Olasılık

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Olasılık birşeyin olmasının veya olmamasının şansı veya olabilirliğidir. Olasılık kuramı istatistik, matematik, bilim ve felsefe alanlarında mümkün olayların olabilirliği ve karmaşık sistemlerin altında yatan mekanik işlevler hakkında sonuçlar ortaya atmak için çok geniş bir şekilde kullanılmaktadır.

[değiştir] Açıklamalar

Ana madde: Olasılık açıklamaları

Olasılık sözcüğünün doğrudan doğruya, uygun ve genellikle kabul edilen bir tanımlanması yapılamamaktadır. Genel olarak olasılık açıklamaları, bazan birbiriyle çakışmalı, iki ana esas üzerine bağlanmıştır.

Bir gruba göre olasılık, fiziksel ve objektiftir ve en gelişmiş olarak çoklulukcu (en: frequentist) olasılık açıklama adını almaktadir. Bu açıklamaya göre

deneyler ile incelenen bir rastgele olayın ortaya çıkan sonuçlarının çokluluk orantılarının deney sayısının sonsuza doğru artırıldığı zaman yetiştiği limit

olasılık olarak tanımlanmaktadır. Daha çok fiziksel bilimciler ve mühendislerin çoğunlukta olduğu bu gruba göre, bu objektif orantılı çokluluk açıklaması deneye dayandığı için objektif, somut, gerçekci ve bilimseldir. Pratik olarak deneme yapma veya düşünce ile deney yapılması gerekli olduğunu kabul etmek belki gerçekcidir. Ancak sonsuz limitte karşılıklı orantılı sonuçlara bakma yüksek teori olup pek de gerçekci olmadığı da kabul edilebilir. Bunun yanında, hayatta ve pratikte bir çok olasılıkla ilgili rastgelelik kapsayan sorunlar için teoride veya düşüncede bile deneme yapmak mümkün değildir. Buna rağmen çoklulukcu' açıklama taraftarları yalnız kendi tanımlamalarını bilimsel sayıp, diğer tarafın geliştirdiği teorik ve pratik sonuçları küçümsemededirler.

Diğer tarafa göre olasılık fiziksel maddeye bağlı deneysel bir özellik değildir. Olasılık subjektiftir.

Olasılık gözlemi yapan, kararı veren, olay hakkında düşünenin, bazı aksiyomlara uygun olarak, olaya bağladığı bir olabilirlilik sayısıdır.

Olasılık sayısını bağlamak için bir deneme veya teorik rastgele olay pratikte veya teoride ortaya çıkması gerekmez. Olasılık, verilen sayı ve çok kere bunun bağlandiğı şeyin somut olmadığı için, belli bir kuralla uyularak değişebilir. İşte olasılık sayısını değiştirmek ve yeni bir olasılık sayısı koymak için kullanılan kural olan Bayes teoremine atıfla, bu tarafın geliştirdiği olasılık kavramına Bayes tipi (İngilizce Bayesian) olasılık açıklaması adı verilmektedir. Bu olasılık açıklamasını kabul edenlerde de Bayesiyen olasılıkcılar denilmektedir.

[değiştir] Tarihçe

Ana madde: İstatistik

Aristo'un eserlerinin çevirilerinde olasılık sözcüğü, bir gerçeğin rastgelirliliğinin nicelikleştirilmesini ifade etmemektedir ama bir fikrin ne kadarının genel olarak kabul edildiği ile ilgilidir. Orta Çağ ve sonra Rönesans Çağı'nda birbirini takip eden açıklamalar ve Aristo'nun eserlerinin çevirilerinde yapılan hatalar ile anlam kaymaları ortaya çıkıp bu sözcük bir fikirin olabilirliğinin tasarlanması anlamına gelmeye başlamıştır. XVI. Yüzyıl ve XVII. Yüzyıl'da etikle ilgili din biliminde bulunan olasıcılık bu anlamda ön plana gelmiştir. XVII. Yüzyıl'ın ikinci yarısında olasılık konusunun Blaise Pascal ve Pierre de Fermat tarafından matematiksel olarak incelenmeye başlanması ile olasılık sözcüğü modern anlamına doğru bir yol almıştır. Matematiksel modern olasılık kuramının geliştirilmesi XIX. Yüzyıl'da başlamıştır.

