Tam sayı: Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at

[kontrol edilmiş revizyon]

← Önceki sürümle aradaki fark Sonraki sürümle aradaki fark →

İçerik silindi İçerik eklendi

GörselVikimetin

Satır içi

Sayfanın 19.41, 25 Şubat 2024 tarihindeki hâli

Tam sayılar,^[1] sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar (1, 2, 3, …) ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan (−1, −2, −3, …) oluşan sayı kümesidir.^[2]

Tüm tam sayıların oluşturduğu küme, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Z veya karatahta vurgusu kullanılarak $\mathbb {Z}$ şeklinde ifade edilir.^[3]^[4] Z harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünden gelir.

Doğal sayılar kümesi $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olarak tanımlanır. Bu tam sayılar kümesi, ardından tüm rasyonel sayılar kümesi $\mathbb {Q}$ ’nun ve bu küme de reel sayılar kümesi $\mathbb {R}$ ’nin bir alt kümesi olarak sıralanır.^[a] Doğal sayılar kümesine benzer biçimde, $\mathbb {Z}$ tam sayılar kümesi de sayılabilir sonsuzluk özelliği gösterir. Tam sayı kavramı, kesirli bir kısmı bulunmayan ve böylelikle doğrudan reel sayı olarak ifade edilebilen sayılar için kullanılır.^[b] Mesela, 21, 4, 0 ve -2048 tam sayılardır; buna karşın 9.75, 5 1/2 ve $\sqrt 2$ tam sayı olarak değerlendirilmez.^[5]

Doğal sayı kümelerini kapsayan yapılar içerisinde, tam sayılar hem en minimal grup hem de en minimal halka yapısını teşkil ederler. Cebirsel sayı teorisi alanında, tam sayılar zaman zaman, onları daha geniş bir kapsamda ele alınan cebirsel tam sayılar ile karıştırmamak adına rasyonel tam sayılar olarak özel bir şekilde tanımlanır. Gerçekte, rasyonel olarak ifade edilen tam sayılar, hem cebirsel tam sayı özelliklerini taşır hem de rasyonel sayılar kategorisinde değerlendirilirler.

Tarihçe

İlk Türkçe tam sayı teriminin kullanımlarından biri 1955'e dayanır.^[6]

Tarih boyunca tam sayı terimi, 1'in katları olan sayılar için^[7]^[8] veya tam sayılı kesirlerin tam kısımlarını ifade etmek için kullanılmıştır.^[9]^[10] Başlangıçta yalnızca pozitif tam sayılar ele alınmış ve bu durum, terimin doğal sayılarla eşanlamlı hale gelmesine yol açmıştır. Tam sayı kavramının tanımı, negatif sayıların faydasının zamanla kabul edilmesiyle genişletilmiş ve bu sayılar da tanımın içine dahil edilmiştir.^[11] Örneğin, Leonhard Euler, 1765 tarihli Cebirin Unsurları adlı çalışmasında tam sayıları, hem pozitif hem de negatif sayıları içerecek biçimde tanımlamıştır.^[12] Bununla birlikte, Avrupalı matematikçilerin büyük bir kısmı 19. yüzyılın ortalarına kadar negatif sayılar konseptine karşı direnç göstermiştir.^[11]

Tam sayılar kümesini temsil etmek üzere 'Z' harfinin tercih edilmesi, Almanca'da "sayılar" anlamına gelen Zahlen kelimesinden kaynaklanmaktadır^[3]^[4] ve bu bağlamda David Hilbert ile ilişkilendirilir.^[13] Bu notasyonun ders kitaplarında ilk defa kullanıldığı bilinen örnek, 1947 yılında Nicolas Bourbaki grubu tarafından kaleme alınan Algébre isimli eserde yer almaktadır.^[3]^[14] Notasyonun benimsenmesi hemen gerçekleşmemiştir; mesela, bir başka ders kitabında 'J' harfi kullanılmış^[15] ve 1960 yılında yayımlanan bir makalede 'Z', yalnızca sıfır ve pozitif tam sayıları ifade etmek amacıyla tercih edilmiştir.^[16] Ancak 1961 itibarıyla, modern cebir metinleri genel olarak 'Z' harfini, hem pozitif hem de negatif tam sayıları kapsayacak şekilde kullanmaya başlamışlardır.^[17]

