Vektör

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Yöney sayfasından yönlendirildi)
Atla: kullan, ara

Vektör veya yöney, sayısal büyüklüğü ve birimi yanında, skaler niceliklerden farklı olarak yönü de olan niceliktir. Hız, kuvvet, ivme ve ağırlık örnek birer vektörel niceliktir. Vektörler bir sayı (skaler) ile veya başka bir vektör ile çarpılabilir ve bölünebilir. Aynı zamanda yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilirler. Vektörlerin yönlü doğru parçalarından farkı budur. Yönlü doğru parçalarının koordinat sistemindeki yeri sabitken, vektörler ötelenebilirler.

Köken[değiştir | kaynağı değiştir]

İngilizce'de bu yapı için kullanılan sözcük vector dür. Kökeni, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" Latincefiilgövdesidir[1]. Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki Türkçe'de (büyük ihtimalle Fransızca'dan devşirilmiş olan) vektör karşılığından sonra yöney karşılığı kullanılmaktadır[2].

Gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Vector arrow pointing from A to B

Fiziksel vektörler veya geometrik vektörler, başlangış noktası A, bitim noktası B olan [AB] doğru parçasına yönlü doğru parçası denir. Bu vektör;

\overrightarrow{\Alpha\Beta}

ile gösterilir.

Ok vektörün yönünü gösterir. Doğru parçasının uzunluğu ise, vektör büyüklüğü ile doğru orantılıdır.

Notation for vectors in or out of a plane.svg

İki boyutlu bir koordinat düzleminde; bazen bir vektör koordinat düzlemine dik olarak gösterilmesi gerekebilir. Bir dairenin merkezinde bir nokta bulunursa (Unicode U+2299 ⊙), bu sembol yönü gözlemciye doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bir dairenin içinde bir çarpı işareti bulunursa (Unicode U+2297 ⊗), bu sembol yönü düzlemin arkasına doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bu semboller, bir savaş okunun ucunun görüntülenmesi ve bir savaş okunun arka kanatlarının görüntülenmesi gibi düşünülebilir.

Soyut tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Soyut olarak vektörler , bir F cisminin üzerine tanımlı bir vektör uzayının öğeleridir. Vektörler bu cisim üzerine tanımlanmış bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlanabilir. a,b,c,d \in F^n=F \times F \times \cdots \times F (n tane) olsun. a öğesi ile b öğesi,ancak bileşenlerin toplamı olarak a+d=b+c ise bağıntılıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse

a \sim b \Leftrightarrow \forall i \in \{1, 2, \cdots, n \} : \quad a_i+d_i=b_i+c_i

şeklinde tanımlanır ki burada a_i \in F'ler a noktasının koordinatlarıdır ve +işlemi F cismine aittir.

Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde vektör, denklik sınıflarıdır. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir vektör

\mathbf{a}=\{a|a \sim b \}

olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir vektör,

\mathbf{a}=( a_1-b_1,a_2-b_2,\cdots,a_n-b_n )=( c_1-d_1,c_2-d_2,\cdots,c_n-d_n )

şeklinde düşünülebilir.

Gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir vektör çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti (\vec{a}) ya da koyu harf (\mathbf{a}) gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.

Vektörün bileşenleriyle gösteriminde ise genellikle sıralı n-li kullanılır.

\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)

Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) satır ya da sütun dizey gösterimi de yeğlenir.

\mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix} ya da\mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_n \end{bmatrix}

Yine yaygın gösterimlerden biri birim vektör gösterimidir.

\mathbf{a}=a_1 \mathbf{i}_1+a_2 \mathbf{i}_2+\cdots+a_n \mathbf{i}_n

ki burada

\mathbf{i}_1=(1,0,\cdots,0)
\mathbf{i}_2=(0,1,0,\cdots,0)
\vdots
\mathbf{i}_n=(0,\cdots,0,1)

alınabilir.

Bir vektör

\mathbf{a}=\sum_{j=1}^n a_j \mathbf{i}_j

şeklinde düşünüldüğünde Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak

a=a_j \mathbf{i}_j \quad \quad \quad (j=1,2,\cdots,n)

şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, toplam simgesinden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

Eşitlik[değiştir | kaynağı değiştir]

Ancak vektörlerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki vektör eşittir.

\mathbf{a}=\mathbf{b}

Vektör toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Vector addition.svg

İki vektörün toplamı üçüncü bir vektöre eşittir. 1.şekil parelelkenar metodu,2.si ise uç uca ekleme metodudur.

\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1 \mathbf{i}_1+a_2 \mathbf{i}_2+\cdots+a_n \mathbf{i}_n)+(b_1 \mathbf{i}_1+b_2 \mathbf{i}_2+\cdots+b_n \mathbf{i}_n)
=(a_1+b_1)\mathbf{i}_1 + (a_2+b_2)\mathbf{i}_2 + \cdots + (a_n+b_n)\mathbf{i}_n
=\begin{bmatrix}a_1+b_n \\ a_2+b_n \\ \cdots \\ a_3+b_n\end{bmatrix}

Skaler (sayıl) ile çarpma[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir vektör uzayında, skaler ve vektörler arasında bir çarpma ve dağılma olması gerekir. r,s sayılları F cismine ait olsun. O halde \mathbf{a}, \mathbf{b}vektörleri için,

özellikleri sağlanır.

Genel olarak vektörle skalerle çarpması, vektörün her bileşeninin skaler ile çarpılmasıdır.

r\mathbf{a}=\begin{bmatrix} r a_1 & r a_2 & \cdots & r a_n \end{bmatrix}

Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)[değiştir | kaynağı değiştir]

İki vektörün doğrudan çarpımının sonucu ne bir vektördür ne bir skalerdir, bir ikiçtir (dyad).

