Sonsuz küçük

Sonsuz küçük (İngilizce: infinitesimal), matematikte sezgisel olarak mutlak değeri her pozitif reel sayıdan daha küçük olan ancak sıfırdan farklı bir niceliği ifade eden bir kavramdır. Bu kavram bir fonksiyonun veya bir uzayın sonsuz derecede küçük bir parçasını temsil etme fikrine dayanır ve bu sayede sürekli yapıların analiz edilmesini sağlar.

Sonsuz küçükler tarihsel olarak kalkülüsün gelişiminde kurucu bir rol oynamıştır. Türev, bir fonksiyonun sonsuz küçük bir aralıktaki değişim oranını ifade ederken; integral, sonsuz küçük parçaların bir toplumunu temsil eder. Anlık hız, bir eğrinin teğetinin eğimi ve bir eğrinin altındaki alan gibi modern bilimin temelini oluşturan problemlerin çözümünde bu sezgisel fikirler merkezî bir yer tutmuştur.

Kavramın kökenleri Antik Yunan'da Elea Okulu filozoflarının ve özellikle Zenon'un sonsuz bölünebilirlik üzerine ortaya attığı paradokslara kadar uzanır. Arşimet gibi matematikçiler bu fikirleri tüketme yöntemi ve "bölünmezler yöntemi" gibi tekniklerle pratik problemlere uygulayarak kalkülüsün temellerini atmışlardır. 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz, sonsuz küçükler hesabını sistematik bir çerçeveye oturarak kalkülüsü icat etmiş ancak kullandıkları yöntemlerin mantıksal temelleri zayıf kalmıştır.

Bu mantıksal zayıflık 18. yüzyılda George Berkeley'in "yok olmuş niceliklerin hayaletleri" olarak adlandırdığı meşhur eleştirisiyle bir krize dönüşmüştür. Berkeley'in eleştirileri 19. yüzyılda Augustin-Louis Cauchy ve Karl Weierstrass gibi matematikçileri, kalkülüsü sonsuz küçüklerden arındırıp daha sağlam temellere oturtmaya yöneltmiştir. Bu çabanın sonunda bugün "standart analiz" olarak bilinen, ($\epsilon ,\delta$)-limit tanımına dayanan modern kalkülüs ortaya çıkmış ve sonsuz küçükler yaklaşık bir yüzyıl boyunca matematikten dışlanmıştır.

Ancak 20. yüzyılın ortalarında matematiksel mantıkçı Abraham Robinson, standart dışı analiz olarak bilinen teoriyi geliştirerek sonsuz küçükleri yeniden canlandırmıştır. Robinson, modern model teorisinin araçlarını kullanarak sonsuz küçükleri ve sonsuz büyükleri içeren hiperreel sayılar sistemini çelişkisiz bir biçimde inşa etmiş ve Leibniz'in sezgisel fikirlerine mantıksal bir temel sağlamıştır. Günümüzde sonsuz küçükler, standart dışı analizin yanı sıra diferansiyel geometri gibi çeşitli modern matematiksel çerçvelerde titiz bir şekilde ele alınmakta ve hem teorik matematikte hem pedagojik tartışmalarda önemli bir yer tutmaya devam etmektedir.

Tarihi

Elea Okulu ve Zenon Paradoksları

Sonsuz küçük nicelikler fikri ilk olarak MÖ 5. yüzyılda Elea Okulu filozofları tarafından tartışılmıştır. Bu okulun en bilinen üyesi olan Zenon, hocası Parmenides'in "gerçekliğin tek ve değişmez olduğu" yönündeki monist felsefesini desteklemek amacıyla, hareketin ve çokluğun mantıksal olarak imkânsız olduğunu göstermeye yönelik bir dizi paradoks geliştirmiştir.

Dikotomi Paradoksu

Bu paradoksa göre, bir mesafeyi katetmek imkânsızdır. Çünkü hedefe varmadan önce, yolun yarısını gitmek gerekir. Geriye kalan yolun da yarısını gitmek gerekir ve bu şekilde devam eder. Gidilecek mesafe sürekli olarak ikiye bölündüğü için, tamamlanması gereken sonsuz sayıda görev ortaya çıkar. Zenon'a göre sonsuz sayıda görev sonlu bir zamanda tamamlanamayacağı için hareket hiçbir zaman başlayamaz.

