Üçgen

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Herhangi bir üçgen.

Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir.

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360°'dir.

[AB] U [AC] U [BC]= ABC\!\,

Burada;

A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve [AB], [AC], [BC]\!\, doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. \alpha\!\,, \beta\!\, ve \gamma\!\, üçgenin iç açılarıdır.

Matematiksel tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B ve C de bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin bir Riemann yüzeyi olarak Dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açıları toplamı 270°'dir.

Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.

Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.

Üçgenin açıları[değiştir | kaynağı değiştir]

Üçgenin dış açıları
Üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı

BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır.

|BC|=a\!\,, |AB|=c\!\, ve |AC|=b\!\, \alpha+\beta+\gamma = 180^0\!\,

  • Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine A tepe noktasından teğet geçecek şekilde ve BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

  • Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir ABD üçgenine D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

Üçgenlerin türleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar v.b.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da Hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

Kenarlarına göre üçgenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Eşkenar Üçgen İkizkenar Üçgen Çeşitkenar Üçgen
Eşkenar İkizkenar Çeşitkenar

Eşkenar üçgen[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Eşkenar üçgen

Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

İkizkenar üçgen[değiştir | kaynağı değiştir]

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşittir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay, hem kenarortay özelliği gösterir.

Çeşitkenar üçgen[değiştir | kaynağı değiştir]

Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur

Açılarına Göre Üçgenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Dar açılı üçgen[değiştir | kaynağı değiştir]

Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

Dik açılı üçgen[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Dik Üçgen

Bir açısı dik (yani 90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

Geniş açılı üçgen[değiştir | kaynağı değiştir]

Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

Üçgen bağıntıları[değiştir | kaynağı değiştir]

Pisagor Bağıntısı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:

\ a^2+b^2=c^2\!\,.

Pisagor bağıntısı

Alan hesaplamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

Kenardan yararlanma[değiştir | kaynağı değiştir]

Alan hesaplaması

Bir üçgenin alanı, taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

\frac{b.h}{2}=A(ABC)

Açıdan yararlanma[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
A(ABC)=\frac{a.b.sin\gamma}{2}

Heron Yöntemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Çevre uzunluğuna '2u', yarısına 'u' dersek alan:

A(ABC)=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}

Kosinüs Teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Kosinüs teoremi

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da \alpha olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

c=\sqrt{a^2+b^2-2ab.cos\alpha}

Öklit Bağıntısı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir dik üçgende hipotenüse "a" diğer iki kenara "b" ve "c", hipotenüs uzunluğunun yüksekliğine "h", bu yüksekliğin ikiye böldüğü "c" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "p", "b" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "k" dersek,

Öklid bağıntısı

 h^2=k.p

 b^2=k(p+k)

 c^2=p(p+k)

a.h=b.c

Üçgende yardımcı elemanlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Açıortay[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir..

Açıortay

\frac{|AC|}{|CD|}=\frac{|AB|}{|DB|}

Açıortay uzunluğu[değiştir | kaynağı değiştir]

|AD|=\sqrt{|AC||AB|-|BD||DC|}

Kenarortay[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Kenarortay
Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı 2n ve n olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
|AG|=2|GD|\!\, olur.

Kenarortay teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

2V^2_a=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}

Üçgenlerle ilgili teoremler[değiştir | kaynağı değiştir]

Ceva Teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Ceva teoremi
Seva Teoremi 'nin uygulandığı üçgen

Ceva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

\frac{|CE|}{|EA|}.\frac{|AF|}{|FB|}.\frac{|BD|}{|DC|}=1

Menelaus Teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Menelaus teoremi
Menelaus Teoremi

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

\frac{|FB|}{|FA|}.\frac{|AE|}{|EC|}.\frac{|CD|}{|DB|}=1

Steward Teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Steward Teoremi
Steward Teoremi

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:

|AD|^2=\frac{c^2.n+b^2m}{m+n}-m.n

Carnot Teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Carnot Teoremi

Bir üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a, b (ilk kenar) x, y (ikinci kenar) m, n (üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın. Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:

a^2+x^2+m^2=b^2+y^2+n^2\!\,

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]