Cebir

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Cebir, Arapçada al-jebr kelimesinden gelen algebra kelimesi parçalanmış veya birleşmesi gereken parçalar anlamına gelir. Bu kelimelere sayı teorisi,geometri ve analizde dahildir. Matematik ilkokul işlemlerinden çember daire alanları bulmaya kadar gider. Kolay olan matematik ilkokul (öncül matemtik), bir üstü teorik matematik ve modern matematiktir. Ilkokul matematiği basit matematik matematiğin her alanında kullanılmaktadır ve bunlara bilim mūhendislik ve eczacılık örnek olarak verlebilir. Teorik matematik ileri matematiğin ağır ve sadece profesörler tarafından çalışılan bir koludur. Matematikle ilgili ilk çalışmalar yakın doğuda Omar Khayyam (1050-1123) tarafından yapılmiştır.

Temel ilkokul matematği aritmetikten daha farklıdır çünkü aritmetikte bilinmeyen değerleri temsilen harfler kullanılmaktadır. x + 2 = 5 formülünde x bir bilinmeyendir ve tersler yasası kullanılarak x in değer' x=3 bulunabilir. Kütle hız ilişkisinde E=mc^2: E ve m harfleri bilinmeyen değişkenleri ifade eder c ise sabit sayıdır. Cebir birçok matematiksel ifadenin çözümünde yardımcıdır.

Cebirin farklı anlamlarını ayırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Tarihsel açıdan cebirin birçok anlamı vardır bunun sebebi cebirin anlamsal bolluğu ve çevresindeki anlam değiştiren etkenlerdir. Matematik gibi bir dalda bir kelimenin birden fazla anlamının olması karışıklıklara yol açabilir. Bu yanlış anlamaları engellemek için kelimenin etrafına bazı sözcükler eklenir.

  • Tek bir kelime olarak tanımlandığında cebir matematiğin büyük bir kısmını kapsar.
  • Herhangi bir eklenti ile kullanıldığında cebir yüzük teorisi veya alansal cebir anlamında kullanılabilir.
  • Yanlız başına tanımlandığı zaman lineer cebir veya temel cebir olarak tanımlanabilir.

Matematiğin bir dalı olarak cebir[değiştir | kaynağı değiştir]

Cebirin oluşma dönemi ilk olarak bazı matematiksel sayıları harflerle simgeleyerek başladı. Örneğin bazı üstel fonksiyonlarda: ax^2+bx+c=0, formülündeki a, b, c harflerine verilebilecek değerler ile xin değerleri bulnabilir ancak anın 0 olmaması gerekir. İlerleyen dönemlerde cebir, matemetiğin birçok farklı dallarındada kullanılmaya başlamıştır; vektörler,martisler ve polinomlar gibi. Daha sonra bu tanımlar ccebirsel birimler olarak isimlendirilmiştir ve gruplar,yüzükler ve alanlarda kullanılmıştır. 16.yüzyıldan önce matematikçiler;cebirciler ve geometriciler olarak iki gruba ayrılmışlardı. 16. ve 17.yüzyıllar sonuucunda matematiğin şuanki haline ulaşmasında cebirin büyük katkısı olmuştur. 19.yüzyılın ortalarında matematiğe yeni konular ve yenidallar eklenmesine rağmen cebirden her zaman faydalanılmıştır.Şu günlerde cebirin konu yelpazesinden bazı parçalar çıkarılmış olsada (Mathematics Subject Classification[1] 08-Genel cebir sistemleri, 12-Alan teorisi and polinomlar, 13-Birleşik cebir, 15-Lineer cebir ve multilineer cebir; matris teorisi, 16-Bağlantılı alan ve yüzük cebiri, 17-Bağlantısız alan ve yüzük cebiri, 18-Kategori teorisi; homolojik cebir, 19-K-teorisi and 20-Grup teorisi)gibi birçok temel konuyu içerisinde barındırmaktadır.

Etimoloji[değiştir | kaynağı değiştir]

Cebir kelimesinin kökeni al-Khwarizmi tarafından yazılmış Ilm al-jabr wa'l-muḳābala arapça kitaptan gelmektedir. Kelimenin ingilizceye eklenmesi ise ortaçağdaki ispanyol,italyan veya latinler sayesinde olmuştur. Cebir kelimesi ispanyolcada halen acil operasyon,ameliyat olarak kullanılmaktadır daha sonra matematiksel anlamları eklenmiştir.

Tarihi[değiştir | kaynağı değiştir]

François Viète in 16. yüzyılın başlarından iitbaren yapmış olduğu çalışmalar cebiirn temellerini oluşturmuştur. 19.yüzyılın sonlarına kadar cebir genel olarak sadece denklem teorileri barındırıyordu.