$\mathbb {Z}$ sembolü, çeşitli kümeleri tanımlamak amacıyla farklı yazarların tercihlerine göre değişken notasyonlar ile sıklıkla sembolize edilir: Pozitif tam sayılar için $\mathbb {Z} ^{+}$ , $\mathbb {Z} +$ veya $\mathbb {Z} ^{>}$ kullanılırken, sıfır ve pozitif tam sayılar için $\mathbb {Z} ^{0+}$ veya $\mathbb {Z} ^{\geq }$ , ve sıfır olmayan tam sayılar için $\mathbb {Z} ^{\neq }$ tercih edilir. Bazı yazarlar, sıfır olmayan tam sayılar için $\mathbb {Z} ^{*}$ kullanırken, diğerleri bu notasyonu sıfır ve pozitif tam sayılar için veya $\mathbb {Z}$ 'nin birimler grubunu (İng. unit (ring theory)) ifade eden ${-1, 1}$ için kullanmaktadır. Ek olarak, $\mathbb {Z} _{p}$ notasyonu, ya modüler $p$ tam sayılarını (yani, tam sayıların denklik sınıflarını) ya da $p$ -adik tam sayılarını tanımlamak için kullanılır.^[18]^[19]

1950'lerin başlarına dek, bütün sayılar ile tam sayılar arasında bir eşanlamlılık söz konusuydu.^[20]^[21]^[22] 1950'lerin sonlarına doğru, New Math hareketinin bir unsuru olarak,^[23] Amerikan ilkokul öğretmenleri "bütün sayılar" (İng. whole numbers) teriminin, negatif sayıları dışlayarak yalnızca doğal sayıları kapsadığını, "tam sayı" teriminin ise negatif sayıları da içerecek şekilde genişletildiğini derslerinde işlemeye başladılar.^[24]^[25] "Bütün sayı" kavramı (İng. whole numbers), günümüzde hala belirsizliğini sürdürmektedir.^[26]

Cebirsel özellikler

Tam sayılar, teorik olarak sonsuz bir uzunluğa sahip olan sayı doğrusu üzerinde, birbirinden eşit mesafelerle ayrılmış, ayrık noktalar şeklinde tasavvur edilebilirler. İlgili gösterimde, negatif olmayan tam sayı kümeleri mavi renkle temsil edilmiş olup, negatif değerli tam sayılar ise kırmızı renk ile ifade edilmiştir.

Doğal sayılar kümesi gibi, $\mathbb {Z}$ kümesi de toplama ve çarpma gibi ikili işlemler bakımından kapalı bir yapıya sahiptir; bu, herhangi iki tam sayının toplamının ve çarpımının yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir. Bununla birlikte, negatif doğal sayıların ve özellikle 0'ın dahil edilmesi ile $\mathbb {Z}$ , doğal sayılar kümesinden farklı olarak, çıkarma işlemine yönelik de kapalı bir karakter gösterir.^[27]

Tam sayılar kümesi, her bir birimli halka yapısı için, bu yapılara doğru tam sayılardan tekil bir halka homomorfizmasının (İng. ring homomorphism) tesis edilebildiği, temel bir birimli halka olarak işlev görür. Bu evrensel özellik (İng. universal property), özgül olarak halkaların kategorisi içerisinde bir başlangıç objesi (İng. initial object) olarak tanımlanabilirlik, $\mathbb {Z}$ halkasının ayırt edici niteliğini belirler.

