Stewart teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Stewart teoremi

Stewart teoremi, geometride, bir üçgenin herhangi bir kenarını kesen doğru ile kesilen kenarın parçaları ve diğer kenarlar arasında kurulan bir bağıntıdır.

Stewart teoreminin kullanımı, yandaki üçgene göre aşağıdaki şekillerdedir.

|AD|^2=\frac{c^2.n+b^2m}{m+n}-m.n
\ (m+n)|AD|^2=c^2.n+b^2m-(m+n)mn

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu teoremin ispatı bütünler açıları kullanarak kosinüs teoreminden bulunur. Yandaki şekillerde ADB ve ADC bütünler açılardır. ADB açısına \alpha dersek, ADC açısı 180-\alpha olur. Trigonometrik fonksiyonlardan biri olan kosinüsün özelliğinden de aşağıdaki durum ortaya çıkar;

\ \cos({180-\alpha})=-\cos\alpha

Bunun üzerine ADB ve ADC üçgenlerinde kosinüs teoremi uygularsak;

\ |AD|^2+m^2-2|AD|m\cos\alpha=c^2
\ |AD|^2+n^2-2|AD|n\cos{180-\alpha}= b^2

İkinci bağıntı trigonometrik fonksiyon özelliğinden dolayı aşağıdaki şekli alır;

\ |AD|^2+n^2+2|AD|n\cos{\alpha}= b^2

Üstteki bağıntı n, alttaki bağıntı m ile çarpılıp alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı elde edilir;

\ nc^2+mb^2=(m+n)|AD|^2+mn(m+n)

Bağıntıda sağ taraf (m+n) parantezine alınrısa:

\ nc^2+mb^2=(m+n)(|AD|^2+mn)

Gerekli düzenlemeler ile (m+n) ve mn sol tarafa geçirilirse;

|AD|^2=\frac{c^2.n+b^2m}{m+n}-m.n

elde edilir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]