Vektör

Başlığın diğer anlamları için Vektör (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Bu madde Vikipedi standartlarına uygun değildir. Sayfayı Vikipedi standartlarına uygun biçimde düzenleyip Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. Not: Gerekli değişiklik yapılmadan bu şablon kaldırılmamalıdır. Bu madde Nisan 2011 tarihinden beri, düzenleme isteğiyle etiketlidir.

Vektör veya yöney, sayısal büyüklüğü ve birimi yanında, skaler niceliklerden farklı olarak yönü de olan niceliktir. Hız, kuvvet, ivme ve ağırlık örnek birer vektörel niceliktir. Vektörler bir sayı (skaler) ile veya başka bir vektör ile çarpılabilir ve bölünebilir. Aynı zamanda yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilirler.

Yönlü doğru parçası [Fiziksel (Geometrik) vektörler]

Vector arrow pointing from A to B

Yönlü doğru parçası veya Fiziksel vektörler veya Geometrik vektörler, başlangış noktası "A", Bitim noktası "B" olan [AB] doğru parçasına Yönlü doğru parçası denir. Bu Vektör;

$\overrightarrow{\Alpha\Beta}$

ile gösterilir.

Ok vektörün yönünü gösterir. Doğru parçasının uzunluğu ise, vektör büyüklüğü ile doğru orantılıdır.

İki boyutlu bir koordinat düzleminde; bazen bir vektör koordinat düzlemine dik olarak gösterilmesi gerekebilir. Bir dairenin merkezinde bir nokta bulunursa (Unicode U+2299 ⊙), bu sembol yönü gözlemciye doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bir dairenin içinde bir çarpı işareti bulunursa (Unicode U+2297 ⊗), bu sembol yönü düzlemin arkasına doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bu semboller, bir savaş okunun ucunun görüntülenmesi ve bir savaş okunun arka kanatlarının görüntülenmesi gibi düşünülebilir.

Konum (yer) vektörü

Kartezyen koordinat düzleminde bir konum(yer) vektörü. Vektörün koordinatları: A vektörü = (2,3)

Başlangıç noktası orijin olan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz.

Başlanğıç noktası O = (0,0), bitiş noktası A = (2,3) olan iki boyutlu bir vektör (bkz. şekil) düşünelim. Bu vektör basit olarak aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

$\overrightarrow{A} = (2,3)$

Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde (veya $\mathbb{R}^3$) vektörler, üç skaler sayı ile tanımlanır:

$\overrightarrow{G} = (a, b, c)$

Standart temel vektörler

"i","j","k" temel birim vektörleri.

Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde x,y ve z eksenleri üzerinde yer alan üç tane temel birim vektör (Birim vektör: uzunluğu 1 birim olan vektörlere denir) vardır. Bunlar:

$i = {\mathbf e}_1 = (1,0,0)$

$j = {\mathbf e}_2 = (0,1,0)$

$k = {\mathbf e}_3 = (0,0,1)$

ise:

$\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}$

Bir konum vektörünün normu [uzunluğu(boyu)]

a vektörünün uzunluğu, ||a|| sembolü ile gösterilir.

"i", "j" ve "k" temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü, Pisagor teoremi'nin bir sonucudur. O halde:

$\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}$

Yukarıdaki vektörü ele alırsak:

$\left\|\overrightarrow{G}\right\|=\sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}$

İki konum vektörünün birbiriyle çarpımı

$\overrightarrow{G} = (a, b, c)$

$\overrightarrow{H} = (d, e, f)$

Bu iki vektörü ele alırsak:

Skaler (iç) çarpım ($\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H}$)

"Nokta çarpım" denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Bileşenleri türünden çarpımı

Örnek:

$\overrightarrow{G} = (a, b, c)$

$\overrightarrow{H} = (d, e, f)$

Bu iki vektörü ele alırsak:

$\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H} = {(a, b, c)}\cdot{(d, e, f)} = {a}\cdot{d} + {b}\cdot{e} + {c}\cdot{f}$

Aralarındaki açı türünden çarpımı

$\overrightarrow{A}$ ve $\overrightarrow{B}$ vektörleri arasındaki "theta" açısı.

Örnek:

$\overrightarrow{G} = (a, b, c)$

$\overrightarrow{H} = (d, e, f)$

Bu iki vektörü ele alırsak:

$\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H} =\left\|\overrightarrow{G}\right\|\left\|\overrightarrow{H}\right\|\cos\theta$

$\cos\theta$ 'nın değerini bulmak için:

$\cos \theta=\frac {\overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{H}} {\left\|\overrightarrow{G}\right\|\left\|\overrightarrow{H}\right\|}$

Vektörel çarpım ($\overrightarrow{G}\times\overrightarrow{H}$)

"Çapraz çarpım" denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Örnek:

$\overrightarrow{G} = (a, b, c) = a{\mathbf i} + b{\mathbf j} + c{\mathbf k}$

$\overrightarrow{H} = (d, e, f) = d{\mathbf i} + e{\mathbf j} + f{\mathbf k}$

Bu iki vektörü ele alırsak:

$\overrightarrow{G}\times\overrightarrow{H}$	$=\begin{vmatrix} \mathbf{i} && \mathbf{j} && \mathbf{k} \\ a && b && c \\ d && e && f \end{vmatrix}$
$\quad$

Yukarıdaki problem bir determinant problemidir. Sarrus kuralı ile hesaplanır.