$\mathbb {Z}$ kümesi, iki tam sayının birbirine bölünmesi işlemi (örnek olarak, 1 sayısının 2 sayısına bölünmesi durumu gösterilebilir) neticesinde her defasında tam sayı elde edilmeyebileceğinden, bölme işlemi açısından kapalı bir yapı sergilemez. Doğal sayılar kümesi, üs alma işlemine göre kapalılık özelliğine sahipken, tam sayılar kümesi bu özelliği taşımamaktadır; zira üssün negatif değer alması halinde, sonuç kesirli bir sayıya dönüşebilir.

Aşağıdaki tablo, herhangi bir $a$ , $b$ ve $c$ tam sayısı için toplama ve çarpma işlemlerinin bazı temel özelliklerini listelemektedir:

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri
	Toplama	Çarpma
Kapalılık:	$a + b$ bir tamsayıdır	$a \times b$ bir tamsayıdır
Birleşme:	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
Değişme:	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
Etkisiz elemanın varlığı:	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
Ters elemanların varlığı:	$a + (- a) = 0$	Tersinir tam sayılar ( $-1$ ve $1$ olarak adlandırılan birimler) dışında tersi olan tam sayı yoktur.
Dağılma:	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ ve $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$
Sıfır bölensiz:		Eğer $a \times b = 0$ , o zaman $a = 0$ veya $b = 0$ (veya her ikisi)

Toplama işlemi çerçevesinde, $\mathbb {Z}$ kümesine ilişkin olarak sıralanan başlıca beş özelliğin tanımladığı yapı, bu kümenin bir abelyen grup olduğunu ifade eder. Bu küme, her biri sıfırdan farklı olan tam sayıların, sonlu bir 1 + 1 + ... + 1 veya (−1) + (−1) + ... + (−1) şeklindeki toplamları ile ifade edilebilirliği dolayısıyla, aynı zamanda bir devirli grup özelliği taşır (İng. cyclic group). Gerçekte, toplama işlemi altında $\mathbb {Z}$ , herhangi bir sonsuz devirli grubun, $\mathbb {Z}$ ile eşyapı grubu olduğu bağlamda, tek sonsuz devirli gruptur.

Çarpma işlemine ilişkin olarak sıralanan ilk dört özelliğin tanımı, $\mathbb {Z}$ kümesinin çarpma altında bir değişmeli monoid yapısına sahip olduğunu gösterir. Ancak, 2 sayısının örneğinde olduğu gibi, her tam sayının çarpmaya ilişkin bir çarpımsal tersi bulunmamaktadır, bu durum $\mathbb {Z}$ kümesinin çarpma işlemi bağlamında bir grup oluşturmadığını ifade eder.

Yukarıda sunulan özellikler cetvelinden (en sonuncu dışında) elde edilen kuralların tümü, toplama ve çarpma işlemleriyle bir arada $\mathbb {Z}$ kümesinin, birimli değişmeli halka olarak tanımlandığını ortaya koyar. Bu yapı, benzer cebirsel yapılara ait nesnelerin ilk örneğidir. $\mathbb {Z}$ içerisinde, değişkenlerin her bir değeri için gerçek olan, yalnızca herhangi bir birimli değişmeli halkada doğru kabul edilen eşitlikler ve ifadeler geçerlidir. Bazı sıfır olmayan tamsayılar, çeşitli halkalarda sıfır değerine karşılık gelir.

Tamsayılar kümesinde sıfır bölensizlerin bulunmaması (özellikler tablosundaki son özellik), değişmeli halka $\mathbb {Z}$ 'nin, bir tamlık bölgesi olarak nitelendirilebileceğini gösterir.

