Kosinüs teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Şekil 1: Açıları ve kenarları isimlendirilmiş bir üçgen

Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şöyledir:

\ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha
\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta
\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma

Kosinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmada ve üç kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır. Ayrıca bu teorem, sadece dik üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını tüm üçgenler için geneller.

İspatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Uzaklık Formülüyle[değiştir | kaynağı değiştir]

Kenarları a, b, c ve c kenarının karşısındaki açısı \alpha olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde \ A(b\sin\alpha,b\cos\alpha), B(0,a), C(0,0) noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle c = \sqrt{(b\cos \alpha - a)^2+(b\sin \alpha - 0)^2} bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki şekilde teorem ispat edilir:


\begin{align}
c^2 & {} = (b\cos \alpha - a)^2+(b\sin \alpha - 0)^2 \\
c^2 & {} = b^2 \cos ^2 \alpha - 2ab\cos \alpha + a^2 + b^2\sin ^2 \alpha \\
c^2 & {} = a^2 + b^2 (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) - 2ab\cos \alpha \\
c^2 & {} = a^2 + b^2  - 2ab\cos \alpha 
\end{align}

Trigonometriyle[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Trigonometri
Şekil 2: Bir dikme indirilmiş üçgen

Şekil 2'deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:

c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,.

Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:

c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,.

Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:

a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\,,
b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,.

bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:

a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,

En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:

 ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,

yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,.

elde edilir.

İkizkenar üçgende kosinüs teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir ikizkenar üçgende a=b ve iki eşit kenar arasındaki açı \gamma olduğu durumda c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır:

\cos(\gamma) = 1 - \frac{c^2}{2a^2}. \;

İlgili konular[değiştir | kaynağı değiştir]