Dördey

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte, dördeyler (ya da kvaterniyon, kuaternion, dördübir), karmaşık sayılar cisminin değişmesiz genişletmesidir. İlk defa İrlanda'lı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış, ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. İlk başta, kuaterniyonlar değişme kuralına (ab = ba) uymadıkları için sorunlu kabul edilmişlerdir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler yerlerini almış olsa da, hala kuramsal ve uygulamalı matematikte kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanları, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.

Dördey cebiri genellikle H (Hamilton) ile gösterilir. Clifford cebiri sınıflandırması C0,2(R) = C03,0(R) olarak da gösterilirler. H cebirinin analizde önemli bir yeri vardır. Çünkü, Frobenius teoremi'ne göre, gerçel sayılar cismini althalka olarak içeren sonlu-boyutlu dört bölüm cebirinden bir tanesidir (diğerleri gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve sekizeyler (octonions)).

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Dördeyler bir halka olarak tanımlanır. Kümesi:

\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk | a,b,c,d\in\mathbb{R}\}.

olarak verilir. Burada kullanılan toplama şu şekilde tanımlıdır:

(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)+(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\,
=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k\,

Çarpma ise

(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\,

ifadesinin dağıtma kuralı kullanılarak açılmasıyla ve aşağıdaki bağıntılar yardımıyla tanımlanır.

 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,\,

Her dördey tektir ve temel dördeylerin, yani 1, i, j ve k nin gerçel doğrusal birleşimidir.

Dördeyler halkası, çarpma işleminin değişmeli olmaması yüzünden bir cisim değildir. Bir bölüm halkasıdır.

Aynı zamanda, dördeyler, gerçel sayılar üzerinde bir bölüm cebiri oluşturur. Gerçel sayılar ve karmaşık sayılarla birlikte, gerçelleri içeren birleşmeli üç bölüm cebirinden biridir.