Çarpmaya ilişkin ters elemanların eksikliği, bu durumun $\mathbb {Z}$ kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığı gerçeği ile eşdeğer olduğundan, $\mathbb {Z}$ 'nin bir alan olarak tanımlanamayacağı anlamına gelir. Tam sayıları bir althalka olarak barındıran en küçük alan yapı, rasyonel sayılar alanıdır. Tam sayılar kümesinden rasyonel sayılar kümesinin türetilmesi süreci, herhangi bir tamlık bölgesi için kesirler cisminin (İng. field of fractions) oluşturulması amacıyla modellenebilir. Ayrıca, bir cebirsel sayı alanından (rasyonel sayılara bir uzantı olarak) başlanarak, içerisinde $\mathbb {Z}$ kümesini de barındıran tam sayılar halkası (İng. ring of integers) elde edilebilir.

Her ne kadar $\mathbb {Z}$ üzerinde geleneksel bölme işlemi tanımlanmamış olsa da, "kalan ile bölme" işlemi bu küme üzerinde tanımlanabilir. Bu işleme, Öklid bölmesi adı verilir ve şu kritik özelliği taşır: $b \neq 0$ koşulunu sağlayan herhangi $a$ ve $b$ tam sayı çifti için, $a = q \times b + r$ ve $0 \leq r < | b |$ ilişkilerini sağlayan benzersiz $q$ ve $r$ tams ayıları mevcuttur; burada $| b |$ , $b$ sayısının mutlak değerini ifade eder. Bu bağlamda, $q$ tam sayısı bölüm, $r$ ise $a$ ile $b$ 'nin bölünmesi sonucu elde edilen kalan olarak isimlendirilir. En büyük ortak bölenlerin belirlenmesi sürecinde kullanılan Öklid algoritması, ardışık Öklid bölme işlemlerine dayanır.

İlgili metin, $\mathbb {Z}$ kümesinin bir Öklid bölgesi (İng. Euclidean domain) olarak tanımlandığını belirtmektedir. Bu durum, aynı zamanda $\mathbb {Z}$ 'nin bir esas ideal bölgesi (İng. principal ideal domain) olduğunu gösterir ve her pozitif tam sayının, asal sayıların çarpımı şeklinde özünde benzersiz (İng. essentially unique) bir biçimde ifade edilebileceğini ima eder.^[28] Bu durum, aritmetiğin temel teoremi olarak bilinir.

Sıralama teorisine ilişkin özellikler

$\mathbb {Z}$ , herhangi bir tam sıralama özelliği gösteren, fakat ne üst ne de alt sınır içeren bir kümedir. $\mathbb {Z}$ kümesinin sıralama ilişkisi aşağıdaki gibi ifade edilir: $:... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...$ Bir tam sayının sıfır değerinden büyük olması durumunda pozitif, sıfırdan küçük olması durumunda ise negatif olarak nitelendirilir. Sıfır değeri, ne negatif ne de pozitif olarak nitelendirilebilir.

Tam sayılar arasındaki sıralama ilişkisi, cebirsel işlemlerle aşağıdaki biçimde uyum içindedir:

$a < b$ ve $c < d$ olduğunda, $a + c < b + d$ sonucu elde edilir. $a < b$ ve $0 < c$ olduğunda, $ac < bc$ eşitsizliği geçerlidir.

Bunun sonucu olarak, $\mathbb {Z}$ üzerinde tanımlanan bu sıralama ile birlikte, bir sıralı halka yapısını oluşturur.

Tam sayılar, pozitif elemanları iyi sıralı olan tek ciddi tam sıralı Abel grubudur.^[29] Bu, herhangi bir Noetherian halka değerleme halkasına (İng. valuation ring) ya bir cisim—ya da ayrık değerleme halkası (İng. discrete valuation ring) olduğu ifadesine eşdeğerdir.

