Birim vektör

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Birim vektör Matematikte,uzunluğu 1(birim uzunluğu) birim olan ve uzayda bir norma sahip olan vektöre birim vektör denir.Birim vektör genellikle ‘ ‘ gibi şapkalı ve küçük harflerle ifade edilir. Normalize vektör ve ya versor olmayan bir sıfır vektörü u ile eş yönlü olan birim vektörü u

u-hat equals the vector u divided by its length

Mutlak u,u vektörünün normunu(ve ya uzunluğunu) verir.Bu normalize vektör bazen birim vektörün eş anlamı olarak da kullanılır. Bir kaynağın ve ya bir ilkenin elementleri birim vektör olmak üzere seçilebilir.Uzaydaki her vektör birim vektörün linear bileşenleri olarak yazılabilir.En çok rastlanılan kaynaklar Kartezyen,polar ve küresel koordinatlarıdır.Herbiri,koordinat sisteminin simetrisine göre farklı birim vektörleri kullanır.Bu sistemler çok farklı içeriklere sahip oldukları için burada kullanıldıklarından daha farklı bir kullanıma rastalamak pek yaygın değildir. Tanım olarak,Öklid geometrisi’nde iki birim vektörün nokta çarpımı basitçe aralarındaki açının cosinüsüdür.Üç boyutlu Öklid geometrisi’nde ise,iki dikey birim vektörün çapraz çarpımı diğer bir birim vektöre eşittir.

Dikey koordinatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Birim vektörler, Kartezyen koordinat sisteminin eksenlerini ifade etmek için de kullanılabilir. Örneğin,üç boyutlu x,y,z eksenlerindeeş yönlü birim vektörün Kartezyen koordinat sistemi;

i-hat equals the 3 by 1 matrix 1,0,0; j-hat equals the 3 by 1 matrix 0,1,0; k-hat equals the 3 by 1 matrix 0,0,1

Bazen Versor’un koordinat sistemi olarak da bahsedilir. Genellikle,standart birim vektör işaretlerinden( ) farklı olarak normal vektör işaretleri (i ya da ) ile gösterilirler.Birçok yerde i,j i, j, k, and( vector i vector j and vector k)3D Kartezyen koordinat sisteminin versorları olarak varsayılabilir. Ayrıca bu işaretler x-hat, y-hat, z-hat, x-hat sub 1, x-hat sub 2, x-hat sub 3, e-hat sub x, e-hat sub y, e-hat sub z, or e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3, hat, şapkalı ve ya şapkasız olarak kullanılır.Kaynaklarda özellikle i,j,k başka bir niceliğe sahip olan bir karışıklığa sebep olabilir(örneğin,i,j,k gibi içerik sembolleri bir takımın elementleri,sırası ve ya çeşitlilik dizisi olarak tanımlanabilir). Uzaydaki bir birim vektör i,j,k ‘nın çizgisel kombinasyonları olarak,kartezyen sembolleri ile ifade edildiğinde,bu üç bileşen kosinüs fonksiyonun yönünü olarak tanımlanabilr.her bir bileşenin değeri ayrı ayrı vektörle birim vektörün arasında oluşturdukları açının kosinüsüne eşittir.düzbir çizginin,çizginin bir kısmının,açısal eksenlerinin ve ya açısal eksenlerin bir parçasının tanımlamak için kullanılan methodlardan bir tanesidir.

Silindirik koordinatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Silindirsel simetri için uygun üç dikey birim vektör vardır.Bunlar; s-hat (ayrıca bunlar da kullanılabilir r-hat ya da rho-hat), noktanın simetri ekseninden olan uzaklığını gösterir. phi-hat,saat yönünü tersinde hareket ederse,hareket yönünün gözlemlenebildiğine karşılık gelmektedir. z-hat,simetri ekseninin yönüne karşılık gelir. Bunlar kartezyenin temeli olan x-hat, y-hat, z-hat ile ilişkilendirilir.

s-hat = cosine of phi in the x-hat direction plus sine of phi in the y-hat direction
phi-hat = minus the sine of phi in the x-hat direction plus the cosine of phi in the y-hat direction
z-hat equals z-hat

s-hat vephi-hat coordinate phi’nin fonksiyonları olduğunu belirtmek önemlidir ve sabit bir yönleri yoktur. Silindirik koordinatlarda türevleyerek ve integralini alarak,bu vektörleri çalıştırabiliriz.Daha eksiksiz bir açıklama için ,Jacobian matrix ‘e bakınız.fonksiyonun\varphi türevleri şunlardır;

partial derivative of s-hat with respect to phi equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction equals phi-hat
partial derivative of phi-hat with respect to phi equals minus cosine of phi in the x-hat direction minus sine of phi in the y-hat direction equals minus s-hat
partial derivative of z-hat with respect to phi equals zero

