Çıkarma

Askerî taktik için çıkarma (askerî taktik) sayfasına bakınız.

"5 - 2 = 3"

Bordeaux'daki bir dükkânın dışında, satın alınan ikinci parfümün fiyatından %20 çıkarımını reklam eden tabela.

Çıkarma (eksi işareti ile gösterilir, –), toplama, çarpma ve bölme ile birlikte dört aritmetik işlemden biridir. Çıkarma, bir koleksiyondan nesnelerin çıkarılmasını temsil eden bir işlemdir. Örneğin, bitişik resimde 5 − 2 şeftali vardır—yani 5 şeftaliden 2'si çıkarılır ve sonuçta toplam 3 şeftali kalır. Dolayısıyla, 5 ile 2'nin farkı 3'tür; yani, 5 − 2 = 3. Aritmetikte öncelikle doğal sayılarla ilişkilendirilse de, çıkarma; negatif sayılar, kesirler, irrasyonel sayılar, vektörler, ondalık sayılar, fonksiyonlar ve matrisler dâhil olmak üzere farklı türden nesneler üzerinden fiziksel ve soyut niceliklerin çıkarılmasını veya azaltılmasını da temsil edebilir.

Bir bakıma, çıkarma toplamanın tersidir. Yani, c = a − b ancak ve ancak c + b = a geçerli ise. Bu işlem sözcüklerle ifade edilirse: iki sayının farkı, ikinci sayıya eklendiğinde birinciyi veren sayıdır.

x + a = b şeklindeki denklemlerin çözüm kümesi x = b - a şeklinde çıkarma işlemi kullanılarak bulunur. Bir sayıdan negatif bir sayının çıkarılması a – (– b) = a + b özdeşliğine göre bir toplama niteliği taşır.

Çıkarma birkaç önemli örüntüyü izler. Antikomütatiftir (zıt sıra değişimli); yani sıralamayı değiştirmek sonucun işaretini değiştirir. Ayrıca birleşmeli değildir; yani ikiden fazla sayı çıkarılırken, çıkarmanın hangi sırayla yapıldığı önemlidir. 0, toplamada etkisiz eleman olduğundan, onun çıkarılması bir sayıyı değiştirmez. Çıkarma, toplama ve çarpma gibi ilişkili işlemlere ilişkin öngörülebilir kurallara da uyar. Bu kuralların tümü, tamsayılar üzerinde çıkarmayla başlayıp reel sayılara ve ötesine genellenerek matematiksel kanıtla gösterilebilir. Bu örüntüleri izleyen genel ikili işlemler soyut cebirde incelenir.

Hesaplanabilirlik kuramında, çıkarma doğal sayılar üzerinde 'iyi tanımlı ifade' olmadığından, sayılar arasındaki işlemler aslında "kırpılmış çıkarma" ya da monus kullanılarak tanımlanır.

Simgelem ve terminoloji

Çıkarma genellikle içtakı gösterimi ile terimler arasında eksi işareti "−" kullanılarak yazılır. Sonuç bir eşittir işareti ile ifade edilir. Örneğin, $2-1=1$ ("iki eksi bir eşittir bir" diye okunur) ve $4-6=-2$ ("dört eksi altı eşittir eksi iki" diye okunur).

Bununla birlikte, çıkarma sembolü görünmese bile "anlaşılan" olduğu bazı durumlar vardır; muhasebede, iki sayılık bir sütunda, alttaki sayının kırmızı yazılması genellikle sütundaki alttaki sayının çıkarılacağını, farkın ise bir çizginin altında aşağıya yazılacağını gösterir.

Çıkarılan sayı çıkan, kendisinden çıkarılan sayı ise eksilendir. Sonuç ise farktır; yani:

$${\rm {eksilen}}-{\rm {cikan}}={\rm {fark}}.$$

Tamsayılar ve reel sayılar

Tamsayılar

Sol ucu a ve sağ ucu c olarak etiketlenmiş, uzunluğu b olan bir doğru parçası hayal edin.

adan başlayarak cye ulaşmak için sağa doğru b adım atmak gerekir. Sağa doğru bu hareket, matematiksel olarak toplama ile modellenir:

a + b = c.

cden, aya geri dönmek için b adım sola gitmek gerekir. Sola doğru bu hareket çıkarma ile modellenir:

c − b = a.