Tanımlama

Geleneksel tanımlama

Temel eğitim süreçlerinde, tam sayı kavramı, genellikle pozitif doğal sayılar kümesi, sıfır ve doğal sayıların negatif karşılıklarının birleşimi olarak sezgisel bir yaklaşımla tanımlanmaktadır. Bu tanım, formal bir yapıya kavuşturulabilir:^[30] başlangıçta, Peano aksiyomları temel alınarak $N$ doğal sayılar kümesi inşa edilir. Ardından, $N$ kümesi ile her elemanı arasında birebir eşleme bulunan ve $N$ kümesinden ayrık bir $N^{-}$ kümesi tanımlanır. Bu bağlamda, $N^{-}$ kümesi için, örneğin, $\psi$ eşlemesi $n\mapsto (1,n)$ olacak şekilde $(1,n)$ formundaki sıralı çiftler seçilebilir. Son adımda, 0 elemanı, ne $N$ kümesinde ne de $N^{-}$ kümesinde yer almayacak şekilde, örneğin $(0,0)$ sıralı çifti olarak belirlenir. Böylelikle, tam sayılar kümesi, $N\cup N^{-}\cup {0}$ birleşimi ile tanımlanmış olur.

Geleneksel aritmetik işlemleri, tam sayılar kümesi üzerinde, pozitif sayılar, negatif sayılar ve sıfır olmak üzere, parçalı fonksiyonlar yardımıyla tanımlanabilir. Mesela, negasyon işlemi şu şekilde ifade edilir:

-x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{eğer }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{eğer }}x\in P^{-}\\0,&{\text{eğer }}x=0\end{cases}}

Geleneksel tanımlama yöntemi, çeşitlilik arz eden durumların ortaya çıkmasına neden olur (her aritmetik işlemin, tam sayı türlerinin her birinin kombinasyonları üzerine tanımlanması gereklidir) ve tam sayıların aritmetik yasalarına olan uyumunun ispatı sürecini oldukça yorucu bir hale getirir.^[31]

Sıralı ikili dizilerin eşdeğerlilik sınıfları

Çağdaş küme teorisine dayalı matematikte, aritmetik işlemilerin herhangi bir özgül durum ayrımına gerek kalmadan tanımlanabilmesine imkan veren daha soyut bir yapı tercih edilmektedir.^[32]^[33]^[34] Bu bağlamda, tam sayılar, doğal sayılardan oluşturulan sıralı ikili çiftlerin denklik sınıfları olarak formel bir biçimde kurulabilir $(a, b)$ .^[35]

Sezgisel olarak, $(a, b)$ ifadesi, $b$ 'nin $a$ 'dan çıkarılması sonucunu temsil eder.^[35] 1 − 2 ile 4 − 5 gösterimlerinin aynı sayısal değeri temsil ettiği öngörümüzü teyit etmek amacıyla, bu ikili diziler üzerinde belirli bir kural çerçevesinde bir denklik ilişkisi $~$ tanımlamaktayız:

(a,b)\sim (c,d)

yalnızca ve yalnızca

a+d=b+c.

Tam sayılar üzerinde gerçekleştirilen toplama ve çarpım işlemleri, doğal sayılara uygulanan benzer işlemler temel alınarak tanımlanabilir;^[35] $[(a, b)]$ gösterimi, içerisinde $(a, b)$ ögesini barındıran denklik sınıfını ifade etmek için kullanılır ve bu durumda işlemler şu şekilde ifade edilir:

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].

Bir tam sayının negatif değeri (veya toplamsal ters öge), ilgili ikilinin elemanlarının yer değiştirilmesiyle elde edilir:

-[(a,b)]:=[(b,a)].

Dolayısıyla, çıkartma işlemi, toplamsal ters ögenin eklenmesi şeklinde tanımlanabilir:

[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].

Tam sayılara ilişkin standart sıralama kuralı aşağıdaki gibi ifade edilir:

[(a,b)]<[(c,d)]

ancak ve ancak

a+d<b+c.

Arşiv

Pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür. Negatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür. En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir.

Pozitif tam sayılar Z⁺ şeklinde, negatif tam sayılar ise Z^- şeklinde gösterilir. Tam sayılar kümesi şu şekilde ifade edilir:

Z⁺ + Z^- + {0}

Sıfır (0) sayısı ne pozitif ne de negatiftir, yani nötrdür.