Küresel koordinatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Küresel bir simetriye uygun birim vektörleri: r-hat, orjinden artan radyal uzunluğun yönü phi-hat x-y düzleminde saat yönünün tersi yönde gelen pozitif x ekseni artmaktadır;ve theta-hat, z ekseni yönündeki pozitif gelen açı artmaktadır .Bozulmayı,çakışıklığı en aza indirmek için,polar açı genellikle zero is less than or equal to theta is less than or equal to 180 degrees alınır.Sıklıkla phi-hat and theta-hatgösterilen,küresel koordinatlarda yazılmış herhangi bir düzen üçlü bağlamına dikkat etmek özellikle önemlidir.Amerikan fizik kongresinde de kullanılmıştır.Bu azimutal açı yaparak phi silindir koordinatlar da bunun aynısı olarak tanımlanır.Kartezyen ilişkileri şunlardır:

r-hat equals sin of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction plus cosine of theta in the z-hat direction
theta-hat equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction
phi-hat equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction

Küresel birim vektörler hem phi hem theta’a bağlıdır ve dolayısıyla beş tane sıfır olmayan türevleri vardır.Daha eksiksiz bir açıklama için Jakobien ‘ bakınız.Sıfır olmayan türevleri ;

partial derivative of r-hat with respect to phi equals minus sine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals sine of theta in the phi-hat direction
partial derivative of r-hat with respect to theta equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction equals theta-hat
partial derivative of theta-hat with respect to phi equals minus cosine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals cosine of theta in the phi-hat direction
partial derivative of theta-hat with respect to theta equals minus sine of theta times cosine of phi in the x-hat direction minus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus cosine of theta in the z-hat direction equals minus r-hat
partial derivative of phi-hat with respect to phi equals minus cosine of phi in the x-hat direction minus sine of phi in the y-hat direction equals minus sine of theta in the r-hat direction minus cosine of theta in the theta-hat direction

Genel birim vektörler[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: dik koordinatlar

Fizik ve Geometri boyunca meydana gelen birim vektörlerin ortak genel temaları:

Birim vektör Terimleme Diyagram
Bir eğri çizgisine teğet vektör  \mathbf{\hat{t}}\,\! "200px" "200px"

Bir düzlemin içerdiği normal vektörü  \mathbf{\hat{n}} \,\! ve radyal pozisyon vektörü  r \mathbf{\hat{r}} \,\! tarafından tanımlanan ve açısal teğeti dönme doğrultusu  \theta \boldsymbol{\hat{\theta}} \,\! vektör denklemlerinin açısal hareketlerinin bulunması için gereklidir.

Radyal konum bileşeni ve açısal teğet bileşeni içeren bir yüzeye teğet normal düzlemi  \mathbf{\hat{n}}\,\! açısından

kutupsal koordinatlar;  \mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{r}} \times \boldsymbol{\hat{\theta}} \,\!

Binormal tanjant vektör ve normal  \mathbf{\hat{b}} = \mathbf{\hat{t}} \times \mathbf{\hat{n}} \,\![1]
Bazı eksen /hattına paralel  \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} \,\! "200px"

Bir birim vektörü \mathbf{\hat{e}}_{\parallel}\,\! bir ana doğrultuda(kırmızı çizgi)paralel hizalanmış ve ona dik birim vektör  \mathbf{\hat{e}}_{\bot}\,\! herhangi bir radyal doğrultuda ana hattına göredir.

Bir radyal doğrultuda bir eksen/hattına dik  \mathbf{\hat{e}}_{\bot} \,\!
Bazı eksen/hattına bağlı mümkün açısal sapma  \mathbf{\hat{e}}_{\angle} \,\! "200px"

Akut sapma açısında φ birim vektörü ( 0 or π/2 rad dahil olmak üzere) göreceli bir yöne göre belirlenir.

Eğrisel koordinatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Genellikle,koordinat sistemi benzersiz bir vektör numarası kullanılarak belirtilebilir.Bağımsız birim vektörlerie-hat sub n uzayın serbestlik derecesine eşittir.Sıradan 3 uzayı için;bu vektörler e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3 ifade edilebilir.Bu sistemi tanımlamak ve ortonormal olmak için her zaman uygun olan denklemler; e-hat sub i dot e-hat sub j equals Kronecker delta of i and j

e-hat sub i dot e-hat sub j cross e-hat sub k = epsilon sub ijk δij Kronecker delta’dır(i = j dir ve sıfırdan farklıdır) ve epsilon sub i,j,k Levi-Civita symbolüdür(permütasyon düzenlerinin bir tanesidir ijk' ve eksi sıralı permütasyonu kji.


Referanslar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ M. R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2nd bas.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.