir ses dosyası çalarken, ekran kalan süreyi negatif bir sayı olarak gösterebilir; bu sayı, çalınan süre sıfırdan artarken aynı oranda sıfıra doğru artar.
• Televizyon yarışma programları:
  • Jeopardy! negatif bir para skoruna sahiptir – yarışmacılar bir miktar para için yarışırlar ve şu anda sahip olduklarından daha pahalıya mal olan herhangi bir yanlış cevap negatif bir skorla sonuçlanabilir.
• Seçimler arasında bir siyasi partiye verilen destekteki değişim, kayma (swing) olarak bilinir.
• Bir politikacının onay oranı.
• Video oyunlarında negatif bir sayı, simülasyonun türüne bağlı olarak can kaybını, hasarı, puan cezasını veya bir kaynağın tüketimini gösterir.
• Esnek çalışma saatlerine sahip çalışanlar, o noktaya kadar sözleşmeli olduklarından daha az toplam saat çalışmışlarsa zaman çizelgelerinde negatif bir bakiyeye sahip olabilirler. Çalışanlar bir yıl içinde yıllık tatil haklarından fazlasını alabilir ve bir sonraki yıla negatif bakiye devredebilirler.
• Bir elektronik klavyede transpoze edilen (farklı bir perdeden çalma) notalar ekranda artışlar için pozitif sayılarla ve düşüşler için negatif sayılarla gösterilir, örn. bir yarımses aşağı için "−1".

Negatif sayıları içeren aritmetik

Eksi işareti "−", hem ikili çıkarma işlemi (y − z'de olduğu gibi iki işlenenli) hem de tek işlenenli negatifini alma işlemi (−x'te veya −(−x)'te iki kez olduğu gibi) için operatörü belirtir. Tekli negatifini almanın özel bir durumu, pozitif bir sayı üzerinde işlem yaptığında ortaya çıkar; bu durumda sonuç negatif bir sayıdır (−5'te olduğu gibi).

"−" sembolünün belirsizliği genellikle aritmetik ifadelerde belirsizliğe yol açmaz, çünkü işlem sırası her "−" için yalnızca bir yorumu veya diğerini mümkün kılar. Ancak, operatör sembolleri birbirine bitişik göründüğünde kafa karışıklığına yol açabilir ve bir kişinin bir ifadeyi anlamasını zorlaştırabilir. Bir çözüm, tekli "−" işaretini işleneniyle birlikte parantez içine almak olabilir. Örneğin, 7 + −5 ifadesi 7 + (−5) olarak yazılırsa daha net olabilir (biçimsel olarak tam olarak aynı şeyi ifade etseler de). 7 − 5 çıkarma ifadesi, aynı işlemleri temsil etmeyen farklı bir ifadedir, ancak aynı sonucu verir.

Bazen ilkokullarda, negatif ve pozitif sayıları açıkça ayırt etmek için bir sayının önüne üst simge olarak eksi işareti veya artı işareti konulabilir:

Toplama

Pozitif ve negatif sayıların toplanmasının görsel bir temsili. Daha büyük toplar, daha büyük büyüklüğe sahip sayıları temsil eder.

İki negatif sayının toplanması, iki pozitif sayının toplanmasına çok benzer. Örneğin,

Pozitif ve negatif sayıların bir karışımı toplandığında, negatif sayılar çıkarılan pozitif miktarlar olarak düşünülebilir. Örneğin:

İlk örnekte, 8'lik bir alacak 3'lük bir borçla birleştirilir, bu da toplam 5'lik bir alacak verir. Eğer negatif sayı daha büyük büyüklüğe sahipse, sonuç negatiftir:

Burada alacak borçtan azdır, bu nedenle net sonuç bir borçtur.

Çıkarma

Yukarıda tartışıldığı gibi, iki negatif olmayan sayının çıkarılmasının negatif bir sonuç vermesi mümkündür:

Genel olarak, pozitif bir sayının çıkarılması, eşit büyüklükteki negatif bir sayının toplanmasıyla aynı sonucu verir. Böylece

ve

olur.

Öte yandan, negatif bir sayının çıkarılması, eşit büyüklükteki pozitif bir sayının toplanmasıyla aynı sonucu verir. (Fikir, bir borcu kaybetmenin bir alacak kazanmakla aynı şey olduğudur.) Böylece

ve

olur.