Mutlak değer, sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder. Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değere eşittir. Mutlak değer içindeki her sayı, mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar.

Tam sayılar, doğal sayıların bir genişlemesidir. Her doğal sayının "-1" denen yeni bir ögeyle çarpılarak kümeye katılması olarak düşünülebilir. Tabi daha ayrıntılı olarak, doğal sayılar kümesinin kartezyen çarpımı üzerine tanımlanacak ve bir önceki cümlenin işlevini görecek bir denklik bağıntısı bize tam sayıları inşâ edecek.

$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ kümesinden seçtiğimiz (a, b) ve (c, d) ögeleri için "~" (tilda) bağıntısı,

(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c

şeklinde tanımlansın (a+d=b+c dememizin nedeni sezgisel olarak a-b=c-d durumunu oluşturmaktır). Bu bağıntının denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. Bu durumda bu bağıntının denklik sınıfları bizim tam sayılar diyeceğimiz ögeler olarak düşünülecektir. Her bir denklik sınıfı temsilcisini,

{\overline {(a,b)}}=[a,b]=\{(a,b)\,|\,(a,b)\sim (c,d)\}=\{(a,b)\,|\,a+d=b+c\}

olarak tanımlamış oluruz. Aslında [a, b] diye temsil ettiğimiz öge

[a,b]\equiv [a+1,b+1]\equiv \cdots \equiv [a+k,b+k]

şeklindedir. Aşağıda toplama ve çarpmayı işlerken bu, daha iyi anlaşılabilecektir.

Bu noktada; bizim normalde, a ve b doğal sayı olmak üzere a-b diye bildiğimiz tam sayı, aslında [a, b] kümesi olduğu görülebilir.

a-b\equiv [a,b]

Yâni bu bağıntının bize "eksi" (negatif) kavramını ifade ettiği söylenebilir. O halde, tam sayılar kümesi aşağıdaki bölüm kümesidir:

\mathbb {Z} =(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )/\sim

Öyle ki $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ kümesi bir halka oluşturur.

İşlem Önceliği

Çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır. Parantez varsa da önce parantez içindeki işlem yapılır. Eğer parantez yoksa başta olan bölme ya da çarpma yapılır

a:b.c=a/b.c
a.c:b=a.c/b

Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yaparken sayıların işaretlerine göre hareket edeceğiz. Aynı işaretli tam sayılar toplanırken çoğalır yani fazlalaşır işaretleri aynı kalır.

(-25)+(-12)=-25-12=-37 buradaki işaret değişmedi.

(+25)+(+12)=+25+12=+37 buradaki işaret değişmedi.

Farklı işaretli tam sayılar toplanırken büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır. Mutlak değerce büyük sayının işareti sonucun işareti olur.

(-25)+(+12)=-25+12=-13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+25)+(-12)=+25-12=+13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

Aynı işaretli tam sayılar çıkarılırken birinci sayıyı aynen yazıyoruz ikinci sayının işaretini değiştiriyoruz. Bu iki sayı birbirinden çıkartılıp işaret ise mutlak değerce büyük sayının işareti olur.

(-25)-(-12)=-25+12=-13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+25)-(+12)=+25-12=+13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+2)-(+4)=+2-4=-2 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(-18)-(-58)=-18+58=+40 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

Farklı işaretli tam sayılar çıkarılırken birinci sayıyı aynen yazıyoruz ikinci sayının işaretini değiştiriyoruz. Bu iki sayıyı birbiri ile topluyoruz işaret ise aynı işaret oluyor.

(-25)-(+12)= -25-12=-37  buradaki işaret değişmedi.

(+25)-(-12)= +25+12=+37  buradaki işaret değişmedi.

(-30)-(+40)= -30-40=-70 buradaki işaret değişmedi.

(+11)-(-12)= +11+12=+23 buradaki işaret değişmedi.

Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken:

Aynı işaretli sayıların çarpılması aynen çarpılır ve işaretleri hep pozitif olur.

