Açıortay teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Şekilde BD:DC = AB:AC'dir.

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

Teorem[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir ABC üçgeni düşünün. A açısının açıortayının B ile C arasındaki D noktasında BC kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, BD doğru parçasının uzunluğunun DC parçasının uzunluğuna oranının AB kenarının uzunluğunun AC kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir:

ve tersine, ABC üçgeninin BC kenarındaki D noktası BC yi AB ve AC kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra AD, ∠ A açısının açıortayıdır.

Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer D, BC doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman

AD, ∠ BAC nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. D, BC bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır.

Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir.

Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür.

İspatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat 1[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki diyagramda, ABD ve ACD üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında:

   

 

 

 

 

(1)

   

   

 

 

 

 

(2)

   

∠ BDA ve ∠ ADC açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan,

∠ BAD ve ∠ DAC açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları (1) ve (2) eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır.

bu da açıortay teoremi'dir.

∠ BAD ve ∠ DAC açıları eşit değilse, denklemler (1) ve (2) şu şekilde yeniden yazılabilir:

∠ BDA ve ∠ ADC açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler.

İspat 2[değiştir | kaynağı değiştir]

Bisekt.svg

D, BC doğrusunda bir nokta olsun, B veya C ye eşit olmasın ve AD, ABC üçgeninin bir yüksekliği olmasın.

B1, ABD ile B üçgenindeki yüksekliğin tabanı olsun ve C1 ACD ile C üçgenindeki yüksekliğin tabanı olsun. Daha sonra, D kesinlikle B ile C arasındaysa, B1 veya C1'den biri ve yalnızca biri, ABC üçgeninin içinde yer alır ve B1'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. D, BC segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne B1 ne de C1 üçgenin içinde yer alır.

∠ DB1B ve ∠ DC1C dik açılar iken, D, BC segmentinde yer alıyorsa (yani, B ve C arasında) ∠ B1DB ve ∠ C1DC açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler DB1B ve DC1C benzerdir (AAA), yani

D bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman,

ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır.

İspat 3[değiştir | kaynağı değiştir]

Hızlı bir kanıt, 'daki açıortay ile oluşturulan ve üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani taban ve yükseklik olmak üzere şeklinde ve , kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı olmak üzere şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir.

, tabanı olan üçgenlerin yüksekliği ve 'daki açının yarısı olsun. Sonra,

ve

buradan da

bulunur.

Dış açıortaylar[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış açı ortaylar (kırmızı nokta ile gösterilen):
D, E, F noktaları eşdoğrusaldır ve oranlar için aşağıdaki denklemler geçerlidir:
, ,

Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu, 'daki dış açıortay 'de uzatılmış kenar ile kesişiyorsa, 'deki dış açıortay 'de uzatılmış kenar ile kesişir ve 'deki dış açı açıortay uzatılmış kenar ile 'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olur[1]:

, ,

Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları , ve arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedir[2].

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

Açıortay teoremi, Öklid'in Elemanları Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. Heath (1956, s. 197 (cilt 2))'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade Robert Simson tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler[3]:

Bir üçgenin bir açısı, karşı kenarı veya zıt kenarı kesen düz bir çizgi ile içten veya dıştan ikiye bölünürse, o tarafın dilimleri üçgenin diğer kenarları ile aynı orana sahip olacaktır ve eğer bir üçgenin bir kenarı, parçalarının üçgenin diğer kenarlarıyla aynı orana sahip olması için içten veya dıştan bölünüyorsa, kesit noktasından ilk bahsedilen kenarın karşısındaki açısal noktaya çizilen düz çizgi bu açısal noktada iç veya dış açıyı ikiye böler.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, 9781930190856, pp. 3-4
  2. ^ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, 978-0-486-46237-0, p. 149 (original publication 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
  3. ^ Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] bas.). New York: Dover Publications. 
    (3 cilt): 0-486-60088-2 (cilt 1), 0-486-60089-0 (cilt 2), 0-486-60090-4 (cilt 3). Heath'in yetkili çevirisi ile birlikte kapsamlı tarihsel araştırma ve metin boyunca ayrıntılı yorumlar içerir.

İlave okumalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]