Determinant

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:

$\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$ matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: $\begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}\$.

Basit bir örnek olarak,

$A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}\,$

matrisinin determinantı şudur

$\det A = ad - bc.\$

Determinantın açık tanımı

Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktör C ya da minör M cinsinden gösterilebilir:

$\det(A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j}$.

Determinant ve geometri

Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d), ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

Determinantın temel özellikleri

• Birim matrisin determinantı birdir:

$\begin{vmatrix}1&0&\ldots&0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 &0&\ldots&1\end{vmatrix} = 1.$

• Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:

$\mathsf{\det(AB) = \det (A) \det (B)}$.

• det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A^-1 tanımlıdır. Bu durumda:

$\mathsf{\det(A^{-1}) = \left(\det (A)\right)^{-1}}$.

• A ve B benzer matrisler olsun: $\textstyle\mathsf{A = X^{-1}BX}$ ve dönüşüm matrisi X in tersi $\textstyle\mathsf{X^{-1}}$ tanımlı olsun. Bu durumda:

$\mathsf{\det(A) = \det(X)^{-1} \det(BX) = \det(X)^{-1} \det(B)\det(X) = \det(B) \det(X)^{-1} \det(X) = \det(B)}$.

• Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:

$\mathsf{\det(A^\mathrm{T}) = \det (A)}$.

• Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:

$\mathsf{\det(\alpha A) = \alpha^ndet(A)}$.

Kalıp Matrisler (Blok matrisler)

Boyutları n×n, n×m, m×n, ve m×m olan A, B, C, ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M i oluşturan A, B, C, ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M in determinantı kolayca hesaplanabilir:

$\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& 0\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ 0& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(A) \det(D)} .$

Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

$\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathsf{A}& 0\\ \mathsf{C}& \mathsf{I}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathsf{I}& \mathsf{A}^{-1} \mathsf{B}\\ 0& \mathsf{D - C A^{-1} B}\end{pmatrix}$

denkliği yazılabilir, ve burdan determinant

$\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(A) \det(D - C A^{-1} B)} .$

şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etimiş oluruz.

Ayrıca,

C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, $\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(AD - BC)}$.

A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, $\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(AD - CB)}$.

B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, $\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(DA - BC)}$.

A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, $\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(DA - CB)}$.

Notlar

• Bu sayfanın içeriği aynı adlı ingilizce makaleden alınmıştır: en:Wikipedia:Determinant