Şimdi, 1, 2 ve 3 sayılarıyla etiketlenmiş bir doğru parçası hayal edin. 3 konumundan, 3'te kalmak için sola hiç adım atılmaz; dolayısıyla 3 − 0 = 3 olur. 1 konumuna gelmek için sola 2 adım atılır; dolayısıyla 3 − 2 = 1 olur. Bu resim, 3 konumunun soluna 3 adım gidildikten sonra ne olacağını açıklamak için yetersizdir. Böyle bir işlemi temsil etmek için doğru uzatılmalıdır.

Keyfi doğal sayıları çıkarmak için, her doğal sayıyı içeren (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...) bir doğruyla başlanır. 3'ten, 0'a gelmek için sola 3 adım gerekir; dolayısıyla 3 − 3 = 0 olur. Ancak 3 − 4 hâlâ geçersizdir, çünkü yine doğrunun dışına çıkar. Doğal sayılar, çıkarma için kullanışlı bir bağlam değildir.

Çözüm, (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...) tamsayı sayı doğrusunu dikkate almaktır. Bu şekilde, 3'ten sola 4 adım gidilince −1'e ulaşılır:

3 − 4 = −1.

Örnek problem

Doğal sayılar

Doğal sayıların çıkarılması kapalı değildir: fark, eksilen çıkarılandan büyük ya da ona eşit olmadığı sürece bir doğal sayı değildir. Örneğin, 26, doğal bir sayı elde etmek için 11'den çıkarılamaz. Böyle bir durumda iki yaklaşımdan biri kullanılır:

1. 26'nın 11'den çıkarılamayacağı sonucuna varılır; çıkarma bir kısmi fonksiyon hâline gelir.
2. Cevap, negatif sayıyı temsil eden bir tam sayı olarak verilir; dolayısıyla 11'den 26 çıkarma işleminin sonucu −15'tir.

Reel sayılar

Reel sayılar cismi; yalnızca toplama ve çarpma ikili işlemleri ile toplamsal ve çarpımsal tersleri veren tekli işlemler belirtilerek tanımlanabilir. Bu durumda, bir reel sayının (çıkan) bir diğerinden (eksilen) çıkarılması, eksilen ile çıkanın toplamsal tersinin toplanması olarak tanımlanabilir. Örneğin, 3 − π = 3 + (−π). Alternatif olarak, bu tekli işlemlere gerek duymak yerine, çıkarma ve bölme ikili işlemleri temel olarak alınabilir.

Özellikler

Ters değişmelilik

Çıkarma işlemi ters değişmelidir (anti-komütatif); yani, bir fark işlemindeki terimlerin yerleri değiştirildiğinde, elde edilen sonuç orijinal sonucun negatifidir. Sembolik olarak, a ve b herhangi iki sayı ise, o hâlde:

a − b = −(b − a).

Birleşmesizlik

Çıkarma birleşmeli değildir; bu durum, tekrarlı çıkarmayı tanımlamaya çalışıldığında ortaya çıkar. Genel olarak, şu ifade

"a − b − c"

ya (a − b) − c ya da a − (b − c) anlamına gelecek şekilde tanımlanabilir, ancak bu iki olasılık farklı sonuçlara yol açar. Bu sorunu çözmek için, farklı sıraların farklı sonuçlar verdiği bir işlem önceliği sırası belirlemek gerekir.

Öncül

Tam sayılar bağlamında, 1 sayısı çıkarma işleminde özel bir rol oynar: herhangi bir a tam sayısı için, (a − 1) tam sayısı, a'dan küçük olan en büyük tam sayıdır; bu sayı aynı zamanda a'nın öncülü (predecessor) olarak da bilinir.

Ölçü birimleri

Kilogram veya pound gibi ölçü birimleri olan iki sayı çıkarılırken, aynı birime sahip olmaları gerekir. Çoğu durumda, fark, özgün sayılarınkiyle aynı birime sahip olacaktır.

Yüzdeler

Yüzdeliklerdeki değişiklikler en az iki biçimde bildirilebilir: yüzde değişim ve yüzde puanı değişimi. Yüzde değişim, iki nicelik arasındaki bağıl değişimi yüzde olarak ifade ederken, yüzde puanı değişimi ise iki yüzdeyi birbirinden çıkararak elde edilen sayıdır.