Cebirin öntarihi[değiştir | kaynağı değiştir]

Cebir ilk olarak Babilliler tarafından matematiksel prorblemleri çözmek amaçlı kullanılmıştır. Matematikte şuan lineer denklemler veya orta derecelilineer denklemler kullanarak çözülen problemlerin temellerini Babiller cebiri geliştirerek bulmuşlardır. Eski dönemlede yaşamış olan çoğu Mısırlı,Çinli ve Yunan matematikçiler porblem çözümlerinde geomteri kökenli çözüm yollarını tercih ediyorlardı. Yunanlılar kendi yarattıkları element matematiğini kullanırlardı ve bu yöntem ile birçok karışık sorunları çözmeyi başarmışlardır ancak bu yöntemleri orta çağ İslamına kadar farkedilememiştir. Plato'nun döneminde birçok yunan matematikçi ani ve şiddetli bir değişime girmiştir. Yunanlılar bu dönemde kendi yarattıkları geometrik çözüm yollarını geliştirerek geometrinin temel kuramlarını kullandılar. O yılların belkide en iyi matematikçilerinden biri olan Diophantus ve aynı zamanda Arithmetica kitabının yazarı, cebirsel ifadelerin matematiksel yollarla çözümleri için birçok formülü geliştiren kişi olmuştur ve ilerleyen zamanlarda sayı teorisinin ve kendi yarattığı Diophantus denklemlerinin çıkmasını sağlamıştır. Matematiğin geliştiği ilk dönemlerde Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780–850) nin yazdığı The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing isimli kitabı matematikte bazı görüşlerin oluşmasına neden oluyordu çünkü cebirin ve matematiğin temel disiplin kurallarının geometri ve aritmetikten farklı olduğunu söylemiştir. Helenistik matematikçiler Diophantus ve Alexandria ve Hindistanlı matematikçi Brahmagupta, Mısır ve Babillilerin yaratmış olduğu matematik kurallarını devam ettirdiler ve üzerlerine bir şeyler eklemek için çabaladılar. Yazmış oldukları kitaplardanda faydanalarak ilk kez içerisinde sıfır ve eksi sayıların olduğu denklemleri çözmeyi başardılar. Denklemler teorisine göre incelenen cebirin en önemli iki ismi Diophantus ve al-Khwarizmi'nin çalışmaları yıllarca incelenmiştir. Genellikle cebirin babası olarak Diophantus bilinir ancak al-Khwarizmi'nin al-jabr disiplin kuralları sonucunda bu ünvana onun sahip olması istenmektedir. Diophantus'u destekleyen kişiler Al-Jabr deki cebirin biraz daha elementsel olduğunu ifade etmişlerdir kendi savundukları Arithmetica ve Arithmetica kitaplarının Al-Jabr 'dan daha teorisel olduğunu söylemişlerdir. Al-Khwarizmi yi destekleyenler ise "çıkarma" ve "dengeleme" (toplamanın tersi ve elemanların birbirlerini sıfırlaması) al-jabr kitabının cebiri her şeyden ayrı tutup yeni teoriler üzerine kurulmuş olmasından dolayı sevmişlerdir,[2]. İranlı matematikçi Omar Khayyam cebirsel geometrik çözümler ve küplü denklemler üzerinde çalışmış biridir. Bir diğer İranlı mateamtikçi ise Sharaf al-Dīn al-Tūsī 'dir oda fonksiyonların gelişiminde etkili biri olmuştur.Hindistanlı matematikçiler Mahavira ve Bhaskara II, İranlı matematikçi Al-Karaji,[3] ve Çinli matematikçi Zhu Shijie birçok küplü denklemlerin çözümünde etkili olmuştur.

Cebirin tarihi[değiştir | kaynağı değiştir]

1545'te Italyan matematikçi Girolamo Cardano Ars magna -Muhteşem sanat isimli kitabını yayınladı, 40 bölümlük harika bir sanat eseri ve ilk defa küplü ve üstlü denklemleri anlatılmıştır. François Viète'nin 16.yüzyılın sonlarına doğru yapmış olduğu çalışmalar cebirin klasik disiplin temellernin atılmasını sağlamıştır. 1637 yılında René Descartes, La Géométrie isimli kitabını yayınlamıştır ve analitik geometrinin ilk temelleri atılmıştır. Bir diğer önemli gelişmelerden biri ise 16.yüzyılın ortalarına doğru köklü ve küplü denklemlerin çözülmesidir. Determinant formülü Japon matematikçi Kowa Seki tarafından 17.yüzyılda bulunmuştur ve buna takiben Gottfried Leibniz 10 sene sonra lineer denklemlerin çözümünü kolaylaştırma adına matris'i yaratmıştır. Soyut cebir 19.yüzyılda geliştirilmiştir, şuanda Galois theory olarak bilinen denklemleri çözebilmek için geliştirilmişlerdir. "modern algebra" 19.yüzyıla kökleri dayanan önemli bir konudur örneğin, Richard Dedekind ve Leopold Kronecker,cebirsel sayı teorisi ve cebirsel geometri'yi yaratan ve kullanan kişilerdir.