[değiştir] Aristo'ya göre olasılık kavramı

Olasılık sözcüğünün ilk kullanılışı 1370'de Oresme'nin Aristo'nun Nokime Etiği adlı kitabının çevirisinde kullanılmış ve olabilir şeyin tabiatını göstermek için kullanılmıştır. Aristo'ya göre olabilirlilik kavramı (antik Yunanca ενδοξον) günün sorunları olarak tanımlanabilmektedir.

"Olasılıklı fikirler bütün herkes tarafından kabul edilenler; veya pek çok kişi tarafından kabul edilen fikirler; veya yaşlıların hepsi veya çoğu tarafından kabul edilen fikirler; veya son olarak en tanınmış kişilere veya en fazla şöhretli olanlar tarafından kabul eden fikiler olarak sınıflanabilir"

Aristo'ya gore bir fikrin olasılığı genel olarak kişiler tarafından kabul görmesine dayanmaktadır.

[değiştir] XVI. yüzyılda ve XVII. yüzyılda olasılık doktrini

Diğer bir adıyla "olasılıkcılık" olarak anılan, olasılık doktrini bir Katolik etik doktrini olup 16. yüzyılda "Cizvitler" ve "Bartolome de Medina" etkileri ile geliştirilmiştir. Bu teoloji etikine göre "eğer bir fikir olası ise, o fikri gelistirip bir sonuca varmak uygundur; cunku bu fikir karşıtı fikirden daha olasıdır. Böylece bu doktrin ceşitli karşıt tedbirler arasindan herhangi bir tedbir üzerine karar verilmesi gerekmekte iken hangisinin en iyi oldugu bilinemedigi zaman bir karar verme yontemi olarak en olası tedbirin seçilmesini kabul etmektedir. Bu tip olasılık kullanılarak karar vermeye modern karar verme teorisinde maksimum olabilirlilik (maximum likelihood) prensibi adı verilmektedir. Böylece bu türlü Hristiyan Katolik etike taban olan olasılık kavramı, modern olabilirlilik kavramı analogu olmaktadır.

[değiştir] XVII. yüzyıldan XIX. yüzyıla kadar olasılık

Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalardan bir örnek, 1654 ^[1]

Modern olasıilıklar teorisinin başlangıç tarihi Paskal ile Fermat arasındaki 1654de olan bir mektuplaşma içeriğine bağlanabilir. 1657de bu konuya eğilen ilk bilimsel yaklaşım [[[Christiaan Huygens]] tarafından açikca ortaya çıkarılmıştır. Jakob Bernoulli'nin (ölümünden sonra 1713de basılan) Ars Conjectandi adlı eseri ile 1718de basılan Abraham de Moivre'ın Doctrine of Chances adlı eseri olasılıklar teorisini matematik biliminin bir branşı olarak incelemektedirler.

Hatalar teorisi "Roger Cotes"'in (ölümunden sonra 1722de basılan) Opera Miscellana adlı eserinde ilk defa belirtilmiş ve 1755de "Thomas Simpson"un yaşam öyküsü kitabında tümüyle açıklanmıştır. 1757de basılan kitabında eşitlikle olası olan pozitif ve negatif hatalardan, tüm hataların içine düşebileceği alanın belirli sınırlarından ve sürekli hatalardan bahsedilmekte ve bir olasılık eğrisi verilmektedir.

1774de "Pierre-Simon Laplace" olasılıklar teorisi prensiplerini kullanarak gözlemlerin birleştirilmesi için bir kural ortaya çıkartmıştır. Hatalar olasılıkları kuralını bir eğri ile ifade etmiştir; buna göre eğri
$y = φ(x)$ , olup bu ifade de $x$ herhangi bir hata ve $y$ o hatanın olasılığıdır. Bu eğrini niteliği bulunmaktadır:

$y$ -eksenine göre simetriktir
$x$ -eksenine asimptottur ve böylece $\infty$ deki hata olasılığı 0 olur;
bu eğrinin altında kalan toplam alan 1 dir; bu demektir ki bir hatanin olasılığı mutlaka gerektir.

