Tensör

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Cauchy stres tensörü,bir ikinci-derece tensör.Tensör'lerin bileşenleri,üç-boyutlu Kartezyen koordinat sisteminin,matris formu
\begin{align}
\sigma & = \begin{bmatrix}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)} \\ \end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}\\
\end{align}
sütuna etki eden gerilme (birim alan başına kuvvetleri) bulunmaktadır e1, e2, ve e3 kübün yüzleri.

Tensörler, vektör'ler ve Skaler büyüklükler ve diğer tensörler arasındaki doğrusal ilişkiler'i tanımlayan geometrik nesnelerdir. Bu tür ilişkilerin temel örnekleri arasında nokta çarpım ,çapraz çarpım ve doğrusal haritalar yer alıyor.Vektörler ve skalerlerin kendileri de tensördür. Bir tensörün sayısal değerleri çok boyutlu bir dizi olarak temsil edilebilir.Bir tensör'ün derecesi (aynı zamanda derece veya rankı ) kendisini temsil için gerekli dizinin boyutluluk,ya da eşdeğer bu dizinin bir parçası etiket için gerekli indislerin sayısıdır . Örneğin, doğrusal bir harita bir matris,2-boyutlu bir dizi ve bu nedenle bir 2-derecede tensör tarafından temsil edilebilir. Bir vektör bir 1-boyutlu bir dizi olarak temsil edilir ve 1.dereceden tensor kabul edilebilir.Skalerler tekil sayılardır ve böylece 0. dereceden tensor kabul edilirler. Tensörler geometrik vektörler'in kümeleri arasındaki bağlantıyı temsil etmek için kullanılır.Örneğin,Cauchy gerilme tensörü T girişi olarak bir v yönü alır ve T(v) stresi üretir Giriş ve çıkış böylece şekil (sağ) gösterilmiştir , bu iki vektör arasındaki bir ilişkinin ifade edilmesi için bu vektör , normal yüzeyinde bulunurlar. Çünkü onlar vektörleri arasında bir ilişki ifade eder,tensörlerin kendisi koordinat sisteminin belirli bir seçimden bağımsız olmalıdır . Bir koordinat olarak veya referans çerçevesi alınması ve bu taban'da tensör veya referans çerçevesi'ni temsil eden organize birçok boyutlu dizi sonuçlarına tensör uygulamasıdır . bir "kovaryant" dönüşüm yasası Bir tensörün koordinat bağımsızlığı başka bir hesaplanmış bir koordinat sisteminde daha sonra hesaplanan dizi ilgili formunu alır Bu dönüşüm yasası bir geometrik veya fiziksel ortamda bir tensör kavramı içine yerleştirilmiş olduğu düşünülmektedir ve dönüşüm yasasının kesin formu tipi(veya değerliği) belirler Bu tür esneklik, akışkanlar mekaniği ve genel görelilik gibi alanlarda fizik problemlerini formüle etme ve çözme için kısa ve öz bir matematiksel çerçeve sağlamak için tensörler fizikte önemlidir. Tensörler ilk mutlak diferansiyel hesap bir parçası olarak Bernhard Riemann veElwin Bruno Christoffel ve diğerleri , daha önceki çalışmalara devamla Tullio Levi-Civita ve Gregorio Ricci-Curbastro, tarafından düşünülmüştür.Kavram Riemann eğrilik tensörü'nün içinde bir manifold şeklinde içsel diferansiyel geometri'sinin etkin alternatif formülasyonudur [1] Tensörler vektör'ler, ve skaler büyüklükler ve diğer tensör arasındaki doğrusal ilişkiler'i tanımlayan geometrik nesnelerdir. Bu tür ilişkilerin temel örnekleri nokta çarpım ,çapraz çarpım ve doğrusal haritalar yer alıyor . Vektörler ve skalerlerin kendileri de tensördür. Matematikte tensör, çok boyutlu verinin simgelenebildiği geometrik bir nesnedir. Yönsüz nicel büyüklükler gibi,skaler de denilen sayısal bir ifade bulurken, çok boyutlu uzaylarda uzam için vektör denilen ve bir dizi sayısal büyüklükle ifade edilen bir nesne kullanılır. Vektör yerine iki boyutlu bir ifade kullanılırsa, bu da "matris" olarak adlandırılır. Tensör, tüm bu nesnelerin genelleştirilmiş halidir ve çok boyutlu veri kümeleri için kullanılır. Nesnenin kaç boyutla ifade edildiğine de tensörün derecesi denilir. Bir skalerin derecesi sıfır, bir vektörün bir, bir matrisin ise ikidir.

