Evrensel cebir

Evrensel cebir, Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim $A$ ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir $\Sigma=\{+,*\}$.

$+:: A \times A \rightarrow A$

$*:: A \times A \rightarrow A$

$0:: \rightarrow A$

$1:: \rightarrow A$

0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.

$0 + x = x$

$x + y = y + x$

$(x + y) + z = x + (y + z)$

$x * 1 = x$

$x * y = y * x$

$(x * y) * z = x * (y * z)$

Yukardaki imza $\Sigma$ bir cebir doğasal sayılardır $N (\mathbb{N}, +^N, *^N, 0^N, 1^N)$. Burada $+^N$ bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki $E$ adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")$N \models E$. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.

E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.$B = (\{a,b\}, +^B, *^B, 0^B, 1^B)$

$0^B \mapsto a$

$1^B \mapsto b$

$a +^B a \mapsto a$

$a +^B b \mapsto b$

$b +^B a \mapsto b$

$b +^B b \mapsto b$

$a *^B a \mapsto a$

$a *^B b \mapsto a$

$b *^B a \mapsto a$

$b *^B b \mapsto b$

Bunun bir model olduğunu (yani $B \models E$ ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:

• Bir eşitlikler birimini $E$ nin modeli var mıdır?
• E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
• E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?

Mesela $x = 1 * x$ eşitliği, yukardaki $E$nin bir neticesidir. $E \models x = 1*x$ yazarak bunu ifade ederiz.

$\{ s = t | E \models s=t \}$ birimine "E'nin teorisi" denilir.

Kaynaklar

• Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

Dış bağlantılar

• A Course in Universal Algebra Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar tarafından hazırlanan açık bir evrensel cebir ders kitabıdır.