Tanım

Soyut olarak vektörler , bir F cisminin üzerine tanımlı bir vektör uzayının öğeleridir. Vektörler bu cisim üzerine tanımlanmış bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlanabilir. $a,b,c,d \in F^n=F \times F \times \cdots \times F$ (n tane) olsun. a öğesi ile b öğesi, ancak bileşenlerin toplamı olarak a+d=b+c ise bağıntılıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse

$a \sim b \Leftrightarrow \forall i \in \{1, 2, \cdots, n \} : \quad a_i+d_i=b_i+c_i$

şeklinde tanımlanır ki burada $a_i \in F$'ler a noktasının koordinatlarıdır ve + işlemi F cismine aittir.

Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde vektör, denklik sınıflarıdır. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir vektör

$\mathbf{a}=\{a|a \sim b \}$

olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir vektör,

$\mathbf{a}=( a_1-b_1,a_2-b_2,\cdots,a_n-b_n )=( c_1-d_1,c_2-d_2,\cdots,c_n-d_n )$

şeklinde düşünülebilir.

Gösterim

Bir vektör çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti ($\vec{a}$) ya da koyu harf ($\mathbf{a}$) gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.

Vektörün bileşenleriyle gösteriminde ise genellikle sıralı n-li kullanılır.

$\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$

Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) satır ya da sütun dizey gösterimi de yeğlenir.

$\mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$ ya da $\mathbf{a}=\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_n \end{bmatrix}$

Yine yaygın gösterimlerden biri birim vektör gösterimidir.

$\mathbf{a}=a_1 \mathbf{i}_1+a_2 \mathbf{i}_2+\cdots+a_n \mathbf{i}_n$

ki burada

$\mathbf{i}_1=(1,0,\cdots,0)$

$\mathbf{i}_2=(0,1,0,\cdots,0)$

$\vdots$

$\mathbf{i}_n=(0,\cdots,0,1)$

alınabilir.

Bir vektör

$\mathbf{a}=\sum_{j=1}^n a_j \mathbf{i}_j$

şeklinde düşünüldüğünde Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak

$a=a_j \mathbf{i}_j \quad \quad \quad (j=1,2,\cdots,n)$

şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, toplam simgesinden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

Köken

İngilizce'de bu yapı için kullanılan sözcük vector dür. Kökeni, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" Latince fiil gövdesidir. Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki Türkçe'de (büyük ihtimalle Fransızca'dan devşirilmiş olan) vektör karşılığından sonra yöney karşılığı kullanılmaktadır.

Eşitlik

Ancak vektörlerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki vektör eşittir.

$\mathbf{a}=\mathbf{b}$

Vektör toplamı

İki vektörün toplamı üçüncü bir vektöre eşittir. 1.şekil parelelkenar metodu,2.si ise uç uca ekleme metodudur.

$\mathbf{a}+\mathbf{b}$	$=(a_1 \mathbf{i}_1+a_2 \mathbf{i}_2+\cdots+a_n \mathbf{i}_n)+(b_1 \mathbf{i}_1+b_2 \mathbf{i}_2+\cdots+b_n \mathbf{i}_n)$
	$=(a_1+b_1)\mathbf{i}_1 + (a_2+b_2)\mathbf{i}_2 + \cdots + (a_n+b_n)\mathbf{i}_n$
	$=\begin{bmatrix}a_1+b_n \\ a_2+b_n \\ \cdots \\ a_3+b_n\end{bmatrix}$

Skaler (sayıl) ile çarpma

Bir vektör uzayında, skaler ve vektörler arasında bir çarpma ve dağılma olması gerekir. r,s sayılları F cismine ait olsun. O halde $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ vektörleri için,

• Sayıl ile birleşme: $r(s \mathbf{a})=(rs)\mathbf{a}$
• Sayıl toplaması üzerine dağılma: $(r+s)\mathbf{a}=r\mathbf{a}+s\mathbf{a}$
• Vektör toplamı üzerine dağılma: $r(\mathbf{a}+\mathbf{b})=r\mathbf{a}+r\mathbf{b}$
• Sayıl birim öğe ile çarpma: $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$

özellikleri sağlanır.

Genel olarak vektörle skalerle çarpması, vektörün her bileşeninin skaler ile çarpılmasıdır.