Herhangi üç gözlemin ortalaması için bir formül de ortaya atmıştır. 1774de Lagrange tarafında adlandirilan, hatanın kolaylık kuralı içinde bir formül de ortaya çıkarmistir ama bu formül elle işlemlerle bulunulamıyacak kadar zordur.

1778de Daniel Bernoulli aynı zamanda olan hatalar sistemi için olasılıkların maksimum carpma prensiplerini açıklamıştır.

[değiştir] Modern olasılık kuramının doğuşu

[değiştir] Matematik inceleme

Matematik notasyonla bir olay için olasılık A olayı için P(A) veya p(A) veya Pr(A) ifade edilen 0 ile 1 değer aralığında bulunan bir reel sayıdır. Olması hic imkânsız bir olay için olasılık 0 ve mutlaka olacak olay için olasılık 1 ile ifade edilir.

Bir A olayının karşıtı veya tamamlayıcısı A-değil yani A olayının olmaması olayıdır ve bunun olasılığı

$P( A degil ) = 1 - P( A ) ,\,$

olarak ifade edilir. Örneğin bir altı yüzlü zarın bir defa atılışında tek bir 6 gelmemesi olasılığı şöyle bulunur:

1 - (6 gelmesi olasılığı) = ${1} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6},\,$ .

Eğer iki olay A ve B birbirinden istatistiksel olarak bağımsız iseler ortak olasılık şöyle ifade edilir:

$P(A \ ve B ) = P(A \cap B) = P(A) P(B),\,$

Örneğin iki madeni paranın havaya atılıp üste gelen yüzlerinin izlenmesi şeklindeki bir deney için her iki para için de yazı gelmesi olasılığı şudur:

$\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}$ .

Eğer iki olay karşılıklı olarak hariç ise ya birinin ya da diğerinin olasılığı şöyle verilir:

$P(A\ veya B) = P(A \cup B)= P(A) + P(B).$

Örneğin 6 yüzlü bir zar atma deneyinde 1 veya 2 gelmesi olasılığı şu olur:

$P(1\ veya 2) = P(1) + P(2) = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}$ .

Eğer iki olaya karşılıklı hariç değillerse, bu halde

$\mathrm{P}\left(A \hbox{ veya } B\right) =\mathrm{P}\left(A\right)+\mathrm{P}\left(B\right)-\mathrm{P}\left(A \ ve B\right)$

olur. Örneğin, bir 52 oyun kâğıtlı iskambil destesinden rastgele tek bir kart çekilirse, bu kartın ya bir kupa veya resimli (J, Q, K) bir olması olasığı ifadesi, 52 kardlık destede 13 kupa kart, 12 resimli kart ve 3 tane hem resimli hem kupa kart bulunduğu için, öyle olur:

$\tfrac{13}{52} + \tfrac{12}{52} - \tfrac{3}{52} = \tfrac{11}{26}$

Koşullu olasılık bir diğer olaya olan B olayının ortaya çıktığı bilinirse bilinmeyen bir A olayı için olasılıktır. Koşullu olasılık şöyle yazılır: P(A|B) ve B verilmiş olursa Anin olasılığı olarak okunur. Bu kavram şöyle tanımlanır:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\,$

Bu formülde, eğer $P (B) = 0$ ise $P(A \mid B)$ tanımlanmamış olarak adlandırılır.