Çarpma

Negatif bir sayıyla çarpma, çarpanların çarpımının mutlak değerine eşit büyüklükteki vektörün yön değiştirmesi olarak görülebilir.

Sayılar çarpıldığında, çarpımın büyüklüğü her zaman sadece iki büyüklüğün çarpımıdır. Çarpımın işareti aşağıdaki kurallara göre belirlenir:

• Bir pozitif sayı ile bir negatif sayının çarpımı negatiftir.
• İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.

Böylece

ve

olur.

İlk örneğin arkasındaki neden basittir: üç adet −2'yi toplamak −6 verir:

İkinci örneğin arkasındaki mantık daha karmaşıktır. Fikir yine bir borcu kaybetmenin bir alacak kazanmakla aynı şey olduğudur. Bu durumda, her biri üçlük iki borcu kaybetmek, altılık bir alacak kazanmakla aynıdır:

İki negatif sayının çarpımının pozitif olduğu kuralı, çarpmanın dağılma özelliğini izlemesi için de gereklidir. Bu durumda, şunu biliyoruz:

2 × (−3) = −6 olduğundan, (−2) × (−3) çarpımı 6'ya eşit olmalıdır.

Bu kurallar başka bir (eşdeğer) kurala yol açar — herhangi bir a × b çarpımının işareti, a'nın işaretine şu şekilde bağlıdır:

• eğer a pozitifse, o zaman a × b'nin işareti b'nin işaretiyle aynıdır ve
• eğer a negatifse, o zaman a × b'nin işareti b'nin işaretinin zıttıdır.

İki negatif sayının çarpımının neden pozitif bir sayı olduğunun gerekçesi, karmaşık sayıların analizinde gözlemlenebilir.

Bölme

Bölme işlemi için işaret kuralları çarpma işlemiyle aynıdır. Örneğin,

ve

Bölünen ve bölen aynı işarete sahipse sonuç pozitif, farklı işaretlere sahiplerse sonuç negatiftir.

Negatifini alma

Ana madde: Toplamaya göre ters

Pozitif bir sayının negatif versiyonuna onun negatifini alması (negation) denir. Örneğin, −3, pozitif sayı 3'ün negatifini almadır. Bir sayı ile negatifinin toplamı sıfıra eşittir:

Yani, pozitif bir sayının negatifi, o sayının toplamsal tersidir.

Cebir kullanarak, bu ilkeyi bir cebirsel özdeşlik olarak yazabiliriz:

Bu özdeşlik herhangi bir pozitif sayı x için geçerlidir. Negatifini alma tanımını sıfır ve negatif sayıları da içerecek şekilde genişleterek tüm gerçel sayılar için geçerli hale getirilebilir. Özellikle:

• 0'ın negatifi 0'dır ve
• Bir negatif sayının negatifi karşılık gelen pozitif sayıdır.

Örneğin, −3'ün negatifi +3'tür. Genel olarak,

Bir sayının mutlak değeri, aynı büyüklüğe sahip negatif olmayan sayıdır. Örneğin, −3'ün mutlak değeri ve 3'ün mutlak değeri ikisi de 3'e eşittir ve 0'ın mutlak değeri 0'dır.

Negatif tam sayıların biçimsel inşası

Ayrıca bakınız: Tam sayı § İnşası

Rasyonel sayılara benzer bir şekilde, tam sayıları iki doğal sayının (a, b) sıralı ikilisi olarak tanımlayarak doğal sayılar $\mathbb {N}$'yi tam sayılar $\mathbb {Z}$'ye genişletebiliriz. Toplama ve çarpma işlemlerini bu ikililere aşağıdaki kurallarla genişletebiliriz:

Bu ikililer üzerinde aşağıdaki kural ile bir denklik bağıntısı ~ tanımlarız:

Bu denklik bağıntısı yukarıda tanımlanan toplama ve çarpma işlemleriyle uyumludur ve $\mathbb {Z}$'yi bölüm kümesi $\mathbb {N} ^{2}/\sim$ olarak tanımlayabiliriz, yani iki (a, b) ve (c, d) ikilisini yukarıdaki anlamda denk iseler özdeşleştiririz. Not edelim ki $\mathbb {Z}$, bu toplama ve çarpma işlemleriyle donatıldığında bir halkadır ve aslında bir halkanın prototip örneğidir.

