Kenarortay

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Kenarortay üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçası. Kenarortayların kesiştiği noktaya o üçgenin ağırlık merkezi denir ve G harfi ile adlandırılır.

Bir üçgende ağırlık merkezi kenarortayı ikiye bir oranında böler. Yani bir üçgende köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
|AG|=2|GD|

Kenarortay formülleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Kenarortay uzunluğu[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir üçgende kenarortayın uzunluğunu bulmak için;

2V^2_a=b^2+c^2-\frac{a^2}{2} bağıntısı kullanılır.

Eğer tüm kenarortaylar için bu eşitlik yazılıp taraf tarafa toplanırsa şu eşitlik elde edilir:

4(V^2_a+V^2_b+V^2_c)=3(a^2+b^2+c^2)

İspatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Kenarortayın kenarı kestiği noktada bir açıya x, diğer açıya 180-x yazılırsa ve iki defa kosinüs teoremi uygulanıp taraf tarafa toplanırsa kenarortay teoremi elde edilir.

Dik üçgende kenarortay[değiştir | kaynağı değiştir]

Muhteşem üçlü

Bir dik üçgende A noktasından hipotenüse ait çizilen kenarortay doğru parçası hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem üçlü):

|MA|=\frac{|BC|}{2}

Bir dik üçgende dik kenarlara ait kenarortaylarının karelerinin toplamı hipotenüse ait kenarortayın karesinin beş katıdır:

V^2_b+V^2_c=5V^2_a=\frac{5}{4}a^2

İspatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Şu bağıntıyı yukarıda bulmuştuk:

4(V^2_a+V^2_b+V^2_c)=3(a^2+b^2+c^2)

Hipotenüs c kabul edilirse Pisagor teoremi gereği a2+b2 yerine c2 yazılır. Muhteşem üçlüye göre c yerine 2Vc yazılıp düzenlenirse eşitlik elde edilir.

Dik kesişen kenarortaylar[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer bir üçgende herhangi iki kenarortay dik olarak kesişiyorsa bu bağıntılar ortaya çıkar:

V_b ve V_c dik kesişen kenarortaylar olmak üzere;
V^2_b+V^2_c=V^2_a

Kenarortayın izdüşüm uzunluğu[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir kenar üzerindeki yükseklik ile kenarortayı birleştiren doğru parçası kenarortayın izdüşümüdür ve uzunluğu(x) şu formülle hesaplanır:

2ax=|b^2-c^2|

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]