Olasıliklar Özeti
Olay	Olasılık
A	$P(A)\in[0,1]\,$
A değil	$P(A')=1-P(A)\,$
A veya B	$\begin{align} P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ & = P(A)+P(B) \qquad\mbox{eger A ve B karsilikli haric ise}\\ \end{align}$
A ve B	$\begin{align} P(A\cap B) & = P(A\|B)P(B) \\ & = P(A)P(B) \qquad\mbox{eger A ve B bagimsiz iseler}\\ \end{align}$
A verilmiş B	$P(A\|B)\,$

[değiştir] Olasılık kuramı

Ana madde: Olasılık kuramı

Diğer bilim kuramlarına benzer olarak olasılık kuramı da olası olan kavramların belirli bir biçimde temsil edilmesidir yani biçimsel terimler temsil ettikleri kavramlardan ayrı olarak incelenebilirler. Bu biçimsel terimler matematik ve mantık kuralları kullanılarak işlem görebilirler ve bu işlemler sonuçlari tekrar problem alanına çevrilebilerek yeni olarak yorumlanabilirler.

Olasılık kavramlarını formel biçime sokmak için en aşağı iki tane başarılı uğraş yapılmıştır. Bunlar Kolmogorov aksiyomları formülasyonu ve Cox'un teoremi formülasyonudur. Kolmogorov'un formülasyonda setler olay olarak yorumlanmakta ve olasılık kavramının kendisi bir sınıf set içinde bir ölçüm olarak tarif edilmektedir. Cox'un teoremiinde ise olasılık, daha fazla analiz edilmeden bir ilkel kavram olarak alınmakta ve önerimlere uyumlu ve tutarlı şekilde olasılık değerleri saptamak üzerine ilgi odaklanmaktadır. Her iki formülasyonda da olasılık aksiyomları, bazı teknik ayrınıtı hariç, değişmeden aynı kalmaktadır.

Belirsizliği niceleştirmek için olasılık dışında diğer yöntemler de geliştirilmiştir. Bunlar arasında Dempster-Shafer teoremi ve Lütfizade'nin mümkünlülük teorisi sayılabilr. Fakat bunlar kökten değişiktir ve şu anda biliğimize göre geliştirilmiş olan olasılık savları ile uyum sağlamamaktadırlar.

[değiştir] Uygulama örnekleri

Şans oyunları veya kumar oyunları olasılık kavramlarının uygulanması için en doğal ortam ve süreçler sağlarlar. Bilinmektedir ki olasılık kavramının gelişmesinde ilk teorik açıklamalar şans oyunlarını açıklamak nedeniyle ortaya çıkartılmıştır.

Ancak modern zamanlarda, birçok pratik ve teorik alanda, olasılık kavramı ve bu kavrama bağlı olarak geliştirilen teoriler ve uygulamalar şans oyunlarının yanında çok daha geniş alanlarda açıklama ve uygulama imkânları sağlamaktadır. Burada şu olasılık uygulama alanlarınin adları kısaca anılabilir:

İstatistik:

Çok geniş bir bilim dalı olmakla beraber, ileri derece de özellikle ileri sayisal veriler analizleri ve çıkarımsal analizlerde olasılık kavramları temel rol oynamaktadır.

Oyun teorisi:

Iktisat incelemelerinde oyun teorisi ozellikle mikro-iktisat alanında çok önem kazanmıştır ve olasılık kavramları bu analizlere temel sağlamaktadır.

Karar verme teorisi:

Belirsizlik ortamlarında karar verme analizi yapılmasında ve bu rizikolu inceleme çevresinde karar verme yöntemlerinin ortaya çıkartılmasında olasılık kavramları çok önemli olup özellikle Bayes teoremi uygulamaları ve Bayes-tipi istatistiksel çıkartımsal analizler bu bilimsel alanda temel sağlamaktadır.

Bilimsel teşhisler:

Tıpta, olasılık kuramı konularindan olan karar verme ağaçları ve Bayes teoremine dayanan anlizler kullanılarak teşhis yapma yöntemleri geliştirilmiştir. Görüntülerin daha kolay anlaşılması ve incelenmesi için astronimide, kriminolojide ve diğer goruntulerden sonuç çıkartıcı uygulamalarda Bayes-tipi olasılık kavramları önemli rol oynamaktadir.