Bilgisayar programlarında "dizi" olarak adlandırılan yapılar da tensörün çevrimiçi uygulamasıdır.

Tensörler semantik olarak lineer dönüşümlerle de eşleştirilirler.

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

Carl Friedrich Gauss diferansiyel geometriden daha sonraki çalışmalarında tensör analizi kavramları ortaya attı,ve formülasyon on dokuzuncu yüzyılın ortalarında cebrik form'ların teorisi ve değişmezlik geliştirilmesinden sırasında çok etkilenmiştir ..[2] " Tensör " kelimesinin][3] farklı bir şey açıklamak için bir tensörün şimdi ne anlama geldiğini William Rowan Hamilton'un kendisi tarafından 1846 yılında tanıtıldı .[Not 1] çağdaş kullanımı 1898 yılında Woldemar Voigt tarafından getirildi [4] 'mutlak diferansiyel hesap' başlığı altında Gregorio Ricci - Curbastro tarafından 1890 civarında geliştirilen tensör hesabı ve orijinal sunumu 1892 yılında Ricci tarafından takdim edildi ..[5] Tullio Levi-Civita's 1900 classic text Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications ( mutlak diferansiyel hesap yöntemleri ve uygulamaları ) .[6]

20. yüzyılda ,konu tensör analizi olarak bilinir hale geldi ve 1915 civarında Einstein'ın genel görelilik teorisine giriş ile geniş bir kabul gördü.Genel görelilik tensörlerin dilinde tamamen formüle edilmiştir.Einstein geometrici Marcel Grossmann'dan gelen,büyük zorluklarla,onlar hakkında öğrendim.[7] Levi - Civita sonra Einstein tensör analizi onun kullanımı ve yaptığı hataları düzeltmek için Einstein ile bir yazışma başlattı. Yazışmalar 1915-1917 arası sürdü ve karşılıklı saygı ile karakterize edilmiştir :

« Ben hesaplama yönteminizin zerafetine hayran kaldım,bizim gibi zahmetle yürüyerek yolumuza yapmak varken doğru matematik atı üzerine binmek bu alanlar için güzel olmalı . -  »
(Albert Einstein)

Tensörlerin , aynı zamanda, süreklilik mekaniği gibi diğer alanlarda yararlı olduğu bulunmuştur. Diferansiyel geometri tensörleri içinde iyi bilinen bazı örnekler metrik tansör'lerin karesel formları gibi ve Riemann eğrilik tensörü vardır.Hermann Grassmann'ın dış cebir'i ,on dokuzuncu yüzyılın ortalarından itibaren , kendisi bir tensör teorisi ve son derece geometrik olduğunu , ancak doğal olarak tensör hesabı ile birleşik diferansiyel form'larının teorisi ile , görülen önce biraz zaman önce oldu. Elie Cartan çalışmaları ile matematikte kullanılan tensörlerin temel türlerinden bir diferansiyel formlar inşa etti 1920'lerden itibaren hakkında , bu tensör ( örneğin Künneth teoremi ) cebirsel topolojide temel bir rol oynadığını gerçekleşmiştir.Buna karşılık özellikle Homolojik cebir,soyut cebir birçok branşta çalışan tensörlerin tipleri ve temsil teorisi vardır . Çoklulineer cebir bir alan'dan gelen skalarlar için daha büyük genelliği içinde gelişmiş olabilir, ancak teori kesinlikle daha az geometrik ve daha teknik ve daha az algoritmik hesaplama içerir.[kaynak belirtilmeli] Tensörleri monoidal kavramı vasıtasıyla kategori teorisi içinde 1960'lardan beri jeneralizedir

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Tensörleri tanımlayan çeşitli yaklaşımlar vardır .Görünüşte farklı olmalarına rağmen , sadece farklı düzeylerde soyutlama ve farklı dilleri kullanarak aynı geometrik kavramını tanımlama yaklaşımlarıdır .

Çok boyutlu diziler olarak[değiştir | kaynağı değiştir]

Skaler tek bir numara ile tarif edilir ve belirli bir tabana göre verilen bir vektör bir boyutun bir dizisi tarafından tanımlanıyor, bir taban ile ilgili herhangi bir tensör çok boyutlu bir dizi ile tarif edilmektedir.

