Birebir fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi

$f:X\longrightarrow Y$ , $X$ 'ten $Y$ 'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her $x_1,\, x_2\in X$ için $f (x 1) = f (x 2)$ eşitliği $x 1 = x 2$ eşitliğini gerektiriyorsa, yani $X$ 'in iki değişik elemanı $Y$ 'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman $f$ fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.

Örneğin, $f (x) = x 2$ kuralıyla tanımlanan $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu birebir değildir çünkü - gene - örneğin $f ( - 5) = f (5)$ eşitliği sağlanır; öte yandan gene $g (x) = x 2$ kuralıyla tanımlanan $g: \mathbb{R}^{\geq 0} \longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu birebirdir.

Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer $f:X\longrightarrow Y$ ve $g:Y\longrightarrow Z$ birebir iki fonksiyonsa o zaman $g\circ f$ fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.

Eğer $f:X\longrightarrow Y$ ve $g:Y\longrightarrow Z$ iki fonksiyonsa ve $g\circ f$ (bkz. bileşke) birebirse o zaman $f$ fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer $x_1,\, x_2\in X$ için $f (x 1) = f (x 2)$ ise, o zaman her iki tarafı da $g$ 'de değerlendirerek, $g (f (x 1)) = g (f (x 2))$ elde ederiz, yani $(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)$ . Buradan da $g\circ f$ birebir olduğundan $x 1 = x 2$ çıkar.

Cantor'un kümeler kuramına göre eğer $X$ 'ten $Y$ 'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, $X$ 'in $Y$ 'den "daha az" elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu $|X|\leq |Y|$ olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne göre $|X|\leq |Y|$ ve $|Y|\leq |X|$ ise $|X|\simeq |Y|$ 'dır, yani ile $Y$ arasında bir eşleme vardır.