Dik üçgen

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Bir dik üçgen

Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir. Çemberde çapı gören çevre açı 90°'dir.

İlgili bağıntılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Pisagor teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Pisagor teoremi

Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntıya verilen addır. Bu bağıntıya göre, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.

\ a^2 + b^2 = c^2 pisagor bağıntısında 90 derecenin karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir. Hipotenüsün karesi diğer dik kenarların karesine eşittir.Tüm bu kenarlar toplanır ve karekökü alınır yani sonuç budur.

Özel dik üçgenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Açıya göre[değiştir | kaynağı değiştir]

İkizkenar dik üçgen

45-45-90 üçgeni[değiştir | kaynağı değiştir]

45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir. Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların \sqrt{2} katıdır. Oran aşağıdaki gibidir:

1:1:\sqrt{2}.\,

İspatı ise çok basittir. Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır. Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs \sqrt{2} çıkar. Ya da dik kenarın birini 1,5 'la çarp.Hipotenüs bulunur.Bunun sebebi açılar hipotenüsün açılarının daha açıldığı için 1,5'la çarparız.Örnek:Dik kenar 2 cm ise hiptenüs 3 cm olmak zorundadır.Açılar hipotenüsü dik kenardan yarısı kadar fazlalaştırır.

30-60-90 üçgeni[değiştir | kaynağı değiştir]

30-60-90 üçgeni ve ispatı

Açıları 30-60-90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır:

2:1:\sqrt{3}.\,

30°'nin karşısındaki kenarın \sqrt{3} katıdır. İspatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır. Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir. Aynı zamanda da açıortay olacaktır. Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır. Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır. Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme \sqrt{3} cm bulunacaktır.

22,5-67,5-90 üçgeni[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu üçgende ise 22,5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67,5°'lik kenarın karşısındaki kenar 1+\sqrt{2} cm olur. İspatı ise 67,5°'lik açıyı 45° ve 22,5° şeklinde parçalayarak yapılır. Bu şekilde altta oluşan ikizkenar dik üçgende alt dik kenar 1 cm olursa hipotenüs \sqrt{2} cm olur. Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur. Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından 1+\sqrt{2} elde edilir. Ve yine kaynaklarda pek bahsedilmeyen ama soruların çözümünde kolaylık sağlayan bir özellik: 22,5-67,5-90 üçgeninde hipotenüs, dik köşeden hipotenüse indirilen dikmenin 2 \sqrt{2} katı olur.

15-75-90 üçgeni[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar 2+\sqrt{3} cm olur. İspatı ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir. Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılara bölünmesidir.

Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün \frac{1}{4} katıdır.

Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır. Bazı özel üçgenler şunlardır:

3:4:5\,
6:8:10\,
5:12:13\,
8:15:17\,
7:24:25\,
20:21:29\,

Bu üçgenlerin kenar uzunlukları aynı oranda artırılarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneğin, 3-4-5 ve 6-8-10).

Ayrıca herhangi bir tek sayıyı (asal olmak şartı ile) kenar uzunluğu olarak belirlersek karesinin ardışık toplamları da diğer iki kenarı verecektir. Örnek olarak; 7=>7'nin karesi 49=25+24 7,25,24 şeklinde özel bir dik üçgen vardır. 9=>9'un karesi 81=40+41 9,40,41 şeklinde özel bir dik üçgen vardır. Ve dik üçgende kenarların tamsayı olduğu koşulda, en kısa kenarı tek sayı ise kalan kenarların bu kurala uyması şarttır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]