Dizideki sayılar tensörünün skaler bileşenleri ya da sadece bileşenleri olarak bilinir.Tensörün sembolik isminden sonra , altsimge ve üstsimge gibi ,dizide ifade edilen indisler konumları verilerek gösterilir . Çoğu durumda , bir tensörün indisleri ya eşdeğişken veya karşıtdeğişkendir , sırasıyla alt simge veya üst simge ile belirlenmiştir Benzersiz her bileşeni seçmek için gerekli indislerinin toplam sayısı dizinin boyutuna eşittir ve tensörün sırası,derece veya seviyesi denir.[Not 2].Örneğin, bir 2 sıralı T tensörün girişleri i ve j ile ilgili vektör uzayının boyutuna 1'den çalışan indisleri Tij, Ti j, Tij, veya Tij, ifadesi olacaktır.[Not 3]

Taban ve ( yani bir ortonormal baz için ) onun ikili çakışığı , karşıtdeğişken ve eşdeğişken arasındaki fark bildirdiğinden indisler o zaman göz ardı edilebilir; [Not 4].Bu durum içindeTij veya Tijbirbirinin yerine kullanılabilir olabilir Siz sadece bir vektör değişim bileşenlerinin vektör uzay tabanını değiştirmek gibi bir tensörün girişlerini de böyle bir dönüşüm yasası altında değiştirebilirsiniz . bir taban değişimi karşı tensörün bileşenlerinin nasıl yanıt detayı olacağı bir dönüşüm yasası ile donatılmış her tensör olarak geliyor . Bir vektörün bileşenlerinin yeni taban vektörleri \mathbf{\hat{e}}_i eski baz vektörler \mathbf{e}_j cinsinden ifade edilir bazda bir değişime ( vektörlerin vektörlerin eşdeğişken ve karşıdeğişken'ine bakınız) , iki ayrı şekilde cevap verebilir.

Tensör hesabı[değiştir | kaynağı değiştir]

matematik'te, tensör hesabı veya tensör analizi tensör alanları(uzay boyunca ve zaman'la değişen tensör) olarak adlandırılan daha genel matematiksel nesnelere vektör analizinin gelişmiş bir uzantısıdır. Tensor hesabının has many gerçek-hayatta uygulamaları çoktur in Fizik'te ve mühendislik'te stres analizi dahil, süreklilik mekaniği,elektromanyetizma (bakın elektromanyetik alanın matematiksel açıklamaları),ve genel görelilik)(bakın Genel görelilik matematiği)

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Ayrıca kakınız

Vectors (u, v, w) exterior-multiplied to obtain n-vectors (parallelotope elements).
1-forms (ε, η, ω) exterior-multiplied to obtain n-forms ("meshes" of coordinate surfaces, here planes)
n vektörlerin dış çarpım'larının Geometrik yorumu için ve n 1-form'lar, burada n eğim'dir,[8] for n = 1, 2, 3. The "circulations" show orientation.[9]

Bu tabloda tensörlerin önemli örnekleri gösterilmiştir,, Her iki tensör dahil olmak üzere vektör uzayları ve tensör alanları olarak manifoldlar. Tensör kendi türüne göre sınıflandırılır (n, m). örneğin, bir çiftdoğrusal form bir (0, 2)-tensör ile aynı şeydir;(0, 2)-tensörünün bir örneği bir iç çarpım'dır , ama iç çarpımları (0, 2)-tensörlerinin hepsi değildir.(0, M)-tablosunun girişi içinde, M temel vektörü boşluk veya manifoldu boyutu gösterir.

n, m n = 0 n = 1 n = 2 ... n = N ...
m = 0 Skaler, örneğin skaler eğrilik vektör örneğin yön vektörü) çift-vektör,örneğin ters metrik tensör N-vektör, N-bıçakların bir toplamı
m = 1 kovektör, doğrusal fonksiyonel, 1-form (örneğin bir skaler alanın eğimi) Doğrusal dönüşüm,Kronecker delta
m = 2 çift doğrusal form,örneğin iç çarpım, Metrik tensör, Ricci eğriliği, 2-form, simplektik formu örneğin üç boyutta dış çarpım örneğin elastisite tensörü
m = 3 örneğin 3-form örneğin Riemann eğriliği tensörü
...
m = M örneğin M-form örneğin hacim formu
...

