Denklem

Vikipedi, özgür ansiklopedi

→ Başlığın diğer anlamları için Denklem (Kimya) sayfasına bakınız.

Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır. Araya (=) işareti getirilerek ifade edilir. Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır. Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir.

(x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir. x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır. Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur. Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir.Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir.

Yüzey denklemi: Üç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir.

Eğri denklemi: Eğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir. İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir:

y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1

birer eğri denklemidir.

Cebirsel denklem: Terimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir.

Denklem sistemi: Ortak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu.

Lineer denklem: Değişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem. Mesela:

3x + y = 5, 8x + 9 =3

gibi.

Logaritmik denklem: Bilinmeyenlerin logaritmik fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir.

log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi.

Transandant denklem: Cebirsel olmayan denklemlerdir. Logaritmik, üstel, trigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir.(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe'si "AŞKIN" olarak çevirilmiş. Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır. Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir. Aşkın Sayılar)

[değiştir] Denklemler teorisi

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + .... + a₁x + a₀ = 0

çok terimli denklemleriyle ilgilenir. Burada n denklemin derecesini ve a_n denklemin baş katsayısını gösterir.

Çarpan teoremi: Eğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere:

f(x) = (x-a)·g(x)

yazılabilir.

Kök sayısı: Bir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır.

Katlı kök: Eğer:

f(x)=(x-a)^k·g(x)

yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür.

Mesela:

x³ + x² - 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0

denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür.

Karmaşık kök: Eğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a - ib de diğer bir köktür.

Gerçel kökün yeri: Eğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır. Mesela

f(x) = x⁵ - x - 1 = 0

da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır.

İkinci derece denklem: x² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur. Bu kökler

$x_{1,2}=-\frac{a}{2}\pm \sqrt{\frac{a^2}{4}-b}$

gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir. Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar. Negatif ise gerçek kök yoktur.

Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini öne sürdü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel beşinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824). Abel'den bağımsız olarak aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar kuramına dayandırmıştı. Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde kendi adıyla anılan kuramı ortaya koydu.