Örnek olarak, bir fabrikada üretilen araçların %30'unun kusurlu olduğunu varsayalım. Altı ay sonra, araçların %20'si kusurludur. Yüzde değişim 20% − 30%/30% = −1/3 = −33 1/3% iken, yüzde puan değişimi −10 yüzde puandır.

Hesaplamalarda

Tümleyen yöntemi (the method of complements), bir sayıyı diğerinden, yalnızca pozitif sayıların toplanmasını kullanarak çıkarmaya yarayan bir tekniktir. Bu yöntem mekanik hesap makinelerinde yaygın olarak kullanılmıştır ve modern bilgisayarlarda hâlâ kullanılmaktadır.

İkili basamak	Birler tümleyeni
0	1
1	0

Bir y ikili sayısını (çıkan) başka bir x sayısından (eksilen) çıkarmak için; y'nin 1'e tümleyeni x ile toplanır ve bu toplama 1 eklenir. Sonucun en solundaki '1' basamağı atılır.

Tümleyen yöntemi, özellikle ikili (taban 2) sistemde son derece yararlıdır; çünkü 1'e tümleyen, her bir bitin ters çevrilmesiyle (yani "0"ın "1", "1"in ise "0" yapılmasıyla) çok kolay bir şekilde elde edilir. 2'ye tümleyeni bulmak için gereken 1 ekleme işlemi ise, en düşük anlamlı bite bir elde girişi varmış gibi işlem yapılarak gerçekleştirilebilir. Örneğin:

  01100100  (x, ondalık 100'e eşittir)
- 00010110  (y, ondalık 22'ye eşittir)

şu toplama dönüşür:

  01100100  (x)
+ 11101001  (y'nin birler tümleyeni)
+        1  (ikiler tümleyenini elde etmek için)
——————————
 101001110

Baştaki "1" atıldığında yanıt elde edilir: 01001110 (ondalık 78'e eşittir).

Okullarda çıkarma işleminin öğretimi

Çıkarma işlemini ilkokulda öğretmek için kullanılan yöntemler ülkeden ülkeye değişir ve bir ülke içinde de farklı zamanlarda farklı yöntemler benimsenir. Amerika Birleşik Devletleri'nde geleneksel matematik olarak bilinen yaklaşımda, çok basamaklı tam sayılarla kullanım için 1. yılın sonunda (veya 2. yıl sırasında) öğrencilere belirli bir süreç öğretilir ve kesirli sayıların ondalık gösterimlerini kapsayacak şekilde dördüncü ya da beşinci sınıfta genişletilir.

Amerika Birleşik Devletleri

Amerikan okullarının neredeyse tamamı günümüzde ödünç alma veya yeniden gruplama (ayrıştırma algoritması) kullanan bir çıkarma yöntemini ve crutches adı verilen bir işaretleme sistemini öğretmektedir. Ödünç alma yöntemi daha önce de bilinip ders kitaplarında yayımlanmış olsa da, Amerikan okullarında crutches kullanımının yaygınlaşması William A. Brownell'ın bu yöntemi kullanan öğrenciler için crutches'ın yararlı olduğunu ileri süren bir çalışma yayımlamasından sonra gerçekleşti. Bu sistem hızla benimsendi ve o dönemde Amerika'da kullanılan diğer çıkarma yöntemlerinin yerini aldı.

Avrupa

Bazı Avrupa okulları, toplama yöntemi olarak da bilinen Avusturya yöntemi adı verilen bir çıkarma yöntemini kullanır. Bu yöntemde ödünç alma yoktur. Ülkeye göre değişen yardımcı işaretler (hafızaya yardımcı olmak için işaretlemeler) de vardır.

İki ana yöntemin karşılaştırılması

Bu yöntemlerin her ikisi de çıkarmayı, basamak değerine göre tek basamaklı çıkarmalardan oluşan bir süreç olarak parçalara ayırır. En düşük değerli basamaktan başlayarak, çıkan şu şekildedir:

s_j s_j−1 ... s₁

ve eksilen şu şekildedir:

m_k m_k−1 ... m₁,

burada her s_i ve m_i birer basamaktır, s_i m_i'yi aşmadığı sürece m₁ − s₁, m₂ − s₂ ve benzerlerini yazarak ilerler. Aksi halde, m_i 10 artırılır ve bu artışı telafi etmek için başka bir basamak değiştirilir. Amerikan yöntemi, eksilen basamağı m_i+1'i bir azaltmayı deneyerek düzeltir (ya da ödünç alınabilecek sıfır olmayan bir basamak bulunana kadar ödünç almayı sola doğru sürdürerek). Avrupa yöntemi ise, eksilen basamağı s_i+1'i bir artırarak düzeltir.

