Çifte doğrusallık

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

matematik'te, çiftdoğrusal işlemci bağımsız değişkenlerinin her doğrusal bir üçüncü vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpma bir örnektir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer V, W ve X aynı tabanlı F alanı üzerinde üç vektör uzayı'ise bu çifte doğrusal harita bir fonksiyon ve

B : V × WX ise

öyleki herhangi W haritası içindeki w için

vB(v, w)

bir doğrusal harita V den X 'adır, ve herhangi V içindeki v için harita

wB(v, w)

bir doğrusal harita W dan X 'adır. Başka bir değişle, biz sabit çifte doğrusal haritasının ilk girişi sabit tutar, ikinci girişin değişmesine izin verirsek , sonuç bir doğrusal işlemcidir, ve benzer şekilde eğer iki giriş sabit tutulursa ve eğer biz V × W çarpımını bir vektör uzayı olarak kabul eder , isek, B (V = 0 olmadıkça veya W = 0) vektör uzayının bir doğrusal dönüşüm değildir çünkü,örnek için B(2(v,w)) = B(2v,2w) = 2B(v,2w) = 4B(v,w).

Eğer V = W ve bizim B(v,w) = B(w,v) var bütün v için,V içindeki w , ise B ye simetrik'tir deriz.

Bu durumda X , Fdir, ve bizde bir çiftdoğrusal form var, özellikle yararlıdır (örnek için skaler çarpım, iç çarpım ve karesel form).

eğer bir F alanı üzerinde vektör uzayının yerine tanımında herhangi bir değişikliğe gerek olmadan çalışırsa, biz değişmeli halka R üzerinde modül kullanıyoruz. Ayrıca n-li fonksiyonlar kolayca genellenebilir,burada uygun terim çokludoğrusaldır.

bir değişmeli olmayan R halka tabanının durumu için ve bir sağ modül MR ve bir sol modül RN, biz bir çiftdoğrusal harita tanımlarız B : M × NT, burada T bir değişmeli gurup'tur, ayrıca herhangi in N içindeki n için, mB(m, n) bir gurup homomorfizmidir, ve herhangi M içindeki m için, nB(m, n) bir gurup homomorfizmidir,ve

B(mt, n) = B(m, tn)

bütün M içindeki m N içindeki n ve R içindeki t için yeterlidir

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanımının Bir ilk acil sonucu bu B(x,y) = 0 her ne zaman x = 0 olduğunda veya y = 0. (Bu yazılarak görülür sıfır vektör 0 olarak 0·0,doğrusallık ile B nin önyüzünde ve skaler 0 "dışına" taşınıyor.)

Bütün çiftdoğrusal haritaların L(V,W;X) kümesi uzayın (viz. vektör uzayı, modül) bir doğrusal altuzayı'dır.

bir matris M bir gerçek çiftdoğrusal formun içindeki nedensel bir doğrusal harita (v,w) ↦ vMw, ise ikilik ve müzikal eşbiçim'in ilişkililik'i kullanılarak diğer üç olasılık giderilir

Eğer V, W, X sonlu-boyutlu, ise L(V,W;X) böyledir. X = F için, yani çiftdoğrusal formudur, Bu boşluğun boyutu dim V × dim W dir (eğer doğrusal L(V×W;F) formunun dim V + dim W). Bunu görmek için, Viçin bir taban seçebilirsiniz ve W; ise her çiftdoğrusal harita B(ei,fj) matrisi tarafından tekli gösterilebilir, ya da tam tersi. şimdi, eğer X yüksek boyutlu bir uzaydır,tabii ki bizim dim L(V,W;X) = dim V × dim W × dim X var.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Matris çarpımı bir lineer haritadır M(m,n) × M(n,p) → M(m,p).
  • Eğer gerçel sayı'lar R üzerinde bir vektör uzayı V bir iç-çarpım taşıyor, ise iç-çarpım bir çiftdoğrusal V × VR haritadır.
  • Genel olarak,bir vektör uzayı V üzerinde bir F alanı için,bir çiftdoğrusal form olarak V aynı bir çiftdoğrusal olarakV × VF.
  • Eğer V bir vektör uzayı ile ikili uzay V*, ise uygulama operatörü, b(f, v) = f(v) çiftdoğrusal harita V* × V'dan alan tabanınadır.
  • Diyelimki V ve W vektör uzayı üzerinde aynı alanın tabanı F dir. eğer f V* nin bir üyesi ve g W* nin bir üyesi, ise b(v, w) = f(v)g(w) bir lineer harita V × WF tanımlanır.
  • R3 içinde çapraz çarpım bir çiftdoğrusaldır R3 × R3R3'dır.
  • Diyelimki B : V × WX bir çiftdoğrusal haritadır, ve L : UW bir doğrusal haritadır, eğer öyleyse (v, u) ↦ B(v, Lu) is bir çiftdoğrusal harita olarak V × U olur.
  • sıfır harita,B(v,w) = 0 ile tanımlanır bütün (v,w) için V × W içinde yanlızca V × W haritasından X 'adır bu çiftdoğrusaldır ve aynı zamanda doğrusaldır,gerçekten,eğer(v,w) ∈ V × W, ise eğer B doğrusaldır, B(v,w) = B(v,0) + B(0,w) = 0 + 0 eğer B çiftdoğrusaldır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]