Ters fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
A fonksiyonu ƒ ve tersi ƒ–1. Çünkü ƒ a yı 3'e götürür, tersi ƒ–1 3'ü a ya götürür.

Matematikte, ters fonksiyon, bir fonksiyonun görüntü kümesinden alınan herhangi bir elemanını tanım kümesindeki aslına gönderen fonksiyona denir. Bir fonksiyonun tersi, fonksiyon birebir ve örten ise tanımlı olabilir. Ters fonksiyon f^{-1} (x) ile gösterilir. Ancak f^{-1}(x) yalnızca bir gösterim olup, "f(x) fonksiyonunun çarpmaya göre tersi" ile karıştırılmamalıdır.

Ters Fonksiyon Bulma[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer ƒ X i Y ye götürüyorsa, ƒ–1 Y yi X e götürür.
  • f (x)=ax+b şeklindeki doğrusal fonksiyonların tersi f^{-1} (x)= \cfrac {x-b} {a} dır.
Örnek: f(x)=3x-2 \Rightarrow f^{-1} (x)=f^{-1} (x)= \cfrac {x+2} {3}
  • f (x)=\cfrac {ax+b} {cx+d} fonksiyonunun tersi f^{-1} (x)=\cfrac {-dx+b} {cx-a} dır. Bir başka deyişle paydaki x'li terim ile paydadaki sabit sayının hem yerleri hem işaretleri değişir.
Örnek:f (x)=\cfrac {x+6} {2x-5} \Rightarrow f^{-1} (x)=\cfrac {5x+6} {2x-1}
  • f (x)=ax^2+bx+c gibi ikinci dereceden polinom şeklindeki fonksiyonların tersini bulmak için şu yol uygulanır;
f:(3,\infty) \rightarrow (4,\infty)
f (x)=x^2-6x+13
y=x^2-6x+13 (Bu aşamadan sonra x yalnız bırakılmaya çalışılacak.)
y=(x^2-6x+9)+4
y=(x-3)^2+4 (İfadenin bir kısmı tam kare hâline çevrildi)
y-4=(x-3)^2
\sqrt{y-4}=\sqrt{(x-3)^2}
\sqrt{y-4}=|x-3|
\sqrt{y-4}=x-3 (x, 3 ten büyük olduğu için mutlak değer içi pozitiftir.)
x=3+\sqrt{y-4}
f^{-1} (x)=3+\sqrt{x-4}