Trigonometri

Geometri konuları
Genel Geometri Uzay Doğru Doğru parçası Açı Işın Düzlem Üçgen Geometrisi Eşkenar üçgen İkizkenar üçgen Dik üçgen Kenarortay Açıortay Pisagor teoremi Öklid Bağıntıları Çokgenler Dörtgen Kare Paralelkenar Dikdörtgen Beşgen Altıgen Diğer Çember Elips Analitik geometri Trigonometri

Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalı.

Tarihi

Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Mısırlılar döneminde biliniyor, eski Yunanlılar Menelaos’un Küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler.^{[kaynak belirtilmeli]}.

Batı’da Nasirettin Tusi’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un Üçgen Üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri fonksiyonlarının ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı.^{[kaynak belirtilmeli]}.

Düzlemsel trigonometri aslında her tür düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır. Açılarından biri (x) 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90-x'e eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar |OD| hipotenüs, O 'nun karşısındaki kenar |CD| karşı kenar, |OC| 'ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur.

Açı

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.

[OA ve [OB ışınlarına açının kenarları, O noktasına ise açının köşesi denir.

Birim (trigonometrik) çember

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veya trigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi x² + y² = 1 şeklindedir.

Birim çemberde verilen bir $\ P(x,y)$ noktası;

• 1.bölgede $\ x > 0 , y > 0$
• 2.bölgede $\ x < 0 , y > 0$
• 3.bölgede $\ x < 0, y < 0$
• 4.bölgede $\ x > 0, y < 0$ dır.

• Açıyı ölçmek demek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.

Bazı açı ölçü birimleri şunlardır;

DERECE: Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir.

GRAD: Bir tam çember yayının 400 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 grad denir.

RADYAN: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Çember yayının ölçüsü $\ 2\pi$ radyandır ve radyanla çarpılarak bulunur.

Sarma fonksiyonu

Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan fonksiyona sarma fonksiyonu denir.

Sarma fonksiyonunu s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek fonksiyon

$\ s:\mathbb{R}\to C$

şeklinde yazılabilir ve $\ s(x)=P$ oldugunda $\ s(x+ 2k \pi ) = P$ olur. Başka bir deyişle, sarma fonksiyonu, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) 2π olan bir fonksiyondur.

Bir açının esas ölçüsü

a) Verilen açı $\ 0 < x < 360$ ya da $\ x = 0 , x = 360$ ise;

$\ x$ in esas ölçüsü kendisidir.

b) Verilen açı $\ x > 360$ ya da $\ x = 360$ ise;

$\ x$ in 360 a bölümünden kalan esas ölçüyü verir.

c) Verilen açı $\ x < 0$ ise;

$\ -x$ 360 a bölümünden kalan $\ y$ olsun.

O halde, $\ x$ in esas ölçüsü $\ 360 - y$ dır.

Trigonometrik fonksiyonlar

Sinüs, kosinüs ve tanjant.

Sağdaki resimdeki gibi verilmiş bir ABC üçgeninde

• Sinüs (kısaltılmış biçimi; sin), $\sin \alpha = \frac{\vert BC \vert}{\vert AB \vert} = \frac{a}{h}$
• kosinüs (cos), $\cos \alpha = \frac{\vert AC \vert}{\vert AB \vert} = \frac{b}{h}$
• tanjant (tan ya da tg), $\tan \alpha = \frac{\vert BC \vert}{\vert AC \vert} = \frac{a}{b}$
• kotanjant (cot) $\cot \alpha = \frac{\vert AC \vert}{\vert BC \vert} = \frac{b}{a}$
• sekant (sec), $\sec \alpha = \frac{\vert AB \vert}{\vert AC \vert} = \frac{h}{b}$
• kosekant (cosec) ve $\csc \alpha = \frac{\vert AB \vert}{\vert BC \vert} = \frac{h}{a}$

olarak adlandırılır.

Bu tanımlardan görülebileceği gibi, bu fonksiyonlar arasında,

$\tan\ x = \frac{\sin\ x}{\cos\ x}$

$\cot\ x = \frac{1}{\tan\ x} = \frac{\cos\ x}{\sin\ x}$

$\sec\ x = \frac{1}{\cos\ x}$

$\csc\ x = \frac{1}{\sin\ x}$

${\cos^2\ x} + {\sin^2\ x} = 1$ (Pisagor teoremi)

${\tan^\ x} . {\cot^\ x} = 1$

ilişkileri vardır.

Dik üçgenlerde bazı açıların trigonometrik oranları

	$\ 0$	$\ 30 =\pi /6$	$\ 45 =\pi /4$	$\ 60 =\pi /3$	$\ 90 =\pi /2$	$\ 180 =\pi$	$\ 270 =(3/2)\pi$
$\sin\ x$	$\ 0$	$\ 1 / 2$	$\sqrt 2 / 2$	$\sqrt 3 / 2$	$\ 1$	$\ 0$	$\ -1$
$\cos\ x$	$\ 1$	$\sqrt {3} / 2$	$\sqrt {2} / 2$	$\ 1/ 2$	$\ 0$	$\ -1$	$\ 0$
$\tan\ x$	$\ 0$	$1 / \sqrt {3}$	$\ 1$	$\sqrt {3}$	$\ \infty$	$\ 0$	$\ \infty$
$\cot \ x$	$\ \infty$	$\sqrt{3}$	$\ 1$	$\ 1 / \sqrt{3}$	$\ 0$	$\ \infty$	$\ 0$

Trigonometrinin kullanım alanları

Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır:

jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji...

Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik fonksiyonlar farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok farklı dalda kullanım olanağı bulmuştur. Böylece ısı akışı ve difüzyon başta olmak üzere özellikle periyodik özellik gösteren kavramların incelendiği birçok dalda ve fenomende trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilmiştir; akustik, radyasyon ve elektronik gibi..