Ters fonksiyon

A fonksiyonu ƒ ve tersi ƒ^–1. Çünkü ƒ a yı 3'e götürür, tersi ƒ^–1 3'ü a ya götürür.

Matematikte, ters fonksiyon, bir fonksiyonun görüntü kümesinden alınan herhangi bir elemanını tanım kümesindeki aslına gönderen fonksiyona denir. Bir fonksiyonun tersi, fonksiyon birebir ve örten ise tanımlı olabilir. Ters fonksiyon $f^{-1} (x)$ ile gösterilir. Ancak $f^{-1}(x)$ yalnızca bir gösterim olup, "f(x) fonksiyonunun çarpmaya göre tersi" ile karıştırılmamalıdır.

Ters Fonksiyon Bulma

Eğer ƒ X i Y ye götürüyorsa, ƒ^–1 Y yi X e götürür.

• $f (x)=ax+b$ şeklindeki doğrusal fonksiyonların tersi $f^{-1} (x)= \cfrac {x-b} {a}$ dır.

Örnek: $f(x)=3x-2 \Rightarrow f^{-1} (x)=f^{-1} (x)= \cfrac {x+2} {3}$

• $f (x)=\cfrac {ax+b} {cx+d}$ fonksiyonunun tersi $f^{-1} (x)=\cfrac {-dx+b} {cx-a}$ dır. Bir başka deyişle paydaki x'li terim ile paydadaki sabit sayının hem yerleri hem işaretleri değişir.

Örnek:$f (x)=\cfrac {x+6} {2x-5} \Rightarrow f^{-1} (x)=\cfrac {5x+6} {2x-1}$

• $f (x)=ax^2+bx+c$ gibi ikinci dereceden polinom şeklindeki fonksiyonların tersini bulmak için şu yol uygulanır;

$f:(3,\infty) \rightarrow (4,\infty)$

$f (x)=x^2-6x+13$

$y=x^2-6x+13$ (Bu aşamadan sonra x yalnız bırakılmaya çalışılacak.)

$y=(x^2-6x+9)+4$

$y=(x-3)^2+4$ (İfadenin bir kısmı tam kare hâline çevrildi)

$y-4=(x-3)^2$

$\sqrt{y-4}=\sqrt{(x-3)^2}$

$\sqrt{y-4}=|x-3|$

$\sqrt{y-4}=x-3$ (x, 3 ten büyük olduğu için mutlak değer içi pozitiftir.)

$x=3+\sqrt{y-4}$

$f^{-1} (x)=3+\sqrt{x-4}$