Tersçapraz

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) AT şeklinde ifade edilir (diğer gösterimler A′, Atr or At). Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:

  • A dizeyinin ilkköşegene göre yansıması alınarak AT elde edilir,
  • A dizeyinin satırları AT dizeyinin sütünları olarak yazınca elde edilir,
  • veya A dizeyinin sütünları AT dizeyinin satırları olarak yazılınca elde edilir.

AT dizeyinin (i,j) ögesi A dizeyinin (j,i) ile gösterilen ögesine eşittir:

[\mathbf{A}^\mathrm{T}]_{ij} = [\mathbf{A}]_{ji}

Eğer A dizeyi m × n bir dizey ise AT dizeyi n × m bir dizeydir. Bir sayılın (skaler) tersçaprazı yine o sayıldır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1   \\
2  \end{bmatrix}.
  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}.
  • 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. \;

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

A, B dizeyleri ve c sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

  1. ( \mathbf{A}^\mathrm{T} ) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,
    Bir dizeyin tersçaprazının tersçaprazı kendisidir.
  2. (\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,
    Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.
  3. \left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
    Dizey çarpımının tersçaprazı yukardaki gibidir; dizeylerin çarpımının sırası değişir ve iki dizeyinde tersçaprazı alınır. Dizey çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.
  4. (c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
    Sayıl ile dizey çarpımının tersçaprazı alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve dizeyin tersçaprazı alınır. Sayılın tersçaprazı kendisine eşittir ve dizey ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.
  5. \det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,
    Kare bir dizey için dizeyin dizey değerliği (determinantı) ile o dizeyin tersçaprazının dizey değerliği aynıdır.
  6. İki yöneyin, a ve b, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},
    bu çarpımda aibi şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada i alt imi ve i üst iminin aynı olması i üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.
  7. (\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,
    Tersi alınabilir bir dizeyin tersçaprazının da tersi alınabilir. Yukarıdaki A dizeyinin tersçaprazının tersi ile tersinin tersçaprazı birbirine eşittir. Herhangi bir dizeyin tersinin tersçaprazının tersi kendisine eşittir. A−T şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.
  8. Eğer A kare bir dizey ise bu dizeyin özdeğerleri ile tersçaprazlarının özdeğerleri birbirine eşittir.