Örnek: 704 − 512.

${\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {elde}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Eksilen}}\\\longleftarrow \;{\rm {Cikan}}\\\longleftarrow {\rm {Fark}}\\\end{array}}$

Eksilen 704, çıkan 512'dir. Eksilen basamakları m₃ = 7, m₂ = 0 ve m₁ = 4'tür. Çıkan basamakları s₃ = 5, s₂ = 1 ve s₁ = 2'dir. Birler basamağından başlayarak, 4 2'den küçük değildir; dolayısıyla fark 2 sonucun birler basamağına yazılır. Onlar basamağında 0 1'den küçüktür; bu yüzden 0 10 artırılır ve 1 ile olan farkı olan 9 onlar basamağına yazılır. Amerikan yöntemi, onun artırılmasını eksilenin yüzler basamağındaki rakamı bir azaltarak düzeltir. Yani 7'nin üzeri çizilir ve yerine 6 yazılır. Çıkarma daha sonra yüzler basamağında sürer; burada 6 5'ten küçük değildir, dolayısıyla fark sonucun yüzler basamağına yazılır. Sonuç olarak 192 elde edilir.

Avusturya yöntemi 7'yi 6'ya düşürmez. Bunun yerine çıkanın yüzler basamağını bir artırır. Bu basamağın yakınına veya altına (okula bağlı olarak) küçük bir işaret konur. Ardından çıkarma, 1 artırıldığında ve üzerine 5 eklendiğinde 7 eden sayının ne olduğu sorularak sürdürülür. Cevap 1'dir ve sonucun yüzler basamağına yazılır.

Buna ek bir nüans da, Amerikan yönteminde öğrencinin her zaman zihinsel bir çıkarma tablosu kullanmasıdır. Avusturya yöntemi ise çoğu zaman öğrenciyi zihinsel olarak toplama tablosunu tersine kullanmaya teşvik eder. Yukarıdaki örnekte, 5'e 1 ekleyip 6 elde etmek ve bunu 7'den çıkarmak yerine, öğrenciden 1 artırıldığında ve üzerine 5 eklendiğinde 7 eden sayının ne olduğu düşünmesi istenir.

El ile çıkarma

Avusturya yöntemi

Örnek:

• 
  1 + ... = 3
• 
  Fark, çizginin altına yazılır.
• 
  9 + ... = 5
  gerekli toplam (5) nispeten küçük.
• 
  Bu yüzden, ona 10 ekleriz ve çıkanın bir sonraki üst basamağının altına 1 yazarız.
• 
  9 + ... = 15
  Artık farkı, daha önce olduğu gibi bulabiliriz.
• 
  (4 + 1) + ... = 7
• 
  Fark, çizginin altına yazılır.
• 
  Sonuç fark.

Soldan sağa çıkarma

Örnek:

• 
  7 − 4 = 3
  Bu sonuç şimdilik sadece geçici olarak yazılır.
• 
  Eksilenin bir sonraki basamağı çıkandan küçük olduğu için, geçici olarak yazdığımız sayıdan bir çıkarırız ve bir sonraki basamağa zihinden on ekleriz.
• 
  15 − 9 = 6
• 
  Eksilenin bir sonraki basamağı çıkandan küçük olmadığı için, bu sayıyı aynen bırakırız.
• 
  3 − 1 = 2

Amerikan yöntemi

Bu yöntemde, çıkarılan sayının her bir basamağı, sağdan sola doğru başlanarak üstündeki basamaktan çıkarılır. Üstteki sayı, alttaki sayıyı ondan çıkarmak için çok küçükse, ona 10 ekleriz; bu 10, soldaki üst basamaktan "ödünç alınır" ve ondan 1 çıkarırız. Ardından bir sonraki basamağı çıkarmaya ve gerektiğinde ödünç almaya geçeriz; tüm basamaklar çıkarılana kadar devam ederiz.