(-25)x(-4)=+100

(+25)x(+4)=+100

Farklı işaretli sayıların çarpılması aynen çarpılır ve işaretleri hep negatif olur.

(-25)x(+4)=-100

(+25)x(-4)=-100

Tam sayılarla bölme işlemi yaparken:

Aynı işaretli sayıların bölünmesi aynen bölünür ve işaretleri hep pozitif olur.

(-20):(-4)=+5

(+20):(+4)=+5

Farklı işaretli sayıların bölünmesi aynen bölünür ve işaretleri hep negatif olur.

(-20):(+4)=-5

(+20):(-4)=-5

Tam sayılarda işlemlerin sayı doğrusunda gösterilmesi

Eklenen sayı pozitifse sağa doğru, eklenen sayı negatifse sola doğru ilerlenir. (-15) + (+8) = -7

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Doğru cevap B şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir, çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir. (+6)-(+3)=+3

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir, çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir. (-6)-(-10)=+4

Örnek:

(-12)+(-4)-(-8)+(+5)+(-1)

=(-12)+(-4)+(+8)+(+5)+(-1)

=(-17)+(+13)

=(-4)

Çarpma

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken aynı işaretli sayıların çarpımı pozitif, zıt işaretli sayıların çarpımı ise negatiftir. Bölme işleminde de aynı çarpma kuralı uygulanır ve sayı aynı doğal sayılarda olduğu gibi bölünür. Aynı işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde sonuç pozitif, zıt işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde ise sonuç negatiftir. Tam sayıların sıfıra bölümü tanımsızdır. Sıfırın tam sayılara bölümünde elde edilen sonuç ise sıfırdır.

Tam sayılarda çarpma işlemi doğal sayılardaki çarpmayla aynı özellikleri gösterir. Çarpma işlemi, " $\cdot$ " imiyle gösterilir, ancak $a\cdot b$ yazmak yerine doğrudan ab yazmak daha doğrudur. Bu maddede de öyle yapacağız.

Herhangi a, b, c tam sayıları için,

a1=a (birim öge)
ab=ba (değişme)
a(bc)=(ab)c (birleşme)

özellikleri sağlanır. Tam sayılarda çarpmaya göre ters öğe yoktur.

Ayrıca toplama ile çarpmanın birbirleriyle olan ilişkisini gösteren dağılma özelliği de vardır:

a(b+c)=ab+ac (çarpmanın toplama üzerine dağılma ya da kısaca soldan dağılma özelliği)
(a+b)c=ac+bc (toplamanın çarpma üzerine dağılma ya da kısaca sağdan dağılma özelliği)

Toplamayla birlikte bu iki işlem tam sayıları değişmeli halka yapar.

Bölme

Bölme özünde çarpmanın tersidir. Tam sayılarda bölme, her sayı için tanımlanmamıştır. Bu yüzden bölüm her zaman tam sayılar kümesinin bir ögesi olmayabilir.

Örnek: (+15):(-3)=(-5), (-5) Z elemanıdır

 (+7):(-3)=(-7/3), (-7/3)  Z elemanı değildir

Not listesi

^ Her bir sayı sistemi, bir sonraki sayı sistemine izomorfik bir şekilde eşlenerek ve bu sistem içerisinde gömülü bir alt küme oluşturarak daha kesin bir yapılandırma sunar.
^ Kesirsiz ve ondalıksız sayıların tamamı tam sayılardır.