$r\mathbf{a}=\begin{bmatrix} r a_1 & r a_2 & \cdots & r a_n \end{bmatrix}$

Nokta (sayıl) çarpım

İki vektör skaler çarpımla çarpılırsa bir vektör değil bir skaler (sayıl) elde edilir.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos\alpha$

Vektörleri birim vektörlerle ifade edip, çarpımı birim vektörlerin çarpımından tanımlamak da mümkündür.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \left(a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n \right)\cdot\left(b_1 \mathbf{e}_1 + b_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + b_n \mathbf{e}_n \right)$

Eğer birim vektörler $\mathbf{e}_i$ (i = 1, 2, ..., n) olarak gösterilirse (örneğin üç boyutta $\mathbf{i}=\mathbf{e}_1$ vs.),

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}$

Burada $\delta_{ij}$ ifadesi, Kronecker delta fonksiyonudur ve i ile j eşitse 1, değilse 0 değerini alır. Örneğin;

$\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=0$

$\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}=0$

$\mathbf{i}^2=\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1$

olur. Bu durumda bir vektörün nokta çarpımı birim vektörlerin çarpımına indirgenmiş olur:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$

Ayrıca bu çarpımı dizeylerle de tanımlayabiliriz:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a^T b =\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1 && a_2 && a_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}= a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Çapraz (yönel) çarpım

Üç boyutlu iki vektörün çapraz çarpımı, bu iki vektörün tanımladığı düzleme dik üçüncü bir vektöre eşittir.

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right| \sin \theta \mathbf{n}$

ki burada $\mathbf{n}$ her iki vektöre dik olan birim vektördür. Ayrıca vektörler satır ya da sütün dizeyler (matris) olarak düşünüldüğünde bu çarpım aşağıdaki gibi tanımlanabiir:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$	$=\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$
$\quad$	$=\begin{bmatrix}0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$
$\quad$	$=\begin{bmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix}$

Yönel çarpım determinant ile de tanımlanabilir:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$	$=\begin{vmatrix} \mathbf{i}_1 && \mathbf{i}_2 && \mathbf{i}_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{vmatrix}$
$\quad$	$=(a_2b_3 - a_3b_2) \mathbf{i}_1 + (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{i}_2 + (a_1b_2 - a_2b_1) \mathbf{i}_3$

Dikkat edilirse eğer vektörler paralelse $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$ olacağından çarpımın sonucu sıfır vektörüdür.

Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)

İki vektörün doğrudan çarpımının sonucu ne bir vektördür ne bir skalerdir, bir ikiçtir (dyad).

$\mathbf{a} \mathbf{b} = \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 && b_2 && b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1 b_1 && a_1 b_2 && a_1 b_3 \\a_2 b_1 && a_2 b_2 && a_2 b_3 \\a_3 b_1 && a_3 b_2 && a_3 b_3 \end{bmatrix}$

Bu çarpıma, eğer vektörler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer vektöreri birim vektörlerle ifade edersek

$\mathbf{a}=a_1 \mathbf{i}_1+a_2\mathbf{i}_2+a_3 \mathbf{i}_3$

$\mathbf{b}=b_1 \mathbf{i}_1+b_2\mathbf{i}_2+b_3 \mathbf{i}_3$

şeklinde tanımlanan iki vektör için doğrudan çarpım

$\mathbf{a} \mathbf{b} \,$	=	$( a_1 \mathbf{i}_1+a_2\mathbf{i}_2+a_3 \mathbf{i}_3 ) ( b_1 \mathbf{i}_1+b_2\mathbf{i}_2+b_3 \mathbf{i}_3 )$
	=	$a_1 b_1 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_1 + a_1 b_2 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_2 + a_1 b_3 \mathbf{i}_1\mathbf{i}_3$
	+	$a_2 b_1 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_1 + a_2 b_2 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_2 + a_2 b_3 \mathbf{i}_2\mathbf{i}_3$
	+	$a_3 b_1 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_1 + a_3 b_2 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_2 + a_3 b_3 \mathbf{i}_3\mathbf{i}_3$

olarak elde edilir. Buradaki $\mathbf{i}_1\mathbf{i}_2$ gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir $\mathbf{i}$ cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden $\mathbf{i}_{ij}=\mathbf{i}_i\mathbf{i}_j$ olarak tanımlandığında

$\quad$	=	$a_1 b_1 \mathbf{i}_{11} + a_1 b_2 \mathbf{i}_{12} + a_1 b_3 \mathbf{i}_{13}$
	+	$a_2 b_1 \mathbf{i}_{21} + a_2 b_2 \mathbf{i}_{22} + a_2 b_3 \mathbf{i}_{23}$
	+	$a_3 b_1 \mathbf{i}_{31} + a_3 b_2 \mathbf{i}_{32} + a_3 b_3 \mathbf{i}_{33}$

elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekâbül eder.