Örnek:

• 
  3 − 1 = ...
• 
  Fark, çizginin altına yazılır.
• 
  5 − 9 = ...
  Eksilen (5) nispeten küçük.
• 
  Bu yüzden ona 10 ekleriz. Bu 10, soldaki basamaktan 'ödünç alınmıştır' (onluk bozulmuştur) ve o basamak 1 azalır.
• 
  15 − 9 = ...
  Artık çıkarma işlemi yapılabilir hale gelir ve fark çizginin altına yazılır.
• 
  6 − 4 = ...
• 
  Fark, çizginin altına yazılır.
• 
  Sonuç fark.

Önce ödünç alma

Tüm ödünç almaların tüm çıkarmadan önce yapıldığı Amerikan yönteminin bir varyantı.

Örnek:

• 
  1 − 3 = mümkün değil.
  1'e bir 10 ekleriz. Bu 10, yanındaki 5'ten 'ödünç alındığı' için, 5 sayısı 1 azaltılır.
• 
  4 − 9 = mümkün değil.
  Bu yüzden, 1. adım ile ilerleriz.
• 
  Sağdan sola çalışırsak:
  11 − 3 = 8
• 
  14 − 9 = 5
• 
  6 − 4 = 2

Kısmi farklar

Kısmi farklar yöntemi, diğer dikey çıkarma yöntemlerinden farklıdır çünkü ödünç alma veya elde etme yapılmaz. Bunların yerine, eksilenin çıkandan büyük ya da küçük olmasına bağlı olarak artı veya eksi işaretleri konur. Kısmi farkların toplamı, toplam farktır.

Örnek:

• 
  Küçük sayı büyük sayıdan çıkarılır:
  700 − 400 = 300
  Eksilen, çıkandan büyük olduğu için; bu fark artı işaretlidir.
• 
  Küçük sayı büyük sayıdan çıkarılır:
  90 − 50 = 40
  Eksilen, çıkandan küçük olduğu için; bu fark eksi işaretlidir.
• 
  Küçük sayı büyük sayıdan çıkarılır:
  3 − 1 = 2
  Eksilen, çıkandan büyük olduğu için; bu fark artı işaretlidir.
• 
  +300 − 40 + 2 = 262

Dikey olmayan yöntemler

Yukarı doğru sayma

Farkı basamak basamak bulmak yerine, çıkarılan ile eksilen arasındaki sayılar yukarı doğru sayılabilir.

Örnek: 1234 − 567 = şu adımlarla bulunabilir:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Toplam farkı elde etmek için her adımdaki değer toplanır: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Çıkarmayı parçalara ayırma

Zihinden aritmetik için yararlı olan bir başka yöntem, çıkarmayı küçük adımlara bölmektir.

Örnek: 1234 − 567 = aşağıdaki şekilde çözülebilir:

• 1234 − 500 = 734
• 734 − 60 = 674
• 674 − 7 = 667

Aynı değişiklik

Aynı değişiklik yöntemi, eksilenden ve çıkandan aynı sayının eklenmesi veya çıkarılmasının sonucu değiştirmediği gerçeğini kullanır. Kişi, çıkanda sıfırlar elde etmek için gereken miktarı basitçe ekler.

Örnek:

1234 − 567 = aşağıdaki gibi çözülebilir:

• 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

Ayrıca bakınız

• Elde
• Temel aritmetik
• Negatif sayı
• Artı ve eksi işaretleri

Bibliyografya

• Brownell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
• Cole, Williams (1921). The Fundamentals of Accounting. Houghton Mifflin. ISBN 978-1-178-36252-7. 
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (İngilizce). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-48700-6. 
• Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter The Mathematics Educator, Cilt 8, No. 1 (orijinal yayın) ve Cilt 10, No. 1 (yeniden basım.) PDF

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Subtraction", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Yazdırılabilir çalışma sayfaları: Çıkarma çalışma sayfaları, Tek basamaklı çıkarma, İki basamaklı çıkarma, Dört basamaklı çıkarma ve Daha fazla çıkarma çalışma sayfası
• Çıkarma oyunu
• Japon abaküsünde çıkarma, Abacus: Mystery of the Bead içinden seçilmiştir