Ok Paradoksu

Bu paradoks, zamanın doğasını sorgular. Uçmakta olan bir ok, zamanın her bir "an"ında belirli bir konumda yer kaplar. Bir "an" süresiz olduğundan, ok o an içinde hareket edemez; çünkü hareket etmek zaman gerektirir. Eğer ok her bir anda hareketsizse ve zaman bu anların bir toplamından ibaretse, o halde ok aslında hiç hareket etmiyordur.

Bu paradokslar, sürekliliğin doğası hakkında temel sorular ortaya koymuştur: Bir doğru parçası sonsuz sayıda noktadan mı oluşur? Eğer öyleyse, bu noktaların bir uzunluğu var mıdır? Sonsuz sayıda sıfır uzunluğundaki noktanın toplamı nasıl sonlu bir uzunluk oluşturabilir? Bu sorular, 2000 yıldan fazla bir süre boyunca matematikçileri ve filozofları meşgul edecek ve sonsuz küçükler kavramının gelişiminin arkasındaki temel motivasyonu oluşturacaktır.

Arşimet

Yunan matematikçi Arşimet, sonsuz küçükler için ilk mantıksal tanımı öneren kişi olarak kabul edilir ve bu fikirleri pratik problemlere uygulayan ilk büyük matematikçidir.

Mekanik Teoremler Yöntemi

Arşimet'in günümüze ulaşan bu eserinde, alan ve hacimleri bulmak için kullandığı sezgisel bir yöntem açıklanır. Bu yöntemde, geometrik bir şekil, kendisinden bir boyut daha düşük olan sonsuz sayıda "bölünmez" parçanın toplamı olarak düşünülür. Örneğin, bir üçgenin alanı, tabanına paralel sonsuz sayıda çizginin toplamı olarak veya bir kürenin hacmi, sonsuz sayıda ince diskin üst üste yığılmasıyla elde edilir.

Tüketme Yöntemi

Arşimet, resmi olarak yayımladığı eserlerinde, aynı problemleri daha titiz bulduğu "tüketme yöntemi" ile ispatlamıştır. Bu yöntem, ilk olarak Knidoslu Ödoksus'a atfedilir ve bir şeklin alanını veya hacmini, içine ve dışına çizilen ve alanı bilinen çokgenlerin alanlarıyla sıkıştırmaya dayanır. Örneğin, bir dairenin alanını bulmak için, dairenin içine ve dışına düzgün çokgenler çizilir. Çokgenin kenar sayısı artırıldıkça, iç ve dış çokgenlerin alanları dairenin alanına giderek daha fazla yaklaşır. Arşimet, bu yöntemi kullanarak bir parabol kesmesinin alanının, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir üçgenin alanının 4/3'üne eşit olduğunu ispatlamış ve 96 kenarlı bir çokgen yardımıyla pi (π) sayısının 22/7'ye çok yakın bir değer olduğunu hesaplamıştır.

Kalkülüsün İcadı

17. yüzyılın sonlarında, İngiliz Isaac Newton ve Alman Gottfried Wilhelm Leibniz, birblerinden bağımsız olarak, önceki yüzyılların birikimini sentezleyerek ve sonsuz küçükler hesabını sistematik bir teoriye dönüştürerek kalkülüsü icat etmişlerdir.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz'in yaklaşımı daha çok felsefî ve sembolik temellere dayanıyordu. Sonsuz küçükleri diferansiyel olarak adlandırdı ve bunları $dx$, $dy$ gibi sembollerle gösterdi. Türevi, bu iki sonsuz küçüğün oranı, yani ${dy \over dx}$ olarak tanımladı. Bu gösterim türevin bir oran olduğu sezgisini mükemmel bir şekilde yansıttığı için günümüde hâlâ yaygın olarak kullanılmaktadır. Leibniz akıl yürütmesini iki temel sezgisel ilkeye dayandırdı:

• Süreklilik Yasası: Sonlu sayılar için geçerli olan kuralların, sonsuz ve sonsuz küçük sayılar için de geçerli olduğu ve tersinin doğru olduğu ilkesi.
• Aşkın Homojenlik Yasası: Sonsuz küçükler gibi "atanamayan" niclikler içeren ifadelerin, yalnızca "atanabilir" yani sonlu nicelikler içeren ifadelerle değiştirilmesi için kurallar belirleyen ilke. Leibniz ayrıca bugün de kullanılan integral sembolünü ($\int$) Latince "toplam" anlamına gelen "summa" kelimesinin baş harfinden esinlenerek, sonsuz küçük niceliklerin toplamını ifade etmek için geliştirmiştir.