Ayrıca $\mathbb {Z}$ üzerinde bir tam sıralamayı (total order) şu şekilde yazarak tanımlayabiliriz:

Bu, (a, a) formunda bir toplamsal sıfır, (a, b)'nin (b, a) formunda bir toplamsal tersi, (a + 1, a) formunda bir çarpımsal birim ve bir çıkarma tanımına yol açar:

Bu inşa, Grothendieck inşasının özel bir durumudur.

Benzersizlik

Bir sayının toplamsal tersi benzersizdir (uniqueness), bu aşağıdaki ispatla gösterilir. Yukarıda belirtildiği gibi, bir sayının toplamsal tersi, sayıya eklendiğinde sıfır veren bir değer olarak tanımlanır.

x bir sayı olsun ve y onun toplamsal tersi olsun. y′in x'in başka bir toplamsal tersi olduğunu varsayalım. Tanım gereği, $$x+y'=0,\quad {\text{ve}}\quad x+y=0.$$

Ve böylece, x + y′ = x + y olur. Toplama işlemi için sadeleştirme kuralını kullanarak, y′ = y olduğu görülür. Böylece y, x'in diğer herhangi bir toplamsal tersine eşittir. Yani, y, x'in tek toplamsal tersidir.

Tarihçe

Ayrıca bakınız: Karmaşık sayı § Tarih

Uzun bir süre boyunca, negatif sayıların anlaşılması, fiziksel bir nesnenin negatif sayıda miktarına sahip olmasının imkansızlığı (örneğin "eksi üç elma") nedeniyle gecikmiştir ve problemlerin negatif çözümleri "yanlış" olarak kabul edilmiştir. Helenistik Mısır'da, MS 3. yüzyılda Yunan matematikçi Diophantus, Arithmetica adlı eserinde $4x+20=4$ (negatif bir çözüme sahip olan) denklemine eşdeğer bir denklemden bahsetti ve denklemin saçma olduğunu söyledi. Bu nedenle Yunan geometriciler, pozitif kökler veren ikinci dereceden denklemlerin tüm biçimlerini geometrik olarak çözebilirken, diğerlerini hesaba katamadılar.

Negatif sayılar tarihte ilk kez, mevcut haliyle Han dönemine tarihlenen ancak çok daha eski materyaller içermesi muhtemel olan Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölümde (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù) ortaya çıkmıştır. Matematikçi Liu Hui (yaklaşık 3. yüzyıl), negatif sayıların toplanması ve çıkarılması için kurallar belirlemiştir. Tarihçi Jean-Claude Martzloff, Çin doğa felsefesinde dualitenin öneminin, Çinlilerin negatif sayı fikrini kabul etmesini kolaylaştırdığını teorize etmiştir. Çinliler negatif sayılar içeren eş anlı denklemleri çözebiliyorlardı. Dokuz Bölüm, pozitif katsayıları belirtmek için kırmızı sayma çubuklarını ve negatifler için siyah çubukları kullandı. Bu sistem, kırmızı sayıların negatif değerleri ve siyah sayıların pozitif değerleri ifade ettiği günümüz bankacılık, muhasebe ve ticaret alanlarındaki pozitif ve negatif sayıların basımının tam tersidir. Liu Hui şöyle yazar:

Şimdi kazançlar ve kayıplar için iki zıt türde sayma çubuğu var, bunlara pozitif ve negatif denilsin. Kırmızı sayma çubukları pozitiftir, siyah sayma çubukları negatiftir.

Eski Hint Bakhshali el yazması, negatif bir işaret olarak "+" kullanarak negatif sayılarla hesaplamalar gerçekleştirdi. El yazmasının tarihi belirsizdir. LV Gurjar 4. yüzyıldan daha geç olmadığını, Hoernle üçüncü ve dördüncü yüzyıllar arasında olduğunu, Ayyangar ve Pingree 8. veya 9. yüzyıllara tarihlendiğini, ve George Gheverghese Joseph ise yaklaşık MS 400 ve en geç 7. yüzyılın başlarına tarihlendirir.

MS 7. yüzyılda, negatif sayılar Hindistan'da borçları temsil etmek için kullanıldı. Hint matematikçi Brahmagupta, Brahma-Sphuta-Siddhanta (yaklaşık MS 630'da yazılmıştır) adlı eserinde, bugün kullanılan formüle benzer genel bir kuadratik formül üretmek için negatif sayıların kullanımını tartıştı.

