Kosinüs teoremi

Şekil 1: Açıları ve kenarları isimlendirilmiş bir üçgen

Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şöyledir:

$\ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

$\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$

$\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Kosinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmada ve üç kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır. Ayrıca bu teorem, sadece dik üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını tüm üçgenler için geneller.

İspatı

Uzaklık Formülüyle

Kenarları $a, b, c$ ve c kenarının karşısındaki açısı $\alpha$ olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde $\ A(b\sin\alpha,b\cos\alpha), B(0,a), C(0,0)$ noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle $c = \sqrt{(b\cos \alpha - a)^2+(b\sin \alpha - 0)^2}$ bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki şekilde teorem ispat edilir:

$\begin{align} c^2 & {} = (b\cos \alpha - a)^2+(b\sin \alpha - 0)^2 \\ c^2 & {} = b^2 \cos ^2 \alpha - 2ab\cos \alpha + a^2 + b^2\sin ^2 \alpha \\ c^2 & {} = a^2 + b^2 (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) - 2ab\cos \alpha \\ c^2 & {} = a^2 + b^2 - 2ab\cos \alpha \end{align}$

Trigonometriyle

Şekil 2: Bir dikme indirilmiş üçgen

Şekil 2'deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:

$c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,.$

Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:

$c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,.$

Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:

$a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\,,$

$b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,.$

bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:

$a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,$

En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:

$ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,$

yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,.$

elde edilir.

İkizkenar üçgende kosinüs teoremi

Bir ikizkenar üçgende $a=b$ ve taban açıları eşit ve $\gamma$ olduğu durumda $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır:

$\cos(\gamma) = 1 - \frac{c^2}{2a^2}. \;$

İlgili konular

• Trigonometri
• Kosinüs
• Üçgen