Isaac Newton

Newton'un yaklaşımı ise daha çok fiziksel ve kinematik kavramlara dayanıyordu. Değişken nicelikleri (örneğin, hareket eden bir cismin konumu) akış olarak adlandırdı ve bu akışların anlık değişim hızlarını, yani türevlerini, moment veya sonsuz küçükler olarak düşündü. Newton, Fermat'ın teğet bulma yöntemini geliştirerek, bir değişkenin diğerine yaklaştığı bir limit fikrine daha yakın bir yaklaşım benimsedi ancak çalışmalarında yine de sonsuz küçükleri kullandı.

Eleştiriler

George Berkeley, 1734 yılında yayımladığı The Analyst; or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician başlıklı eserinde, Newton ve Leibniz'in sonsuz küçükler hesabının mantıksal temellerinin zayıf ve çelişkili olduğunu iddia etti. Berkeley'in temel amacı inançsız olarak gördüğü matematikçilerin (özellikle Edmond Halley'in) kendi disiplinlerinin temellerinin de inanç konuları kadar sorgulanabilir olduğunu göstermekti.

Berkeley'in en meşhur ve etkili argümanı türev hesaplamasındaki mantıksal bir tutarsızlığa doaklanır. Bu argümanı $y=x^{2}$ fonksiyonunun türevini bulma örneği üzerinden açıklayabiliriz:

1. Değişken $x$'e sonsuz küçük bir artış, $dx$ eklenir. Fonksiyonun değeri $y+dy=(x+dx)^{2}$ olur.
2. $dy$ değişimi hesaplanır: $dy=(x+dx)^{2}-x^{2}=x^{2}+2x(dx)+(dx)^{2}-x^{2}=2x(dx)+(dx)^{2}$
3. Türevi, yani $dy \over dx$ oranını bulmak için her iki taraf $dx$'e bölünür: ${\frac {dy}{dx}}=2x+dx$.
4. Son adımda, anlık değişimi (sonlu bir değer olan $2x$'i) bulmak için sonsuz küçük $dx$ terimi sıfır kabul edilerek denklemden atılır ve sonuç ${\frac {dy}{dx}}=2x$ olarak bulunur.

Berkeley, bu son adımdaki çelişkiye dikkat çekti: Hesaplamanın üçüncü adımında $dx$'e bölme işlemi yapılırken sıfırdan farklı olduğu varsayılır (çünkü sıfıra bölme tanımsızdır). Ancak dördüncü adımda, $dx$ terimi sıfır kabul edilerek denklemden çıkarılır. Berkeley, bu durumu şöyle sorguladı: $dx$ hem sıfır hem de sıfırdan farklı bir nicelik olabilir mi? Bu mantıksal tutarsızlığı alaycı bir dille "yok olmuş niceliklerin hayaletleri" olarak adlandırdı. Ona göre matematikçiler bir sonuca ulaşmak için önce bir niceliği varsayıp sonra onu keyfî olarak yok sayarak bir hile yapıyorlardı. Berkeley'in bu keskin eleştirisi matematik camiasında büyük bir etki yarattı. Kalkülüsün inanılmaz derecede başarılı ve kullanışlı bir araç olduğu açıktı ancak temellerinin bu kadar zayıf olması kabul edilemezdi.

Standart Analiz

Berkeley'in eleştirileri ve 18. yüzyıl boyunca süregelen tartışmalar, 19. yüzyılda matematikçileri kalkülüsün temellerini yeniden düşünmeye itti. Bu dönemin temel eğilimi analizin aritmetikleştirilmesi olarak bilinen, matematiği geometrik sezgilerden ve belirsiz kavramlardan arındırıp tamamen sayılar ve mantıksal kesinlik üzerine inşa etme çabasıydı. Bu süreçte mantıksal olarak sorunlu görülen sonsuz küçükler kavramı terk edildi ve yerine titiz bir şekilde tanımlanmış limit kavramı kullanıldı.

Standart Dışı Analiz

19. yüzyılda limit kavramının zaferiyle matematikten dışlanan sonsuz küçükler, 20. yüzyılın ortalarında beklenmedik bir alandan, matematiksel mantıktan gelen bir atılımla yeniden ve bu kez mantıksal olarak sağlam bir temelle diriltildi.

