Kesişme teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Thales teoremi (aynı adı taşıyan başka bir teoremle karıştırılmamalıdır) veya temel orantı teoremi olarak da bilinen kesişme teoremi, kesişen iki çizginin bir çift paralelle kesilmesi durumunda oluşturulan çeşitli çizgi parçalarının oranları hakkındaki temel geometride önemli bir teoremdir. Benzer üçgenlerdeki oranlarla ilgili teoreme eşdeğerdir. Geleneksel olarak Yunan matematikçi Thales'e atfedilir.[1]

Formülasyon[değiştir | kaynağı değiştir]

S'nin iki çizginin kesişme noktası olduğunu ve A, B'nin iki paralelle ilk çizginin kesişim noktası olduğunu varsayalım, öyle ki B, S'den A'dan daha uzaktır, ve benzer şekilde C, D ikinci doğrunun iki paralelle kesişimleridir, öyle ki D, S'den C'den daha uzaktır.

  1. İlk satırdaki herhangi iki doğru parçasının oranları, ikinci satırdaki ilgili doğru parçalarının oranlarına eşittir: , ,
  1. S ile başlayan aynı çizgi üzerindeki iki doğru parçasının oranı, paralellerdeki doğru parçalarının oranına eşittir:
  1. İlk ifadenin tersi de doğrudur, yani kesişen iki çizgi rastgele iki çizgi tarafından kesilirse ve ise kesişen iki çizgi paraleldir. Ancak ikinci ifadenin tersi doğru değildir.
  1. S'de kesişen ikiden fazla çizgi varsa, paraleldeki iki doğru parçasının oranı, diğer paraleldeki ilgili doğru parçalarının oranına eşittir: ,
Aşağıdaki ikinci grafikte üç çizgili duruma bir örnek verilmiştir.

İlk kesişim teoremi, çizgilerin bölümlerinin oranlarını gösterir, ikincisi, çizgilerin bölümlerinin oranları ile birlikte paralellerin bölümlerini, son olarak üçüncüsü, paralellerin bölümlerinin oranlarını gösterir.

Intercept theorem.svg
Intercept2.svg

İlgili kavramlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Benzerlik ve benzer üçgenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Kesişme teoremi uygulanabilecek şekilde iki benzer üçgenin düzenlenmesi

Kesişme teoremi, benzerlik ile yakından ilgilidir. Benzer üçgenler kavramına eşdeğerdir, yani benzer üçgenlerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılabilir ve benzer üçgenler kesişme teoremini kanıtlamak için kullanılabilir. Özdeş açıları eşleştirerek, her zaman birbirine benzer iki üçgen elde edilebilir, böylece kesişme teoreminin uygulandığı durum elde edilmiş olur. Ayrıca tersine, kesişme teoremi durumu her zaman iki benzer üçgen içerir.

Vektör uzaylarında skaler çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]

Normlu bir vektör uzayında, skaler çarpım ile ilgili aksiyomlar (özellikle ve ) kesişme teoreminin geçerli olmasını sağlar. Buradan da aşağıdaki sonuca ulaşılır:

Intercept theorem vectors 2.svg

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Pergel ve cetvel çizimlerinin cebirsel formülasyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Yunan matematiğinde ele alınan üç klasik matematik problemi

Yunanların pergel ve düz kenarlı cetvelle yapılan çizimler açısından ortaya koyduğu temel geometride üç ünlü problem vardır[2][3]:

  1. Daireyi kareyle çevreleme
  2. Küpü iki katına çıkarma
  3. Açıyı üçe bölme

Üçünün de 19. yüzyılda verilen araçlarla, o dönemde mevcut olan cebirsel yöntemlerle imkansız olduğunun gösterilmesi nihayet 2000 yıldan fazla sürdü.

Bunları cisim genişlemesi kullanarak cebirsel terimlerle yeniden formüle etmek için, cisim işlemlerini pergel ve düz kenarlı cetvelle yapılan çizimlerle eşleştirmek gerekir (bkz. inşa edilebilir sayı).

