Heron formülü

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Kenar uzunlukları a, b ve c olan bir üçgen.

Heron formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamaya yarayan geometri formülüdür. Yunan matematikçi Heron tarafından bulunmuştur.

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

s, üçgenin yarıçevresini göstermektedir:

s=\frac{a+b+c}{2}.

Heron formülü şu şekillerde de yazılabilir:

A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
A=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
A=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}
A=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}

Örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

ΔABC, kenar uzunlukları a=7, b=4 ve c=5 olan bir üçgen olsun. Yarıçevre   s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(7+4+5)=8 , ve alan

 T = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{8 \cdot (8-7) \cdot (8-4) \cdot (8-5)}
=\sqrt{8 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3)}=\sqrt{96}=4\sqrt{6} \approx 9.8

İspatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Kosinüs teoremini yazarsak,

\cos \widehat C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

C açısının sinüsünü bulalım

\sin \widehat C = \sqrt{1-\cos^2 \widehat C} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

Üçgenin a kenarının yüksekliği b·sin(C) olur.



\begin{align}
A & = \frac{1}{2} (\mbox{taban}) (\mbox{yukseklik}) \\
& = \frac{1}{2} ab\sin \widehat C \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}{16}} \\
& = \sqrt{\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}\frac{(a + b + c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(a + b + c)}{2}\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}} \\
& = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.
\end{align}

İspatın iki adımında, iki kare farkı kullanılmıştır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]