Abraham Robinson

1960'larda, Polonya asıllı Amerikalı matematikçi mantıkçı Abraham Robinson, model teorisi alanındaki bilgisini kullanarak sonsuz küçükler hesabına tutarlı bir temel sağladı. Robinson'ın temel fikri reel sayılar kümesini kapsayan, ancak aynı zamanda sonsuz küçük ve sonsuz büyük sayılarını da içeren daha geniş bir sayı sistemi inşa etmekti. Bu yeni sayı sistemine hiperreel sayılar adını verdi.

Hiperreel Sayılar

Standart dışı analizin temelini hiperreel sayılar kümesi (genellikle $*\mathbb {R}$ ile gösterilir) oluşturur.

• Sonsuz Küçükler: Sıfırdan farklı olan ancak mutlak değeri her pozitif reel sayıdan daha küçük olan sayılardır. Örneğin, $\epsilon$ bir sonsuz küçük ise, $\epsilon \neq 0$ olmasına rağmen, $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...$ dizisindeki her sayıdan ve dolayısıyla her pozitif reel sayıdan daha küçüktür.
• Sonsuz Büyükler: Mutlak değeri her reel sayıdan daha büyük olan sayılardır. Örneğin, $\omega$ sonsuz büyük bir sayı ise, her reel sayı $r$ için $|\omega |>r$ koşulu sağlanır. Sonsuz büyük sayılar, sıfır olmayan sonsuz küçüklerin çarpmaya göre tersleridir (örneğin, $\omega ={\frac {1}{\epsilon }}$)
• Sonlu Hiperreeller: Sonsuz büyük olmayan hiperreel sayılardır. Reel sayılar ve sonsuz küçükler bu kategoriye girer. Her sonlu hiperreel sayı, tek bir standart reel sayıya "sonsuz derecede yakın"dır. Örneğin, $5+\epsilon$ sayısı, standart reel sayı olan 5'e sonsuz yakındır.

Temel İlkeleri

Aktarım İlkesi

Bu ilke standart dışı analizin temel taşıdır ve Leibniz'in Süreklilik Yasası'nın modern ve titiz karşılığıdır. Aktarım ilkesi reel sayılar hakkında birinci dereceden mantık dili ile ifade edilebilen her doğru ifadenin, hiperreel sayılar için de doğru olduğunu belirtir.

Birinci dereceden ifadeler, temel cebirsel özellikleri, sıralama ilişkilerini ve "her x için...", "bazı y'ler için..." gibi niceleyiciler içereni fadelerdir. Örneğin:

• $\forall x\forall y(x+y=y+x)$ (Toplamanın değişme özelliği)
• $\forall x\forall y(x\leq y\lor y\leq x)$ (Tam sıralama özelliği)

Ancak aktarım ilkesi, "herhangi bir küme için..." gibi daha yüksek dereceli niceleyiciler içeren ifadeler için geçerli değildir. Bu nedenle reel sayıların bazı önemli özellikleri hiperreellere aktarılamaz. Örneğin "boş olmayan ve üstten sınırlı her reel sayı kümesinin bir en küçük üst sınırı vardır" (Dedekind tamlık özelliği) fadesi birinci dereceden değildir ve hiperreeller için geçerli değildir.

Standart Parça Fonksiyonu

Bu fonksiyon hiperreel dünyada yapılan hesaplamaların sonuçlarını standart reel dünyaya geri çevirmek için bir köprü görevi görür ve standart dışı analizin en önemli kavramsal araçlarından biridir. Standart parça fonksiyonu $st(x)$, sonlu bir hiperreel sayıyı ($x$) alıp ona sonsu yakın olan o tek standart reel sayıya yuvarlar.

• Tanım: Eğer $x$ sonlu bir hiperreel sayı ise, $st(x)$, $x-st(x)$ farkının bir sonsuz küçük (veya sıfır) olduğu yegane standart reel sayıdır.

Kalkülüs

Bu yeni çerçeve ile kalkülüsün temel kavramları, ($\epsilon ,\delta$) limitlerinden çok daha sezgisel bir şekilde yeniden tanımlanabilir.

