İçeriğe atla

Ortak bölen

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematikte, sıfır olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayının en büyük ortak böleni, tam sayıların hepsini de bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin; 8 ve 12’nin ebob’u 4’tür.[1][2]

En büyük ortak bölen aynı zamanda en büyük ortak faktör (ebof),[3] en yüksek ortak faktör (eyof)[4] ile de isimlendirilir.

A ve B iki tam sayı ise, en büyük ortak bölenleri ebob(A,B) şeklinde gösterilir. A, B, C ve D tam sayılarının en büyük ortak böleni ise ebob(A,B,C,D) şeklinde gösterilir.

54 ve 24'ün en büyük ortak böleni nedir?

54 sayısı, iki tam sayının çarpımı şeklinde ifade edilebilir:

Böylece 54’ün bölenleri:

Benzer şekilde 24’ün bölenleri ise:

Bunların en büyüğü 6'dır. Yani 54 ve 24'ün en büyük ortak böleni

olur.

Geometrik görünüm

[değiştir | kaynağı değiştir]

Örneğin dikdörtgen bir alan yandaki görseldeki gibi bir ızgaraya bölünebilir: 1'e 1 kare, 2'ye 2 kare, 3'e 3 kare, 4'e 4 kare… 6'ya 6 kare… 12x12 kare. Bu nedenle 12 sayısı 24 ve 60'ın en büyük ortak bölenidir.

24x60

Böylece 24x60 bir dikdörtgen alan, bir kenarı (24/12 = 2) iki kare ve diğer kenarı (60/12 = 5) beş kare olan 12x12‘lik bir ızgaraya bölünebilir.

Kesirlerin indirgenmesi

[değiştir | kaynağı değiştir]

En büyük ortak bölen, kesirleri en küçük sayılara indirgemede yararlıdır.[5] Örneğin 42 ve 56 sayılarının en büyük ortak böleni yani ebob(42, 56) = 14’dür bu nedenle 42/56 kesiri şu şekilde 3/4’e indirgenir:

En küçük ortak kat

[değiştir | kaynağı değiştir]

İki tam sayının sıfır olmayan en küçük ortak katsayısı, bu sayıların en büyük ortak böleninden şu bağıntı kullanılarak hesaplanır:

Asal çarpanlara ayırma

[değiştir | kaynağı değiştir]

İki sayının asal çarpanlarını bulup sonra bu çarpanları karşılaştırarak En büyük ortak bölenleri (EBOB) hesaplanabilir. Örneğin ebob(48, 180) hesaplamak için önce 48 ve 180 sayılarının şu asal çarpanları buluruz;

48 = 24 · 31 ve 180 = 22 · 32 · 51.

Bu durumda Venn şemasında gösterildiği gibi EBOB sayısı;

2min(4,2) · 3min(1,2) · 5min(0,1) = 22 · 31 · 50 =12’dir.

Karşılık gelen En küçük Ortak Kat (EKOK) sayısı ise 2max(4,2) · 3max(1,2) · 5max(0,1) = 24 · 32 · 51 = 720’dir.

[6]

Bu yöntem yalnızca küçük sayılar için uygundur çünkü sayıları asal çarpanlarına ayırma çok uzun sürer.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Long (1972, p. 33)
  2. ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 34)
  3. ^ Kelley, W. Michael (2004), The Complete Idiot's Guide to Algebra, Penguin, p. 142, ISBN 9781592571611.
  4. ^ Jones, Allyn (1999), Whole Numbers, Decimals, Percentages and Fractions Year 7, Pascal Press, p. 16, ISBN 9781864413786.
  5. ^ "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. 29 Ekim 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ağustos 2020. 
  6. ^ Gustavo Delfino, "Understanding the Least Common Multiple and Greatest Common Divisor" 22 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Wolfram Demonstrations Project, Published: February 1, 2013.