  \mathbf{a} \mathbf{b} =

  \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}b_1 && b_2 && b_3 \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}a_1 b_1 && a_1 b_2 && a_1 b_3
  \\a_2 b_1 && a_2 b_2 && a_2 b_3
  \\a_3 b_1 && a_3 b_2 && a_3 b_3 \end{bmatrix}

Bu çarpıma, eğer vektörler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer vektöreri birim vektörlerle ifade edersek

\mathbf{a}=a_1 \mathbf{i}_1+a_2\mathbf{i}_2+a_3 \mathbf{i}_3
\mathbf{b}=b_1 \mathbf{i}_1+b_2\mathbf{i}_2+b_3 \mathbf{i}_3

şeklinde tanımlanan iki vektör için doğrudan çarpım

\mathbf{a} \mathbf{b} \, = ( a_1 \mathbf{i}_1+a_2\mathbf{i}_2+a_3 \mathbf{i}_3 ) ( b_1 \mathbf{i}_1+b_2\mathbf{i}_2+b_3 \mathbf{i}_3 )
= a_1 b_1 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_1 + a_1 b_2 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_2 + a_1 b_3 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_3
+ a_2 b_1 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_1 + a_2 b_2 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_2 + a_2 b_3 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_3
+ a_3 b_1 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_1 + a_3 b_2 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_2 + a_3 b_3 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_3

olarak elde edilir. Buradaki \mathbf{i}_1\mathbf{i}_2 gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir \mathbf{i} cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden\mathbf{i}_{ij}=\mathbf{i}_i\mathbf{i}_j olarak tanımlandığında

\quad = a_1 b_1 \mathbf{i}_{11} + a_1 b_2 \mathbf{i}_{12} + a_1 b_3 \mathbf{i}_{13}
+ a_2 b_1 \mathbf{i}_{21} + a_2 b_2 \mathbf{i}_{22} + a_2 b_3 \mathbf{i}_{23}
+ a_3 b_1 \mathbf{i}_{31} + a_3 b_2 \mathbf{i}_{32} + a_3 b_3 \mathbf{i}_{33}

elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekâbül eder.

Konum (yer) vektörü[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinat düzleminde bir konum(yer) vektörü. Vektörün koordinatları: A vektörü = (2,3)

Başlangıç noktası orijin olan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz.

Başlangıç noktası O = (0,0), bitiş noktası A = (2,3) olan iki boyutlu bir vektör düşünelim. Bu vektör basit olarak aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

\overrightarrow{A} = (2,3)

Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde (veya \mathbb{R}^3) vektörler, üç skaler sayı ile tanımlanır:

\overrightarrow{G} = (a, b, c)

Standart temel vektörler[değiştir | kaynağı değiştir]

"i","j","k" temel birim vektörleri.

Birim vektör, uzunluğu 1 birim olan vektörlere denir. Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde x,y ve z eksenleri üzerinde yer alan üç tane temel birim vektör vardır. Bunlar:

i = {\mathbf e}_1 = (1,0,0)
j = {\mathbf e}_2 = (0,1,0)
k = {\mathbf e}_3 = (0,0,1)

ise:

\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}

Bir vektörün normu[değiştir | kaynağı değiştir]

A vektörünün uzunluğu (normu ya da boyu), ||A|| sembolü ile gösterilir.

"i", "j" ve "k" temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü, Pisagor teoreminin bir sonucudur. O halde:

\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}

Yukarıdaki vektörü ele alırsak:

\left\|\overrightarrow{G}\right\|=\sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}

İki vektörün birbiriyle çarpımı[değiştir | kaynağı değiştir]

\overrightarrow{G} = (a, b, c)
\overrightarrow{H} = (d, e, f)

Bu iki vektörü ele alırsak:

Skaler (iç) çarpım (\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H})[değiştir | kaynağı değiştir]

Nokta çarpım da denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Bileşenleri türünden çarpımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Örnek:

\overrightarrow{G} = (a, b, c)
\overrightarrow{H} = (d, e, f)

Bu iki vektörü ele alırsak:

\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H} = {(a, b, c)}\cdot{(d, e, f)} = {a}\cdot{d} + {b}\cdot{e} + {c}\cdot{f}

Aralarındaki açı türünden çarpımı[değiştir | kaynağı değiştir]

\overrightarrow{A} ve \overrightarrow{B} vektörleri arasındaki "theta" açısı.

Örnek:

\overrightarrow{G} = (a, b, c)
\overrightarrow{H} = (d, e, f)

Bu iki vektörü ele alırsak:

\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H}

=\left\|\overrightarrow{G}\right\|\left\|\overrightarrow{H}\right\|\cos\theta

\cos\theta 'nın değerini bulmak için:

\cos \theta=\frac {\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H}} {\left\|\overrightarrow{G}\right\|\left\|\overrightarrow{H}\right\|}

Vektörel çarpım (\overrightarrow{G}\times\overrightarrow{H})[değiştir | kaynağı değiştir]

Çapraz çarpım da denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Örnek:

\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}
\overrightarrow{H} = (d, e, f) = d{\mathbf i} + e{\mathbf j} + f{\mathbf k}

Bu iki vektörü ele alırsak:

\overrightarrow{G}\times\overrightarrow{H} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} && \mathbf{j} && \mathbf{k} \\ a && b && c \\ d && e && f \end{vmatrix}
\quad

Yukarıdaki problem bir determinant problemidir. Sarrus kuralı ile hesaplanır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]