'Cebir' kelimesini barındıran konular[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematiğin alanları,

  • İlkokul cebirii, okullarda gösterilen cebirsel denklemler
  • Soyut cebir, gruplar,yüzükler ve alan hesaplamalarının yapıldığı cebir
  • Lineer cebir, lineer denklemlerin, vektör alanlarının ve matrislerin kullanıldığı cebir
  • Değişken cebir, değişken alanların hesaplanmasında
  • Bilgisayar cebiri, bilgisayar program yazılımlarında kullanılan cebir
  • Homolojik cebir, topolojik katman çözümlerinde kullanılan cebir
  • Evrensel cebir, her cebirsel özelliğin incelendiği cebir
  • Cebirsel sayı teorisi, sayı ve rakamların cebirsel bir yönle araştırılması
  • Cebirsel geometri, eğik şekillerin hacim ve alan hesaplamalarında
  • Cebirsel birleştiriciler, birleştirme özelliğinin incelendiği cebir

Birçok matematiksel terim cebir olarak tanımlanır;

İlkokul cebiri[değiştir | kaynağı değiştir]

İlkokul cebiri genellikle sadece aritmetik bilgisi olan öğrencilere cebirin temel kurallarını öğretmek amaçlı gösterilen bir cebir türüdür.En temel ve basit cebir türüdür. Aritmatikte sadece sayılar ve aritmatiksel işlemler(+, −, ×, ÷) kullanılır. Cebirde ise sayılar genellikle değişken kabul edilir ve harflerle ifade edilir (a, n, x, y or z) gibi.

Cebirsel denklem birimleri:
  1 – Üst
  2 – önsayı
  3 – terim
  4 – işlem
  5 – sabit terim
  x y c – değişkenler/sabit sayılar
  • Temel cebir kurallarının kullanılması ile basit bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm şekilleri anlatılır, sayı çeşitleri doğal sayılar,ardışık sayılar gibi sayı türleri anlatılır ve basit fonksiyonların özellikleri tanımlanır.

Polinomlar[değiştir | kaynağı değiştir]

x2 + 2x − 3 tarzındaki fonksiyonların x değerlerinin sıfır olduğu noktalarda çözüm kümesi bulunması denklemleridir. Her denklemin derecesine bağlı olarak kök türleri ve kök sayıları değişme gösterir. Fonksiyon ve polinomlar birbirlerine bağlı birimlerdir ve matematik ile cebirin önemli ve ileriye bağlı konularının temelleriin oluşturan ciddi konulardır. [[File:Polynomialdeg3.svg|3.dereceden bir polinomun grafiği|thumb|upright]

Ana madde: Polynomial

Cebirin öğretilmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Temel,basit cebirin genellikle onbir yaşına gelmiş olan çocuklara anlatılması tercih edilir. Amerika'da genellikle sekizinci sınıfta temel cebir öğretimi başlar. 1997'den beri Virginya Üniversitesi gibi birçok üniversite bilgisayar yardımlı ve küçük gruplar halinde gençlere temel cebir eğitimi vermektedir.

Soyut cebir[değiştir | kaynağı değiştir]

Soyut cebir genellikle aritmatik ve sayı teorilerinin birleşimini ifade eden bir cebir türüdür; Setler:Sayı türlerini incelemekten ziyade soyut cebir matematiğin tüm birimlerini bir çatı altında inceler ve tüm bu setler matrisler ve üstlü denklemler içerebilir bunlara ikinci veya üçüncü dereceden polinomların incelenmeside dahildir.

Denklemler arası işlemler: + ve - işlemlerinin yanı sıra * ve / işlemleri cebirin temel işlemlerindendir ve her denklem veya fonksiyon,polinom için çözülebilmeleri için gerekli tanım araşlıkları ve çözüm kümelerinin bulunduğu alanlar sorularda önceden ayarlanmış ve bildirilmiş olmalıdır.

