Batlamyus teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Batlamyus teoremi, bir kirişler dörtgeninin uzunlukları arasındaki ilişkiyi gösterir:
|AC|.|BD| = |AD|.|BC| + |AB|.|DC|

Öklid geometrisinde, Batlamyus teoremi, bir kirişler dörtgeninin (köşeleri ortak bir daire üzerinde yer alan bir dörtgen) dört kenarı ile iki köşegeni arasındaki bir ilişkiyi gösteridir. Teorem, Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'un (Claudius Ptolemaeus) adını almıştır[1]. Batlamyus, teoremi astronomiye uyguladığı trigonometrik bir tablo olan kirişler tablosunu oluşturmaya yardımcı olarak kullandı.

Kirişler dörtgenin köşeleri sırayla A, B, C ve D ise, teorem şunu belirtir:

Burada dikey çizgiler (| |) ile gösterim, adlandırılmış köşeler arasındaki çizgi parçalarının uzunluklarını belirtmektedir. Geometri bağlamında, yukarıdaki eşitlik genellikle basitçe şöyle yazılır:

Bu ilişki sözlü olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Eğer bir dörtgen bir dairenin içine çizilebiliyorsa, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımı, karşıt kenarların çiftlerinin uzunluklarının çarpımlarının toplamına eşittir.

Dahası, Batlamyus teoreminin tersi de doğrudur:

Bir dörtgende, karşıt iki kenar çiftinin uzunluklarının çarpımlarının toplamı, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımına eşitse, bu dörtgen bir daire içerisine çizilebilir, yani bir kirişler dörtgenidir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Eşkenar üçgen[değiştir | kaynağı değiştir]

Eşkenar üçgen

Batlamyus Teoremi, sonuç olarak daire içine çizilmiş bir eşkenar üçgene ilişkin güzel bir teoreme [2] ulaşmamıza imkan verir.

Verilen: Bir daire üzerine çizilmiş bir eşkenar üçgen ve daire üzerinde bir nokta.

Noktadan üçgenin en uzak köşesine olan mesafe, noktadan daha yakın iki köşeye olan mesafelerin toplamıdır.

İspat: Hemen Batlamyus teoremini takip edersek:

Kare[değiştir | kaynağı değiştir]

Merkezi karenin merkezi olan bir daireye herhangi bir kare çizilebilir. Dört kenarının ortak uzunluğu 'ya eşitse daha sonra köşegenin uzunluğu 'ye eşittir. Pisagor teoremine göre ve bu ilişki açıkça geçerlidir.

Dikdörtgen[değiştir | kaynağı değiştir]

Pisagor teoremi: "manifestum est" : Kopernik

Daha genel olarak, eğer dörtgen, kenarları a ve b ve köşegenleri d olan bir dikdörtgen verilirse, Batlamyus teoremi, Pisagor teoremine indirgenir. Bu durumda dairenin merkezi, köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Bu durumda, köşegenlerinin çarpımı d2 olarak bulunur. Batlamyus eşitliğine göre sağ taraftaki toplam a2+b2'dir.

Trigonometrik çalışmasında Batlamyus'un teoremini yoğun bir şekilde kullanan Kopernik, bu sonuca bir 'Porizm' veya apaçık bir sonuç olarak atıfta bulunur:

Dahası, bir yayı oluşturan kiriş verildiğinde, yarım dairenin geri kalanını altta tutan kirişin de bulunabileceği açıktır (manifestum est). [3]

Beşgen[değiştir | kaynağı değiştir]

Altın oran, Batlamyus teoreminin bu uygulamasından gelir.

Daha ilginç bir örnek, düzgün bir beşgendeki kenar uzunluğu a ile 5 kirişin (ortak) uzunluğu b arasındaki ilişkidir. Bu durumda b 2 = a2 + ab altın oranı veren ilişkidir:

[4]

Ongenin kenarı[değiştir | kaynağı değiştir]

Daire ile çevrelenen ongenin kenarı

Şimdi çap AF, DC'yi ikiye bölerek çizilirse, böylece DF ve CF, daire içine çizilen bir ongenin c kenarlarıdır, Batlamyus teoremi tekrar uygulanırsa bu kez, köşegenlerinden biri olarak d çapına sahip kirişler dörtgeni ADFC'ye:

, burada altın orandır.
[5]

böylece daire içine çizilen ongenin kenarı daire çapı cinsinden elde edilir. Dik üçgen AFD'ye uygulanan Pisagor teoremi, çap olarak "b" uzunluğunu verir ve bundan sonra beşgenin [6] kenarı "a" olarak hesaplanır.

