Yöney

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Yöney veya vektör, sayısal büyüklüğü ve birimi yanında doğrultu ve yönü de olan cebirsel yapılardır. Hız, kuvvet, ivme, ağırlık ve benzerleri birer yöneysel büyüklüktür. Yöneyler bir sayı ile çarpılabilir ve bölünebilir. Yöneyler yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilir.

[değiştir] Tanım

Soyut olarak yöneyler, bir F cisminin üzerine tanımlı bir yöney uzayının öğeleridir. Yöneyler bu cisim üzerine tanımlanmış bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlanabilir. $a,b,c,d \in F^n=F \times F \times \cdots \times F$ (n tane) olsun. a öğesi ile b öğesi, ancak bileşenlerin toplamı olarak a+d=b+c ise bağıntılıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse

$a \sim b \Leftrightarrow \forall i \in \{1, 2, \cdots, n \} : \quad a_i+d_i=b_i+c_i$

şeklinde tanımlanır ki burada $a_i \in F$ 'ler a noktasının koordinatlarıdır ve + işlemi F cismine aittir.

Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde yöney, denklik sınıflarıdır. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir yöney

$\mathbf{a}=\{a|a \sim b \}$

olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir yöney,

$\mathbf{a}=( a_1-b_1,a_2-b_2,\cdots,a_n-b_n )=( c_1-d_1,c_2-d_2,\cdots,c_n-d_n )$

şeklinde düşünülebilir.

[değiştir] Gösterim

Bir yöney çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti ( $\vec{a}$ ) ya da koyu harf ( $\mathbf{a}$ ) gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.

Yöneyin bileşenleriyle gösteriminde ise genellikle sıralı n-li kullanılır.

$\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$

Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) satır ya da sütun dizey gösterimi de yeğlenir.

$\mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$ ya da $\mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_n \end{bmatrix}$

Yine yaygın gösterimlerden biri birim yöney gösterimidir.

$\mathbf{a}=a_1 \mathbf{i}_1+a_2 \mathbf{i}_2+\cdots+a_n \mathbf{i}_n$

ki burada

$\mathbf{i}_1=(1,0,\cdots,0)$

$\mathbf{i}_2=(0,1,0,\cdots,0)$

$\vdots$

$\mathbf{i}_n=(0,\cdots,0,1)$

alınabilir.

Bir yöney

$\mathbf{a}=\sum_{j=1}^n a_j \mathbf{i}_j$

şeklinde düşünüldüğünde Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak

$a=a_j \mathbf{i}_j \quad \quad \quad (j=1,2,\cdots,n)$

şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, toplam simgesinden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

[değiştir] Köken

İngilizce'de bu yapı için kullanılan sözcük vector dür. Kökeni, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" Latince fiil gövdesidir^[1]. Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki Türkçe'de (büyük ihtimalle Fransızca'dan devşirilmiş olan) vektör karşılığından sonra yöney karşılığı kullanılmaktadır^[2].

[değiştir] Yöney İşlemleri

[değiştir] Eşitlik

Ancak yöneylerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki yöney eşittir.

$\mathbf{a}=\mathbf{b} \Leftrightarrow \forall a_i,b_i: a_i=b_i$

Daha cebirsel olarak, iki yöney aynı denklik sınıfına aitse eşittir.

[değiştir] Yöney toplamı

İki yöneyin toplamı üçüncü bir yöneye eşittir.

$\mathbf{a}+\mathbf{b}$	$=(a_1 \mathbf{i}_1+a_2 \mathbf{i}_2+\cdots+a_n \mathbf{i}_n)+(b_1 \mathbf{i}_1+b_2 \mathbf{i}_2+\cdots+b_n \mathbf{i}_n)$
	$=(a_1+b_1)\mathbf{i}_1 + (a_2+b_2)\mathbf{i}_2 + \cdots + (a_n+b_n)\mathbf{i}_n$
	$=\begin{bmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \cdots \\ a_3+b_3\end{bmatrix}$

[değiştir] Skaler (sayıl) ile çarpma

Bir yöney uzayında, sayıl ve yöneyler arasında bir çarpma ve dağılma olması gerekir. r,s sayılları F cismine ait olsun. O halde $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ yöneyleri için,

Sayıl ile birleşme: $r(s \mathbf{a})=(rs)\mathbf{a}$
Sayıl toplaması üzerine dağılma: $(r+s)\mathbf{a}=r\mathbf{a}+s\mathbf{a}$
Yöney toplamı üzerine dağılma: $r(\mathbf{a}+\mathbf{b})=r\mathbf{a}+r\mathbf{b}$
Sayıl birim öğe ile çarpma: $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$

özellikleri sağlanır.

Genel olarak yöneyle sayılın çarpması, yöneyin her bileşeninin sayıl ile çarpılmasıdır.