Özellikle, verilen iki çizgi parçası için, uzunluğu diğer ikisinin uzunluklarının çarpımına eşit olacak şekilde yeni bir çizgi parçasının oluşturulabileceğinden emin olmak önemlidir. Benzer şekilde, uzunluğundaki bir doğru parçası için uzunluğunda yeni bir çizgi parçası inşa edilebilmelidir. Kesişme teoremi, her iki durumda da böyle bir yapının mümkün olduğunu göstermek için kullanılabilir.

Bir çarpımın inşası Number construction multiplication.svg

Bir evrik değerin inşası Number construction inverse.svg

Bir çizgi parçasını belirli bir oranda bölme[değiştir | kaynağı değiştir]

Rastgele bir doğru parçasını bir oranında bölmek için, A'da ile tek ayak olacak şekilde rastgele bir açı çizin. Diğer bacakta eşit uzaklıkta noktalar oluşturun, ardından çizgiyi son noktadan ve B ve noktasından paralel bir çizgi çizin. Bu paralel çizgi 'yi istenen oranda böler. Sağdaki grafik bir çizgi parçasının oranında bölümünü göstermektedir.[4]

Dividing segment.svg

Ölçme ve tetkik[değiştir | kaynağı değiştir]

Keops piramidinin yüksekliği[değiştir | kaynağı değiştir]

parçaları ölçmek
C ve D'yi hesaplamak

Bazı tarihsel kaynaklara göre, Yunan matematikçi Thales, Keops piramidinin yüksekliğini belirlemek için kesişme teoremini uyguladı.[1] Aşağıdaki açıklama, piramidin yüksekliğini hesaplamak için kesişme teoreminin kullanımını göstermektedir. Ancak, Thales'in kaybolan orijinal çalışmasını anlatmamaktadır.

Thales, piramidin tabanının uzunluğunu ve direğin yüksekliğini ölçtü. Sonra günün aynı saatinde piramidin gölgesinin uzunluğunu ve direğin gölgesinin uzunluğunu ölçtü. Bu şekilde aşağıdaki verileri elde etti:

  • direğin yüksekliği (A): 1,63 m
  • direğin gölgesi (B): 2 m
  • piramit tabanının uzunluğu: 230 m
  • piramidin gölgesi: 65 m

Bu verileri kullanarak;

olduğunu hesapladı. A, B ve C'yi bilerek, artık piramidin yüksekliğini hesaplamak için kesişim teoremi uygulanabilir.

Bir nehrin genişliğini ölçmek[değiştir | kaynağı değiştir]

Kesişme teoremi, bir nehrin veya gölün genişliği, yüksek binaların boyunu veya benzeri gibi doğrudan ölçülemeyen bir mesafeyi belirlemek için kullanılabilir. Sağdaki grafik bir nehrin genişliğini ölçmeyi göstermektedir. ,, bölümleri ölçülür ve istenen mesafeyi hesaplamak için kullanılır: .

River Chart.svg

Üçgen ve yamuklarda paralel doğrular[değiştir | kaynağı değiştir]

Kesişme teoremi, belirli bir çizimin paralel doğru (bölümleri) sağladığını kanıtlamak için kullanılabilir.

İki üçgen kenarın orta noktaları birleştirilirse, ortaya çıkan doğru parçası üçüncü üçgen tarafına paraleldir (üçgenlerin orta nokta teoremi).

Triangle midpoints.svg

Bir yamuğun paralel olmayan iki kenarının orta noktaları birleştirilirse, ortaya çıkan çizgi parçası yamuğun diğer iki tarafına paraleldir.

Trapezoid midpoint.svg

Teoremin ispatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Thales teoreminin kanıtı; 25 nolu antropomorfik Neolitik stel, Sion MÖ 2500, Petit-Chasseur nekropolü (Prof. A. Gallay)[5]

Teoremin temel bir kanıtı, oranlarla ilgili temel ifadeleri türetmek için eşit alanlı üçgenler kullanır (iddia 1). Diğer iddialar daha sonra ilk iddia ve çelişkiyi uygulayarak takip eder.[6]

İddia 1[değiştir | kaynağı değiştir]

