Theodorus sarmalı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Theodorus'un hipotenüsüne sahip üçgene kadar olan sarmalı

Geometride, Theodorus Sarmalı (karekök sarmalı, Einstein sarmalı veya Pisagor sarmalı olarak da adlandırılır)[1], uç uca yerleştirilmiş dik üçgenlerden oluşan bir spiraldir. Adını, Cyreneli Theodorus'tan almıştır.

Çizimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Sarmal bir ikizkenar dik üçgenle başlar ve her kenar birim uzunluğa sahiptir. Başka bir dik üçgen oluşturulur, bir kenarı önceki üçgenin hipotenüsü (uzunluğu 2 olan) ve diğer kenarının uzunluğu 1 olan otomatik bir dik üçgen oluşturulur. Bu ikinci üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 3'tür. İşlem daha sonra benzer adımlarla tekrar eder. Dizideki nci üçgen, kenar uzunlukları n ve 1 olan ve hipotenüs n+1 olan bir dik üçgendir. Örneğin, 16. üçgenin kenarları 4 (= 16), 1 ve hipotenüs 17'dir.

Tarihçe ve kullanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Theodorus'un tüm çalışmaları kaybolmuş olsa da, Platon, Theodorus'a, çalışmalarını anlattığı Theaetetus'un diyaloğunda yer vermiştir. Theodorus'un Theodorus Sarmalı aracılığıyla 3'ten 17'ye kadar karesel olmayan tam sayıların tüm kareköklerinin irrasyonel olduğunu kanıtladığı varsayılmaktadır.[2]

Platon, 2'nin karekökünün irrasyonelliğini Theodorus'a atfetmez, çünkü ondan önce de iyi biliniyordu. Theodorus ve Theaetetus, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları farklı kategorilere ayırır.[3]

Hipotenüs[değiştir | kaynağı değiştir]

Üçgenlerin hipotenüsleri, hn, h1 = 2'ye karşılık gelen doğal sayı'nın karekök'ünü verir.

Theodorus tarafından eğitilen Platon, Theodorus'un neden 17'de durduğunu sorguladı. Bunun nedeninin, 17 hipotenüsünün şekil ile üst üste gelmeyen son üçgene ait olduğu düşünülmektedir.[4]

Üst üste gelme[değiştir | kaynağı değiştir]

1958'de Erich Teuffel, sarmal ne kadar devam ettirilirse ettirilsin, iki hipotenüsün asla çakışmayacağını kanıtladı. Ayrıca, birim uzunluğunun kenarları bir çizgiyle uzatılırsa, bunlar hiçbir zaman şeklin diğer köşelerinden biriyle kesişmez.[4][5]

Genişleme[değiştir | kaynağı değiştir]

Theodorus Sarmalı'nın renkli 110 üçgen ile genişletilmiş hali

Theodorus sarmalını hipotenüsü 17 olan üçgende durdurdu. Sarmal, sonsuz sayıda üçgenle devam ederse, daha birçok ilginç özellik bulunur.

Büyüme oranı[değiştir | kaynağı değiştir]

Açı[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer φn, nci üçgenin (veya spiral segmentinin) açısı ise, o zaman:

Bu nedenle, bir sonraki n üçgenin φn açısının büyümesi:[1]

olur. İlk k üçgenin açılarının toplamına, kıncı üçgen için toplam açı φ(k) denir. Sınırlı bir düzeltme terimi olan c2 ve knin karekökü ile orantılı olarak büyür:[1]

burada

'dir.

(OEISA105459).

Bir üçgen veya spiral kesiti

Yarıçap[değiştir | kaynağı değiştir]

Sarmal yarıçapının belirli bir n üçgeninde büyümesi;

'dir.

Arşimet sarmalı[değiştir | kaynağı değiştir]

Theodorus Sarmalı, Arşimet Sarmalı'na yakınsar.[1] Nasıl Arşimet sarmalının iki sargısı arasındaki mesafe, matematiksel sabit π'ye eşitse, Theodorus sarmalının dönüş sayısı sonsuza yaklaştıkça, ardışık iki sargı arasındaki mesafe hızla π'ye yaklaşır.[6]

Aşağıda, π'ye yaklaşan sarmalın iki sargısını gösteren bir tablo yer almaktadır:

Sargı No.: Hesaplanan ortalama sargı mesafesi π ile karşılaştırıldığında ortalama sargı mesafesinin doğruluğu
2 3.1592037 99.44255%
3 3.1443455 99.91245%
4 3.14428 99.91453%
5 3.142395 99.97447%
→ π → 100%

Görülebileceği gibi, yalnızca beşinci sargıdan sonra, mesafenin π'ye göre yaklaşıklığı %99,97'dir.[1]

Sürekli eğri[değiştir | kaynağı değiştir]

Davis'in orijinden zıt yönde genişleme dahil (negatif düğüm sayıları) Theodorus Sarmalının çözümsel uzanımı.

Theodorus sarmalının ayrık noktalarının düzgün bir eğri ile nasıl interpolasyon yapılacağı sorusu öne sürülmüş ve faktöriyel fonksiyonu için bir interpolant olarak gama fonksiyonu için Euler'in formülüne benzetilerek Davis 2001, ss. 37–38'de cevaplanmıştır. Philip J. Davis, öğrencisi Jeffery J. Leader[7] ve Arieh Iserles (ek olarak Davis 2001) tarafından daha ayrıntılı incelenen aşağıdaki fonksiyonu buldu;

Bu fonksiyonun aksiyomatik bir karakterizasyonu, Gronau 2004'te fonksiyonel denklemi karşılayan benzersiz fonksiyon olarak verilmiştir.

başlangıç koşulu ve hem bağımsız değişken (argüman) hem de modülde monotonluk; alternatif koşullar ve zayıflamalar da burada incelenir. Alternatif bir türetme, Heuvers, Moak & Boursaw 2000'de verilmiştir.

Davis'in orjine zıt yönde uzanan Theodorus Sarmalının sürekli formunun çözümsel uzanımı Waldvogel 2009'de verilmiştir.

Şekilde, orijinal (ayrık) Theodorus spiralinin düğümleri küçük yeşil daireler olarak gösterilmiştir. Mavi olanlar, spiralin ters yönünde eklenenlerdir.

Şekilde yalnızca kutupsal (polar) yarıçapının tam sayı değerine sahip düğümleri numaralandırılmıştır. Koordinat başlangıcındaki kesikli çizgi ile gösterilen çember, noktasındaki eğrilik çemberidir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b c d e Hahn, Harry K. "The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral". arXiv:0712.2184 $2. 
  2. ^ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One], Princeton University Press, s. 33, ISBN 0-691-02795-1 
  3. ^ Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, ss. 86–87. 
  4. ^ a b Long, Kate. "A Lesson on The Root Spiral". 27 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Nisan 2008. 
  5. ^ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semesterber. 6 (1958), ss. 148-152.
  6. ^ Hahn, Harry K. (2008). "The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the Square Root Spiral". arXiv:0801.4422 $2. 
  7. ^ Leader, J.J. The Generalized Theodorus Iteration (tez), 1990, Brown University

İlave okumalar[değiştir | kaynağı değiştir]