Kopernik'in (Batlamyus'u izleyerek) yazdığı gibi,

"Verilen bir çemberin çapı, aynı çemberin çevrelediği üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve ongenin kenarları da verilmiştir." [7]

İspatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Üçgenlerin benzerliği ile ispat[değiştir | kaynağı değiştir]

Batlamyus teoreminin bir kanıtı için çizim
  • bir kirişler dörtgeni olsun.
  • kirişi üzerinde, çevre açıları = ve üzerinde, = 'dir.
  • üzerinde noktası = olacak şekilde oluşturulursa; + = = + , = 'dir.
  • Şimdi, ortak açılardan , 'ye benzer ve aynı şekilde de 'ye benzer.
  • Böylece ve 'dir; eşdeğer olarak, ve 'dır.
  • İki eşitlik birbirine ekleyerek elde ederiz ve bunu çarpanlara ayırmak suretiyle 'yı elde ederiz.
  • Ancak 'dır, dolayısıyla

QED [8]

Yazıldığı şekliyle ispat yalnızca basit kirişler dörtgenleri için geçerlidir. Dörtgen kendi kendine kesişiyorsa , çizgi parçasının dışında yer alacaktır. Ancak bu durumda , beklenen sonucu verir.

Trigonometrik özdeşliklerle ispat[değiştir | kaynağı değiştir]

, ve tarafından oluşturulan çevre açılar sırasıyla , ve ve çemberin yarıçapı olsun. O zaman,

,
,
,
,
ve

olur ve kanıtlanacak orijinal eşitlik aşağıdaki hale dönüşür;

denklemin her iki tarafı da çarpanına bölünerek sadeleşti.

Şimdi toplam formüllerini kullanarak,

ve

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının da eşit olduğunu göstermek basittir.

Q.E.D

Evirtim ile ispat[değiştir | kaynağı değiştir]

Daire evirtimi yoluyla Batlamyus teoreminin kanıtı

ABCD'nin çevrel çemberi bir doğruya evirtildiğine (şekle bakın) göre merkezi D olan yardımcı bir dairesi seçin. Sonra olur. Genelliği kaybetmeden 'nin yarıçapını alalım. Sonra ve sırasıyla aşağıdaki şekilde ifade edilebilir;

, ,

Önceki ilişkiyi ile çarpar ve eşitliğini kullanırsak Batlamyus'un eşitliğini elde ederiz.

Q.E.D.

Dörtgen kirişler dörtgeni değilse, , ve 'nün bir üçgen oluşturduğuna ve dolayısıyla olduğuna dikkat edin, bize aşağıda sunulan Batlamyus Eşitsizliğinin çok basit bir kanıtı verir.

Karmaşık sayılar kullanarak ispat[değiştir | kaynağı değiştir]

ABCD 'de bir daire etrafında saat yönünde olacak şekilde düzenlensin. Karmaşık bir sayının kutupsal formundan yazılabilir. Buradan da,

ve
elde edilir.

Kirişler dörtgeni içindeki zıt açılar toplamı olduğundan,

Bu nedenle, Böylece

ve
olur.

Dolayısıyla,

'dir.

Burada üçüncü ila son eşitlik, niceliğin zaten gerçek ve pozitif olduğu gerçeğinden kaynaklanır. Q.E.D.

Sonuçlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonuç 1: Pisagor teoremi

Birim çaplı bir dairede olması durumunda, herhangi bir ABCD kirişler dörtgeninin kenarları , bu kenarlar tarafından oluşturulan ve açıların sinüslerine sayısal olarak eşittir. Benzer şekilde, köşegenler, hangi açı çiftini oluşturursa oluştursunlar, sinüslerinin toplamının eşittir. Daha sonra Batlamyus Teoremini aşağıdaki trigonometrik biçimde yazabiliriz:

Oluşturulan ve açılarına belirli koşulları uyguladığımızda, yukarıdakileri başlangıç noktamız olarak kullanarak bir dizi önemli sonuç çıkarmak mümkündür. Aşağıdakilerde, açıların toplamının olduğunu akılda bulundurmak faydalı olacaktır.

Sonuç 1. Pisagor teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

ve olsun. Sonra (çünkü kirişler dörtgeninin zıt açıları bütünlerdir). Ardından:[9]

Sonuç 2. Kosinüs yasası[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonuç 2: Kosinüs yasası

olsun. Sonuç 1'in dikdörtgeni şimdi eşit köşegenlere ve bir çift eşit kenara sahip simetrik bir yamuktur. Paralel kenarların uzunlukları birim farklılık gösterir. Burada:

olup, bu durumda Batlamyus teoreminin standart ifadesine dönmek daha kolay olacaktır:

ABC üçgeninin kosinüs kuralı.

Sonuç 3. Sinüs toplam formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

olsun.

Sonra

Bu nedenle,

Sinüs toplam formülü elde edilir.[10]

Sonuç 4. Sinüs fark formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

olsun. Sonra,

.

Dolayısıyla,

Sinüs fark formülü elde edilir.[10]

Bu türetme, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Üçüncü Teoreme karşılık gelir. Özellikle, bir beşgenin (çevresindeki dairede 36° ile oluşturulan) ve bir altıgenin (çevresindeki dairede 30° ile oluşturulan) kenarları verilirse, 6° ile oluşturulan bir kiriş hesaplanabilir. Bu, kiriş tablolarını hesaplamanın eski yönteminde kritik bir adımdı.[11]

Sonuç 5. Kosinüs toplam formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu sonuç, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Beşinci Teoremin özüdür.

olsun. Sonra. Bu nedenle

Kosinüs toplam formülü elde edilir.

