Kategori teorisi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Kategori teorisi (yeni Türkçe: Ulam kuramı), matematik yapılar ve bunlar arasındaki ilişkilerle soyut olarak ilgilenen bir matematik kuramıdır. Yarı mizahi "soyut anlamsızlık" olarak da bilinir.

Tarihi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir kategori birbirileriyle ilişkili matematiksel nesneler sınıfının (örneğin grupların) özünü yakalamaya çalışır. Geleneksel olarak yapıldığı gibi tekil nesneler (gruplar) üzerine yoğunlaşmak yerine, bu nesneler arasındaki yapı muhafaza edici gönderimler (yani morfizimler) üzerine yoğunlaşır. Gruplar örneğinde bu gönderimler grup homomorfizmleridir. Bu şekilde farklı kategorileri funktorlar aracılığıyla ilişkilendirmek mümkündür. Funktorlar, bir kategorinin her nesnesini diğer kategorinin bir nesnesiyle ve bir kategorideki morfizmi diğerindeki bir morfizme ilişkilendiren fonksiyonların bir genelleştirmesidir. Sıkça topolojik uzayın temel grubu gibi "doğal yapılar" funktorlar şeklinde ifade edilebilir. Bunun ötesinde, bu tip yapılar "doğal bir bağıntıya" sahiptir ve bir funktoru diğerine ilişkilendirme yolu olan doğal transformasyon konseptine olanak tanır.

Kategoriler, funktorlar ve doğal transformasyonlar Samuel Eilenberg ve Saunders MacLane tarafından 1945 yılında ortaya atılmıştır. Başlangıçta bu nosyonlar, topolojide, özellikle cebirsel topolojide, geometrik ve sezgisel bir kavram olan homolojiden aksiyomatik bir yaklaşım olan homoloji teorisine geçişte önemli bir bölümdür. Başkalarının yanı sıra Ulam tarafından (ya da kendisine atfen), benzer düşüncelerin 1930'ların sonunda Polonya okulunda ortaya çıktığı iddia edilmiştir.

Eilenberg/MacLane, kendi ifadelerine göre, bu kuramı geliştirirken doğal transformasyonları anlama çabasındaydılar. Bunu yapabilmek için funktorlar tanımlamak, funktorları tanımlamak için ise kategoriler tanımlamak gerekiyordu.

Günümüzde bu kuram, matematiğin tüm alanlarında uygulanmaktadır.


Kategoriler, nesneler, ve morfizmler[değiştir | kaynağı değiştir]


Kategoriler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir kategori C aşağıdaki üç matematiksel durumu oluşturur:

  • Bir sınıf ob(C), böyle ögelere nesneler denir;
  • Bir sınıf hom(C), böyle ögelere biçimler veya göndermeler veya oklar denir. Her biçim f bir kaynak nesne a ve hedef nesne b var.
    f : ab ifadesi, sözlü olarak ifadesi "f a dan bye bir biçimdir".
    hom(a, b) ifadesi — alternatif ifade olarak homC(a, b), mor(a, b), veya C(a, b)a dan bye tüm biçimlerin hom-sınıf ifadesidir.
  • Bir ikili işlem ∘, biçimlerin kompozisyonu denir, böylece a, b, ve c herhangi üç nesne için, elimizde hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c) var.f : ab nin kompozisyonu ve g : bc gf veya gf olarak yazılır,[1] aksiyom ile yönetilir:
    • Birleşimlilik: Eğer f : ab, g : bc ve h : cd ise h ∘ (gf) = (hg) ∘ f, ve
    • Özdeşlik: x nesnesi için, burada bir morfizm 1x : xx var. x için özdeş morfizm denir, böylece her f : ab morfizm için, elimizde 1bf = f = f ∘ 1a var.
aksiyomlardan,buna burada her nesne için tam bir özdeş morfizm sağlanabilir. Bazı yazarlar sadece kendi özdeş morfizmalarını tanımlayarak verilen tanımından sapabilir.

Morfizmler[değiştir | kaynağı değiştir]

morfizmler boyunca ilişkiler (fg = h gibi) değişmeli diyagramlar , ile "noktalar" (köşeler) gösterimsel nesneler ve "oklar" gösterimsel biçimler sık sık kullanılarak gösterilmiştir.

Morfizmler için aşağıdaki özelliklerin herhangisi olabilir. Bir morfizm f : ab bir:

  • monomorfizm (veya monik) eğer fg1 = fg2 vurgusu g1 = g2 tüm g1, g2 : xa morfizmler için.
  • epimorfizm (veya epik) eğer g1f = g2f vurgusu g1 = g2 tüm g1, g2 : bx morfizmler için.
  • bimorfizm eğer f hem epik ve hemde moniktir.
  • izomorfizm eğer burada bir morfizm g : ba var böylece fg = 1b ve gf = 1a.[2]
  • endomorfizm eğer a = b. ise end(a) anın endomorfizminin sınıfını ifade eder.
  • otomorfizm eğer f hem bir endomorfizm ve hemde bir izomorfizmdir. aut(a) anın otomorfizmlerinin sınıfını ifade eder.
  • çekilme eğer fnin bir sağ tersi var, yani eğer burada bir morfizm g : ba ile fg = 1b varsa.
  • kesit eğer f in bir sol tersi var, yani eğer burada bir morfizm g : ba ile gf = 1a varsa .

Her çekilme bir epimorfizmdir, ve her kesit bir monomorfizmdir.Dahası, aşağıdaki üç durumun eşdeğeridir:

  • f bir monomorfizm ve bir çekilmedir;
  • f bir epimorfizm ve bir kesittir;
  • f bir izomorfizmdir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • William Lawvere and Steve Schanuel: Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, 2nd edition. Graduate Texts in Mathematics 5, Springer 1998
  • Francis Borceux: Handbook of Categorical Algebra, volumes 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 1994.

Dış bağlantı[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Alexandre Stefanov'un serbest çevrimiçi matematik kaynakları listesinin Kategori Teorisi bölümü.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Some authors compose in the opposite order, writing fg yazılır veya gf için fg.Kategori teorisi kullanılarak bilgisayar bilimcileri çok sık yazmak f ; g gf için
  2. ^ Note that a morphism that is both epic and monic is not necessarily an isomorphism! An elementary counterexample: in the category consisting of two objects A ve B, özdeş biçimler, ve from A dan Bye bir tek morfizm f, f is both epic and monic but is not bir isomorphism.