Etkisiz eleman: Bir denklemde sonucu yapılan işleme göre değiştirmeyen veya aynı tutan elemanlara etkisiz eleman denir. Yapılacak matematiksel işlemin türüne göre etkisiz elemanlar değişkenlik gösterir örneğin bir çarpma işleminde etkisiz eleman bir iken, bir toplama işleminde bu eleman sıfırdır.

Ters elemanlar: Ters elemanlar bir sayının bölüm halinde yazılması ile oluşurlar aa−1 = 1 ve a−1a = 1 gibi.

Dağılma özelliği: Matematiksel bir işlemde toplam veya çarpım halindeki elemanların grup halinde yerlerinin değiştirilmesi sonuçta bir değişikliğe neden olmaz. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) genel olarak (ab) ∗ c = a ∗ (bc) ifade edilebilir.

Değişken özelliği: Toplamda veya çarpma işlemlerinde elemanların yerlerinin değiştirilmesi sonucu etkilemez ve buna cebirin değişme özelliği denir. 2 + 3 = 3 + 2 ve ab = ba

Gruplar[değiştir | kaynağı değiştir]

Gruplar genel olarak bir tanım aralığındaki setler ve bir çarpım işlemi olarak tanımlanır ve sonuç olarak:

  • ea işlemleri S setindeki bir çözüm elemanına eşit çıkar
  • S tanım aralığındaki her elemanın bir tersi vardır aa−1 ve a−1a
  • Eğer a, b ve c , S 'in elemanları ise (ab) ∗ c işlemi a ∗ (bc) işlemine eşittir. Bir grup içerisindeki işlemler birbirlerini sıfırladıkları zaman eşitlik söz konuus olur ve türlü şekillerde ifade edilebilirler (a + b) + c = a + (b + c). Rasyonel sayılarda bir(1) eleamanı çarpım işlemlerinde etkisiz eleman görevi görür 1 × a = a × 1 = a ve a is 1/a çünkü a × 1/a = 1.


Examples
Set: Doğal Sayılar N Aralıklar Z Rasyonel sayılar Q (also real R and complex C numbers) Integers modulo 3: Z3 = {0, 1, 2}
Çarpım + × (w/o sıfır) + × (w/o sıfır) + × (w/o sıfır) ÷ (w/o sıfır) + × (w/o sıfır)
Kapalı Evet Evet Evet Evet Evet Evet Evet Evet Evet Evet
Etkisiz 0 1 0 1 0 N/A 1 N/A 0 1
Tersi N/A N/A a N/A a N/A 1/a N/A 0, 2, 1, respectively N/A, 1, 2, respectively
Dağılma özelliği Evet Evet Evet Evet Evet Hayır Evet Hayır Evet Evet
Değişme özelliği Evet Evet Evet Evet Evet Hayır Evet Hayır Evet Evet
Structure monoid monoid abelian group monoid abelian group quasigroup abelian group quasigroup abelian group abelian group (Z2)

Cebirsel Alanlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Cebirsel işlemlerde gruplar arasında genellikle tek işlem bulunur en azından basit cebir kurallarına göre böyle kabul edilir. Detayı incelendiği zaman cebirsel alan ve yüzük önemli bir hale gelir.

Bir yüzük matematiğinin iki temel işlemi vardır (+) ve (×), × , + işlem sıraına göre daha öndedir. İlk işlem (+) sonucunda bir abelian grubu oluşur. İkinci işlem sonucunda (×) dağılma özelliği ile işleme etki eder, ancak bu işlemler oluşurken hernahi bri şekilde bir kesir işlemini tanımsız duruma getirme veya fonksiyon tersi alınmasına ihtiyaç duyulmadğı için cebirsel sistemde bir sorun oluşmamaktadır. Toplam işlemlerinin (+) etkisiz elemanı 0 olarak kabul edilir ve toplam işlemlerini tersi a, −a olarak yazılabilir.

Dağılma özelliğinde (a + b) × c = a × c + b × c ve c × (a + b) = c × a + c × b, eşit olduğu için cebirsel sistemde çarpımın dağılma özelliği kullanılmış olmuştur.

Dipnotlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ 2010 Mathematics Subject Classification
  2. ^ Boyer 1991, "The Arabic" p. 229
  3. ^ Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 239 "Abu'l Wefa başarılı bir cebir ustası aynı zamanda geoemetricidir. ... Onu eğiten al-Karkhi sonuç olarak Diophantusun en büyük destekçilerinden biri haline geldi ancak onun teorilerinin aynılarını kullanmazdı! ... al-Karkhi ilk sayısal denklemlerin ve pozitif köklü sonuçların oluşmasını sağlayan kişi olmuştur. ax2n + bxn = c (sadece pozitif köklü denklemler),"

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]