$r\mathbf{a}=\begin{bmatrix} r a_1 & r a_2 & \cdots & r a_n \end{bmatrix}$

[değiştir] Nokta (sayıl) çarpım

İki yöney sayıl çarpımla çarpılırsa bir yöney değil bir skaler (sayıl) elde edilir.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos\alpha$

Yöneyleri birim yöneylerle ifade edip, çarpımı birim yöneylerin çarpımından tanımlamak da mümkündür.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \left(a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n \right)\cdot\left(b_1 \mathbf{e}_1 + b_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + b_n \mathbf{e}_n \right)$

Eğer birim yöneyler $\mathbf{e}_i$ (i = 1, 2, ..., n) olarak gösterilirse (örneğin üç boyutta $\mathbf{i}=\mathbf{e}_1$ vs.),

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}$

Burada $δ i j$ ifadesi, Kronecker delta fonksiyonudur ve i ile j eşitse 1, değilse 0 değerini alır. Örneğin;

$\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=0$

$\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}=0$

$\mathbf{i}^2=\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1$

olur. Bu durumda bir yöneyin nokta çarpımı birim yöneylerin çarpımına indirgenmiş olur:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$

Ayrıca bu çarpımı dizeylerle de tanımlayabiliriz:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a^T b =\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1 && a_2 && a_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}= a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

[değiştir] Çapraz (yönel) çarpım

Üç boyutlu iki yöneyin çapraz çarpımı, bu iki yöneyin tanımladığı düzleme dik üçüncü bir yöneye eşittir.

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right| \sin \theta \mathbf{n}$

ki burada $\mathbf{n}$ her iki yöneye dik olan birim yöneydir. Ayrıca yöneyler satır ya da sütün dizeyler (matris) olarak düşünüldüğünde bu çarpım aşağıdaki gibi tanımlanabiir:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$	$=\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$
$\quad$	$=\begin{bmatrix}0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$
$\quad$	$=\begin{bmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix}$

Yönel çarpım determinant ile de tanımlanabilir:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$	$=\begin{vmatrix} \mathbf{i}_1 && \mathbf{i}_2 && \mathbf{i}_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{vmatrix}$
$\quad$	$=(a_2b_3 - a_3b_2) \mathbf{i}_1 + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{i}_2 + (a_1b_2 - a_2b_1) \mathbf{i}_3$

Dikkat edilirse eğer yöneyler paralelse $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$ olacağından çarpımın sonucu sıfır yöneyidir.

[değiştir] Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)

İki yöneyin doğrudan çarpımının sonucu ne bir yöneydir ne bir skalerdir, bir ikiçtir (dyad).

$\mathbf{a} \mathbf{b} = \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 && b_2 && b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1 b_1 && a_1 b_2 && a_1 b_3 \\a_2 b_1 && a_2 b_2 && a_2 b_3 \\a_3 b_1 && a_3 b_2 && a_3 b_3 \end{bmatrix}$

Bu çarpıma, eğer yöneyler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer yöneyleri birim yöneylerle ifade edersek

$\mathbf{a}=a_1 \mathbf{i}_1+a_2\mathbf{i}_2+a_3 \mathbf{i}_3$

$\mathbf{b}=b_1 \mathbf{i}_1+b_2\mathbf{i}_2+b_3 \mathbf{i}_3$

şeklinde tanımlanan iki yöney için doğrudan çarpım

$\mathbf{a} \mathbf{b} \,$	=	$( a_1 \mathbf{i}_1+a_2\mathbf{i}_2+a_3 \mathbf{i}_3 ) ( b_1 \mathbf{i}_1+b_2\mathbf{i}_2+b_3 \mathbf{i}_3 )$
	=	$a_1 b_1 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_1 + a_1 b_2 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_2 + a_1 b_3 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_3$
	+	$a_2 b_1 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_1 + a_2 b_2 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_2 + a_2 b_3 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_3$
	+	$a_3 b_1 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_1 + a_3 b_2 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_2 + a_3 b_3 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_3$

olarak elde edilir. Buradaki $\mathbf{i}_1\mathbf{i}_2$ gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir $\mathbf{i}$ cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden $\mathbf{i}_{ij}=\mathbf{i}_i\mathbf{i}_j$ olarak tanımlandığında

$\quad$	=	$a_1 b_1 \mathbf{i}_{11} + a_1 b_2 \mathbf{i}_{12} + a_1 b_3 \mathbf{i}_{13}$
	+	$a_2 b_1 \mathbf{i}_{21} + a_2 b_2 \mathbf{i}_{22} + a_2 b_3 \mathbf{i}_{23}$
	+	$a_3 b_1 \mathbf{i}_{31} + a_3 b_2 \mathbf{i}_{32} + a_3 b_3 \mathbf{i}_{33}$