Modern trigonometrik notasyonumuzun becerisinden yoksun olmasına rağmen, yukarıdaki sonuçlardan, Batlamyus teoreminde (veya daha basitçe İkinci Teoremde ) antik dünyanın emrinde son derece esnek ve güçlü bir trigonometrik araca sahip olduğu anlaşılmalıdır. Doğru kiriş tabloları (sinüs tablolarına karşılık gelen) hazırlamak ve bunları kozmosu gördükleri gibi anlama ve haritalama girişimlerinde kullanmak için. Kiriş tabloları Hipparchus tarafından Batlamyus'tan üç yüzyıl önce hazırlandığı için, 'İkinci Teorem'i ve türevlerini bildiğini varsaymalıyız. Eski gökbilimcilerin izinden giden tarih, İskenderiyeli Timocharis'in yıldız kataloğunu kaydeder. Muhtemel göründüğü gibi, bu tür katalogların derlenmesi 'İkinci Teorem'in anlaşılmasını gerektiriyorsa, o zaman ikincisinin gerçek kökenleri daha sonra antik çağın sisleri arasında kaybolur, ancak eski Mısırın gökbilimcilerin, mimarların ve inşaat mühendislerinin bu konuda biraz bilgi sahibi olduğunu varsaymak mantıksız olamaz.

Batlamyus eşitsizliği[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu bir kirişler dörtgeni değildir . Eşitlik burada asla geçerli değildir ve Batlamyus eşitsizliğinin gösterdiği yönde eşit değildir.

Batlamyus teoremindeki denklem, kirişler dörtgeni olmayan dörtgenlerde asla doğru değildir. Batlamyus eşitsizliği bu gerçeğin bir uzantısıdır ve Batlamyus teoreminin daha genel bir biçimidir. Bir ABCD dörtgeni verildiğinde,

burada eşitlik, ancak ve ancak dörtgen kirişler dörtgeni ise geçerlidir . Bu özel durum, Batlamyus teoremine eşdeğerdir.

İkinci Batlamyus teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Batlamyus teoremi, kenarları bilinen bir kirişler dörtgeninin köşegenlerin çarpımını verir. Yukarıdaki özdeşlik ise oranlarını verir.

İspat : Bir çevrel çember içine çizilen üçgenin alanı, çap olmak üzere:'dir.

Dörtgenin alanını aynı çevrel çemberi paylaşan iki üçgenin toplamı olarak yazdığımızda, her ayrışma için iki ilişki elde ederiz.

Denkleştirerek, açıklanan formülü elde ederiz.

Sonuç : Köşegenlerin hem çarpımını hem de oranını bildiğimizde, bunların anlık ifadelerini çıkarıyoruz:

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ C. Ptolemy, Almagest, Book 1, Chapter 10.
  2. ^ Wilson, Jim. "Ptolemy's Theorem." 15 Aralık 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. link verified 2009-04-08
  3. ^ De Revolutionibus Orbium Coelestium: Page 37. See last two lines of this page. Copernicus refers to Ptolemy's theorem as "Theorema Secundum".
  4. ^ Proposition 8 10 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. in Book XIII of Euclid's Elements 26 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. proves by similar triangles the same result: namely that length a (the side of the pentagon) divides length b (joining alternate vertices of the pentagon) in "mean and extreme ratio".
  5. ^ And in analogous fashion Proposition 9 10 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. in Book XIII of Euclid's Elements 26 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. proves by similar triangles that length c (the side of the decagon) divides the radius in "mean and extreme ratio".
  6. ^ An interesting article on the construction of a regular pentagon and determination of side length can be found at the following reference
  7. ^ De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Theorema Primum
  8. ^ Alsina (2010), Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics, Dolciani Mathematical Expositions, 42, Mathematical Association of America, s. 112, ISBN 9780883853481, 15 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 24 Eylül 2020 
  9. ^ In De Revolutionibus Orbium Coelestium, Copernicus does not refer to Pythagoras's theorem by name but uses the term 'Porism' – a word which in this particular context would appear to denote an observation on – or obvious consequence of – another existing theorem. The 'Porism' can be viewed on pages 36 and 37 of DROC (Harvard electronic copy)
  10. ^ a b "Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem". 30 Aralık 2010 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Eylül 2020. 
  11. ^ To understand the Third Theorem, compare the Copernican diagram shown on page 39 of the Harvard copy 13 Temmuz 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. of De Revolutionibus to that for the derivation of sin(A-B) found in the above cut-the-knot 30 Aralık 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. web page

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

İlave okumalar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Hung, Tran Quang, (2019), Generalization of Ptolemy's Theorem', Journal of Science and Arts; Targoviste Vol. 19, Iss. 2, ss. 275-280.
  • N. S. Astapov, I. S. Astapov, (2019), The variety of generalizations of the Ptolemy's theorem, Dal'nevost. Mat. Zh., 19:2, ss. 129–137
  • Ricahrd G. Swan, Ptolemy's Theorem And Its Converse, Makale
  • Shay Gueron, (2002), Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem, Makale
  • Erwin Just Norman Schaumberger, A Vector Approach to Ptolemy's Theorem, Makale