• Türev Tanımı: Bir $f$ fonksiyonunun standart bir $x$ noktasındaki türevi, $dx$ sıfırdan farklı bir sonsuz küçük olmak üzere, $f(x)$'teki sonsuz küçük değişimin ($dy=f(x+dx)-f(x)$) $dx$'e oranının standart parçası olarak tanımlanır:$$f'(x)=st{\biggl (}{\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}{\biggr )}$$Örneğin, Leibniz'in sezgisel $f(x)=x^{2}$ fonksiyonu için:$${\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}={\frac {(x+dx)^{2}-x^{2}}{dx}}={\frac {x^{2}+2x(dx)+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}={\frac {2x(dx)+(dx)^{2}}{dx}}=2x+dx$$Bu hiperreel sonucun standart parçası alındığında:$$f'(x)=st(2x+x)=2x$$
• İntegral Tanımı: $[a,b]$ aralığı üzerindeki belirli integral, aralığın sonsuz sayıda sonsuz küçük $dx$ genişliğindeki alt aralığa bölündüğü bir Riemann toplamının standart parçası olarak tanımlanır. Eğer $H$ sonsuz büyük bir tam sayı ise, aralık $H$ tane parçaya bölünür ve her bir parçanın genişliği $dx={\frac {b-a}{H}}$ olur. İntegral şu şekilde ifade edilir:$$\int _{a}^{b}f(x)dx=st{\Biggl (}\sum _{i=0}^{H-1}{f(x_{i})\cdot dx}{\Biggr )}$$
• Kalkülüsün Temel Teoremi'nin İspatı: Teorem, bu tanımlar kullanılarak oldukça sezgisel bir şekilde ispatlanabilir. İntegral, bir antiderivatif olan $F(x)$ fonksiyonunun sonsuz küçük değişimlerinin ($dF(x)=F(x+dx)-F(x)\approx F'(x)dx=f(x)$) bir teleskopik toplamına dönüşür. Bu sonsuz toplamın sonucu $F(b)-F(a)$'ya sonsuz yakın bir hiperreel sayı olur ve standart parçası alındığında tam olarak $F(b)-F(a)$ sonucunu verir.

Kaynakça

Genel

• Berkeley, G. (1734). The Analyst; or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. J. Tonson.
• Cauchy, A. L. (1821). Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique. L'Imprimerie Royale.
• Corral, M. (2017). Elementary Calculus 2e.
• Davis, I. (2009). An Introduction to Nonstandard Analysis. University of Chicago.
• Fraser, A. C. (Ed.). (1871). The Works of George Berkeley (Vol. 4). Oxford Clarendon Press.
• Gözcü, A. S. (2022). Leibniz'in Erken Dönem Çalışmalarında Hareket ve Süreklilik. Felsefe Arkivi – Archives of Philosophy, 56, 73-89. https://doi.org/10.26650/arcp.1133205
• Hacısalihoğlu, H. H., Hacıyev, A., Kalantarov, V., Sabuncuoğlu, A., Brown, L. M., İbikli, E., & Brown, S. (2023). Matematik Terimleri Sözlüğü (3. basım). Türk Dil Kurumu Yayınları.
• Hall, A. R. (1980). Philosophers at War: The Quarrel between Newton and Leibniz. Cambridge University Press.
• İnan, İ. (2018). Sonsuz küçükler, limit ve süreklilik. Bilim ve Gelecek, 169.
• Kalaycıoğlu, M. S. (2017). Ben Buldum!. Bilim ve Teknik, 598, 64-65.
• Keisler, H. J. (2012). Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (3rd ed.). Dover Publications.
• Kock, A. (2006). Synthetic Differential Geometry (2nd ed.). Cambridge University Press.
• Kutateladze, S. S. (2013). Nonstandard Analysis: Its Creator and Place.
• Luxemburg, W. A. J. (1962). Non-Standard Analysis: Lectures on A. Robinson's Theory of Infinitesimals and Infinitely Large Numbers. California Institute of Technology.
• Özdemir, M. (2013). Ortaöğretim Öğrencilerinin Sonsuzluk Algıları ve Sonsuz Kümeleri Karşılaştırma Becerileri. Kastamonu Eğitim Dergisi, 21(3), 1235-1254.
• Robinson, A. (1996). Non-standard analysis (Reprint of the second (1974) ed.). Princeton University Press.
• Sinanoğlu, O. (1995). Fiziksel olayların açıklanmasında sonsuzluk kavramının önemi. Ankara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Fakültesi Dergisi, 28(1), 323-330.
• Sloughter, D. (2020). Yet Another Calculus Text: A Short Introduction with Infinitesimals.
• Stroyan, K. D. (2000). Foundations of Infinitesimal Calculus. University of Iowa.
• Yıldırım, C. (1981). Sonsuzluk Kavramının Gelişimi. Felsefe Arşivi, 22-23, 143-159.