Heron formülü

Kenar uzunlukları a, b ve c olan bir üçgen.

Heron formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamaya yarayan geometri formülüdür. Yunan matematikçi Heron tarafından bulunmuştur.

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

s, üçgenin yarı çevresini göstermektedir:

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

Heron formülü şu şekillerde de yazılabilir:

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$

Örnek

ΔABC, kenar uzunlukları a=7, b=4 ve c=5 olan bir üçgen olsun.

Yarıçevre   $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8$  ve alan

 $T={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}$

$={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3)}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9.8$

İspatı

Kosinüs teoremini yazarsak,

$\cos {\widehat {C}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

C açısının sinüsünü bulalım

$\sin {\widehat {C}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\widehat {C}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$

Üçgenin a kenarının yüksekliği b·sin(C) olur.

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{taban}})({\mbox{yukseklik}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {C}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}\end{aligned}}$

İspatın iki adımında, iki kare farkı kullanılmıştır.

Yüksekliği h olan bir üçgen, tabanı d ve (c − d) olarak kesiyor.

Aşağıdaki kanıt ise pisagor teoremi kullanılarak yapılan cebirsel bir kanıttır.

$b^{2}=h^{2}+d^{2}$ ve $a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}$

denklemlerini düzenlersek.

$a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd$ ifadesi elde edilir. $d$ uzunluğunu bu ifadede: $$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}$$ olacaktır.

Yukarıdaki şekilde $h^{2}=b^{2}-d^{2}$ yazabiliyorduk.

$d$ 'nin yukarıda elde edilen değeri burada yerine yazıldığında: $${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}$$

Şimdi bu bulduğumuz sonucu, üçgenin alanını yüksekliğinden hesaplayan formüle uyguluyoruz.: $${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$$

Kaynakça

• "Heron's Formula". Mathworld. 5 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Ekim 2013.