Intercept theorem proof 2.svg

olduğundan, ve yüksekliklerinin uzunluğu eşittir. Bu üçgenler aynı temel çizgiyi paylaştıkları için alanları aynıdır. Yani ve dolayısıyla 'dir. Buradan yola çıkarak;

ve

bulunur. Üçgen alan formülüne girilirse (), aşağıdaki ifadelere dönüşür:

ve

Ortak çarpanların sadeleştirilmesiyle;

(a) ve (b)

Şimdi ve (a) 'da yerine yazılırsa:

(b)'yi tekrar kullanmak, aşağıdakileri sadeleştirir:

(c)

İddia 2[değiştir | kaynağı değiştir]

Intercept theorem proof2.svg

A'dan 'ye ilave bir paralel çizin. Bu paralel G'de ile kesişiyor. O halde ve iddia 1'den dolayı ve bu nedenle,

İddia 3[değiştir | kaynağı değiştir]

Intercept Theorem - proof 3.svg

ve 'nin paralel olmadığını varsayın. Daha sonra ile arasındaki paralel çizgi içinde ile kesişir.

doğru olduğundan,

ve diğer yandan iddia 2'den

.

Yani ve , 'nin aynı tarafındalar ve ile aynı mesafeye sahipler, anlamına gelir. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla varsayım doğru olamazdı, yani ve gerçekten paraleldir

İddia 4[değiştir | kaynağı değiştir]

İddia 4, iki çizgi için kesişme teoremi uygulanarak gösterilebilir.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Thales'in hiçbir orijinal eseri hayatta kalmadı. Kesişme teoremini veya ilgili bilgiyi ona atfeden tüm tarihsel kaynaklar, ölümünden yüzyıllar sonra yazılmıştır. Diogenes Laertius ve Pliny, kesişme teoremi hakkında kesin konuşmak mümkün olmasa da, ancak yalnızca basit bir gözleme güvenebileceğini, yani günün belirli bir noktasında bir nesnenin gölgesinin uzunluğunun yüksekliğine uyacağını belirten bir açıklama verir. Laertius, filozof Hieronymus'un (MÖ 3. yüzyıl) Thales hakkında yaptığı bir açıklamadan alıntı yapıyor: Hieronymus, [Thales] piramitlerin yüksekliğini oluşturdukları gölgeyle ölçtüğünü ve kendi gölgemizin (yani kendi boyumuz olarak) aynı uzunlukta olduğu saatte gözlemi aldığını söylüyor.. Pliny şöyle yazıyor: Thales, piramitlerin ve diğer tüm benzer nesnelerin yüksekliğini, yani bir cisim ve gölgesinin eşit uzunlukta olduğu anda nesnenin gölgesini ölçerek keşfetti. Bununla birlikte Plutarch, Thales'in kesişme teoremini veya en azından bunun özel bir durumunu bildiğini önerebilecek bir açıklama verir: .. sorun olmadan veya herhangi bir aletin yardımı olmadan [o] sadece piramidin oluşturduğu gölgenin ucuna bir çubuk koydu ve böylece güneş ışınlarının kesişmesiyle iki üçgen yaptı, ... piramidin çubuğa, [piramidin] gölgesinin [çubuğun] gölgesine sahip olduğu aynı orana sahip olması gerektiğini gösterdi.. (Kaynak: MacTutor'un Thales biyografisi 9 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Plutarch ve Laertius'un (çevrilmiş) orijinal eserleri şunlardır: Moralia, The Dinner of the Seven Wise Men, 147A and Lives of Eminent Philosophers, Chapter 1. Thales, para.27 28 Ocak 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
  2. ^ Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round, Dover, s. 3, ISBN 0-486-42515-0 
  3. ^ Kunz, Ernst (1991). Algebra (Almanca). Vieweg. ss. 5–7. ISBN 3-528-07243-1. 
  4. ^ Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. ss. 7. ISBN 978-3-642-29163-0.  (Google Kitaplar'da online copy, s. 7,)
  5. ^ Ostermann Alexander, Wanner Gerhard (2012) Geometry by Its History: Thales and Pythagoras, Undergraduate Texts in Mathematics, s. 4, Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-29163-0_1
  6. ^ Schupp, H. (1977). Elementargeometrie (Almanca). UTB Schöningh. ss. 124–126. ISBN 3-506-99189-2. 

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]