Bir indis yükseltilerek bir (n, m)-tensör bir (n + 1, m − 1)-tensör üretilebilir; tabloya çapraz yukarı ve sağa hareket olarak görüntülenebilir. Simetriklik, bir dizin indirme çapraz aşağı hareket olarak görüntülenebilir ve tabloda sola olabilir.Bir(n, m)-tensorünün ürünü bir (n − 1, m − 1)-tensörünün bir üst ile bir alt indisi büzülmedir;Bu tabloda çapraz yukarı ve sola hareket olarak görüntülenebilir.

Gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

Ricci hesabı[değiştir | kaynağı değiştir]

Ricci hesabı modern şekilcilik ve tensor indisi için gösterimdir: ve dış çarpımlar ayrıştırılır, kovaryans ve kontravaryanslar, tensor bileşenlerinin toplam'ları , simetri ve antisimetri, ve kısmi ve kovaryans türevler.

Einstein Toplam kuralı[değiştir | kaynağı değiştir]

Einstein Toplam kuralı kapalı toplamını bırakıp dağıtarak toplama işaretleri ile yazılır,. Herhangi tekrarlanan indis sembol üzerinde toplanır: bir tensör ifade eden indis i belirli bir dönem içinde iki kez kullanılırsa, bu terim tüm i için özetlenebilir olduğu anlamına gelir.. indislerin birkaç farklı çiftleri bu şekilde özetlenebilir.

Penrose grafiksel gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Penrose grafiksel gösterimi is şekiller ile tensörler için sembollerin yerini şematik bir gösterimdir, ve doğrular ve eğriler yardımıyla indisleri.Bu taban ögelerin bağımsız olmasını ve indisleri için sembolleri gerektirir.

Soyut indis gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Soyut indis gösterimi is indisleri bundan böyle olarak sayısal düşünülen şekilde tensörler yazmak için bir yol, ama daha çok belirsizdir.Bu gösterim indis bağımsız gösteriminin taban-bağımsızlığını ve indislerin anlamlılığını ele verir.

Bileşen-bağımsız gösterimde[değiştir | kaynağı değiştir]

A Tensörlerin bileşen bağımsız çalışması tensör gösteriminin herhangi baza ihtiyaç duymadan kullanılacağını vurguluyor, ve vektör uzaylarının tensör çarpımı terimlerimin içindeki tanımdır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Temel[değiştir | kaynağı değiştir]

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

General
Specific
  1. ^ Kline, Morris (1972). Mathematical thought from ancient to modern times, Vol. 3. Oxford University Press. ss. 1122–1127. ISBN 0195061373. 
  2. ^ Reich, Karin (1994). Die Entwicklung des Tensorkalküls. Science networks historical studies, v. 11. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-2814-6. OCLC 31468174. http://books.google.com/books?id=O6lixBzbc0gC. 
  3. ^ Hamilton, William Rowan (1854–1855). Wilkins, David R.. ed. "On some Extensions of Quaternions". Philosophical Magazine (7–9): 492–499, 125–137, 261–269, 46–51, 280–290. ISSN 0302-7597. http://www.emis.de/classics/Hamilton/ExtQuat.pdf. 
  4. ^ Voigt, Woldemar (1898). Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung. Leipzig: Von Veit. 
  5. ^ Ricci Curbastro, G. (1892). "Résumé de quelques travaux sur les systèmes variables de fonctions associés à une forme différentielle quadratique". Bulletin des Sciences Mathématiques 2 (16): 167–189. 
  6. ^ Ricci & Levi-Civita 1900
  7. ^ Pais, Abraham (2005). Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280672-7. http://books.google.com/books/about/Subtle_is_the_Lord.html?id=U2mO4nUunuwC. 
  8. ^ R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1. 
  9. ^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ss. 83. ISBN 0-7167-0344-0. 

Şablon:PlanetMath attribution

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Namely, the norm operation in a certain type of algebraic system (now known as a Clifford algebra).
  2. ^ bu makalede kullanılan siralı terim ,dolayısıyla rank terimlerinin matris ve tensörler bağlamında farklı bir anlamı vardır
  3. ^ Vector spaces in this article are assumed to be finite-dimensional, unless otherwise noted.
  4. ^ The order of the indices is also important. In general, TijTji.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Tensors

Şablon:Math-stub