9. yüzyılda, İslam matematikçileri Hint matematikçilerin eserlerinden negatif sayılara aşinaydı, ancak bu dönemde negatif sayıların tanınması ve kullanımı çekingen kaldı. Hârizmî, Al-jabr wa'l-muqabala (cebir kelimesinin türediği eser) adlı eserinde negatif sayıları veya negatif katsayıları kullanmadı. Ancak elli yıl içinde, Ebu Kamil, $(a\pm b)(c\pm d)$ çarpımını genişletmek için işaret kurallarını gösterdi, ve Kerecî, al-Fakhrī adlı eserinde "negatif büyüklüklerin terim olarak sayılması gerektiğini" yazdı. 10. yüzyılda, Ebu'l-Vefâ el-Bûzcânî, Kitabab ma Yahtacu-İleyh-İl-Küttab vel Ummal min İlm-il-Hisabnda borçları negatif sayılar olarak değerlendirdi.

12. yüzyıla gelindiğinde, Kerecî'nin halefleri genel işaret kurallarını belirtecek ve bunları polinom bölmelerini çözmek için kullanacaklardı. Semev'el el-Mağribî bu konuyu şöyle ayrıntılandırmıştır:

Negatif bir sayının—al-nāqiṣ (kayıp)—pozitif bir sayıyla—al-zāʾid (kazanç)—çarpımı negatiftir ve negatif bir sayıyla çarpımı pozitiftir. Eğer daha büyük bir negatif sayıdan negatif bir sayıyı çıkarırsak, kalan onların negatif farkıdır. Eğer daha küçük bir negatif sayıdan negatif bir sayıyı çıkarırsak, fark pozitif kalır. Eğer pozitif bir sayıdan negatif bir sayıyı çıkarırsak, kalan onların pozitif toplamıdır. Eğer boş bir kuvvetten (martaba khāliyya) pozitif bir sayıyı çıkarırsak, kalan aynı negatiftir ve eğer boş bir kuvvetten negatif bir sayıyı çıkarırsak, kalan aynı pozitif sayıdır.

12. yüzyılda Hindistan'da, II. Bhāskara ikinci dereceden denklemler için negatif kökler hesaplar ancak problem bağlamında uygun olmadıkları için bunları reddetmiştir. Negatif bir değerin "bu durumda alınmaması gerektiğini, çünkü yetersiz olduğunu; insanların negatif kökleri onaylamadığını" belirtmiştir.

Fibonacci, borç olarak (Liber Abaci'nin 13. bölümü, 1202) ve daha sonra kayıp olarak (Flos, 1225) yorumlanabilecekleri finansal problemlerde negatif çözümlere izin verdi. 15. yüzyılda, bir Fransız olan Nicolas Chuquet, negatif sayıları üsler olarak kullandı ancak bunlardan "absürt sayılar" olarak bahsetti.

Michael Stifel, 1544 tarihli Arithmetica Integra adlı eserinde negatif sayılarla ilgilendi ve o da bunlara numeri absurdi (absürt sayılar) adını verdi. 1545'te, Gerolamo Cardano, Ars Magna adlı eserinde, Avrupa'da negatif sayıların ilk tatmin edici ele alınışını sağladı. Üçüncü dereceden denklemleri ele alırken negatif sayılara izin vermedi, bu yüzden örneğin $x^{3}+ax=b$ ile $x^{3}=ax+b$'yi (her iki durumda da $a,b>0$ olmak üzere) ayrı ayrı ele almak zorunda kaldı. Toplamda, Cardano, her biri tüm negatif terimlerin pozitif olmaları için = işaretinin diğer tarafına taşındığı on üç tür kübik denklemi incelemeye yönlendirildi. (Cardano ayrıca karmaşık sayılarla da ilgilendi, ancak anlaşılır bir şekilde onlardan daha da az hoşlandı.)

Ayrıca bakınız

• İşaretli sıfır
• Toplamaya göre ters
• Sıfırın tarihi
• Tam sayılar
• Pozitif ve negatif kısımlar
• Rasyonel sayılar
• Gerçel sayılar
• İşaret fonksiyonu
• İşaret (matematik)

Dış bağlantılar

• Maseres'in biyografik bilgileri
• BBC Radio 4 serisi In Our Time, "Negative Numbers" üzerine, 9 Mart 2006
• Endless Examples & Exercises: Operations with Signed Integers
• Math Forum: Ask Dr. Math SSS: Negative Times a Negative