Fizik

Newton -tipi mekaniğe dayanan deterministik evren kabul eden fizikte, özellikle 20.yuüzyıl başına kadar geliştirilmiş olan klasik fizikte, eğer bütün şartlar bilinirse, olasılık kavramlarına hiç yer bulunmamaktadır. Örneğin, bu çeşit felsefî görüşe göre, bir rulet oununda eğer döndüren elin, mekanizmanın, tekerlek sathının tüm fiziksel özellikleri eksiksiz olarak bilinip öğrenebilinirse, bu türlü şans oyununun sonucu deterministik olacaktir. Ancak bir olay hakkında eksiksiz bilgiye sahip olma pratik bakımdan imkânsız olursa olasılık kavramları kullanılması uygun olur. Gazlar hakkında kinetik teori prensip olarak o kadar karmaşıktır ki (örneğin incelenen molekül sayısı, $6\cdot 10^{23}$ civarlarında ve Avogardo sabiti sayısı benzemektedir ki) bunlarin incelemesi ancak istatistiksel olarak mümkün olmaktadır. Buna karşılık 20. yüzyılda mikroskopik ölçeklerde ortaya çıkan fiziksel süreçlerin olasılığa dayandığı ve kuantum mekanik kuralların uyduğu ortaya çıkarılıp ana fizik hipotezi haline getirilmiştir. Kopnehag açıklamasına göre eğer hiç gözlem yapılmazsa dalga fonksiyonu deterministik şekilde evrimlenir; ancak gözlem yapılmaya başladıktan sonra dalganın çökmesi ile olasılıkla açıklaması gerekmektedir. Bu nedenle doğayı temelinden ancak olasılıkla açıklamak mümkündür. Ancak birçok tanınmış bilim adamları bile bunu kabul etmiş değildirler. Örneğin Albert Einstein Max Born'a gönderdiği bir mektupta

Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. (Allahin zar atıp kumar oynamadığına inaniyorum.)

demiş oldugunu tum fizikçiler bilmektedir.

Moleküler bioloji

Mikro biyolojide küçük parçacıkların incelenmesi Brown tipi hareket prensiplerine dayanmaktadir. Bu prensipler olasılık bazlıdır.

Finansal matematik

Borsa işlemleri ve türetilmiş finansal ürünler'in incelenip kontrol edilmesi için olasılık kuramı çok ciddi şekilde kullanılmaktadır. Örneğin, bazı aktif finansal ürünlerin (özellikle opsiyonlarin) fiyatlarının belirlenmesi için kullanılan {{Black-Scholes modeli]] olasılık kuramı prensiplerini temel almaktadır.

Güvenilirlilik kuramı

Pratik hayata olasılık kuramının önemli bir uygulanması birçok dayanıklı tüketici mallarının (örneğin otomobil, tüketici elektronik malları, beyaz eşyalar vb.)tasarımında arıza çıkma olasılığını azaltmak için güvenebilirlilik kuramı kullanılmaktadır ve bu teori baz olarak olasılık kuramına bağımlıdır. Bu türlü mallara verilen garantiler de arıza yapma olasılığına bağlıdır.

[değiştir] İçsel kaynaklar

[değiştir] Referanslar

^ Pascal ve Fermat mektuplaşmalarından örnek

[değiştir] Dışsal kaynaklar

Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2

[değiştir] Dış bağlantılar

Edwin Thompson Jaynes, (1996) Probability theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — [1] ve PDF
[2] Dictionary of the History of Ideas:] Onyedinci yüzyıl düşüncesinde kesinlik
[3] (Southampton Universitesi ders notlari) Olasılık ve istatistik tarihinde önemli şahıslar
[4] (Southampton Universitesi ders notları) Olasılık ve istatistik üzerindeki ilk yazılar için site

g • t • d Matematiğin genel alanları
Analiz \| Ayrık matematik \| Cebir (Basit cebir-Doğrusal cebir-Soyut cebir) \| Geometri \| İstatistik \| Kategori kuramı \| Kümeler kuramı \| Mantık \| Matematiksel fizik \| Olasılık \| Sayılar kuramı \| Topoloji \| Uygulamalı matematik \|

[0] Pascal ve Fermat mektuplaşmalarından örnek

[1]