Kaynakça

^ "Türkçe Sözlük Ara-Bul". www.dildernegi.org.tr. 26 Nisan 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Ekim 2023.
^ Science and Technology Encyclopedia (İngilizce). University of Chicago Press. September 2000. s. 280. ISBN 978-0-226-74267-0.
^ ^a ^b ^c Miller, Jeff (29 Ağustos 2010). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". 31 Ocak 2010 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Eylül 2010.
^ ^a ^b Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. s. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. 8 Aralık 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 15 Şubat 2016.
^ Prep, Kaplan Test (4 Haziran 2019). GMAT Complete 2020: The Ultimate in Comprehensive Self-Study for GMAT (İngilizce). Simon and Schuster. ISBN 978-1-5062-4844-8.
^ "On The Bloch-Landau Constants". Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A1 Mathematics and Statistics. Ankara Üniversitesi. 24 Şubat 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Şubat 2024. pozitif tam sayı, ile gösterilen iç açıları 33. harf sırasında bulunan |alıntı= parametresi line feed character içeriyor (yardım)
^ Smedley, Edward; Rose, Hugh James; Rose, Henry John (1845). Encyclopædia Metropolitana (İngilizce). B. Fellowes. s. 537. An integer is a multiple of unity
^ Encyclopaedia Britannica 1771, s. 367
^ Pisano, Leonardo; Boncompagni, Baldassarre (transliteration) (1202). Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij [The Book of Calculation] (Latince). Sigler, Laurence E. tarafından çevrildi. Museo Galileo. s. 30. Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant.
^ Encyclopaedia Britannica 1771, s. 83
^ ^a ^b Martinez, Alberto (2014). Negative Math. Princeton University Press. ss. 80-109.
^ Euler, Leonhard (1771). Vollstandige Anleitung Zur Algebra [Complete Introduction to Algebra] (Almanca). 1. s. 10. Alle diese Zahlen, so wohl positive als negative, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden.
^ The University of Leeds Review (İngilizce). 31-32. University of Leeds. 1989. s. 46. Incidentally, Z comes from "Zahl": the notation was created by Hilbert.
^ Bourbaki, Nicolas (1951). Algèbre, Chapter 1. 2nd (Fransızca). Paris: Hermann. s. 27. Le symétrisé de N se note Z; ses éléments sont appelés entiers rationnels.
^ Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory. Revised. American Mathematical Society. s. 63. the set J of all integers
^ Society, Canadian Mathematical (1960). Canadian Journal of Mathematics (İngilizce). Canadian Mathematical Society. s. 374. Consider the set Z of non-negative integers
^ Bezuszka, Stanley (1961). Contemporary Progress in Mathematics: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2 (İngilizce). Boston College. s. 69. Modern Algebra texts generally designate the set of integers by the capital letter Z.
^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008
^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
^ Mathews, George Ballard (1892). Theory of Numbers (İngilizce). Deighton, Bell and Company. s. 2.
^ Betz, William (1934). Junior Mathematics for Today (İngilizce). Ginn. The whole numbers, or integers, when arranged in their natural order, such as 1, 2, 3, are called consecutive integers.
^ Peck, Lyman C. (1950). Elements of Algebra (İngilizce). McGraw-Hill. s. 3. The numbers which so arise are called positive whole numbers, or positive integers.
^ Hayden, Robert (1981). A history of the "new math" movement in the United States (PhD). Iowa State University. s. 145. doi:10.31274/rtd-180813-5631. A much more influential force in bringing news of the "new math" to high school teachers and administrators was the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Geçersiz |doi-access=free (yardım)
^ The Growth of Mathematical Ideas, Grades K-12: 24th Yearbook (İngilizce). National Council of Teachers of Mathematics. 1959. s. 14. ISBN 9780608166186.
^ Deans, Edwina (1963). Elementary School Mathematics: New Directions (İngilizce). U.S. Department of Health, Education, and Welfare, Office of Education. s. 42.
^ "entry: whole number". The American Heritage Dictionary. HarperCollins.
^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; Brittanica_2020 isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
^ Lang, Serge (1993). Algebra (3rd bas.). Addison-Wesley. ss. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. 2015-09-06 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-04-29.
^ Mendelson, Elliott (1985). Number systems and the foundations of analysis. Malabar, Fla. : R.E. Krieger Pub. Co. s. 153. ISBN 978-0-89874-818-5.
^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. s. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. 2016-12-08 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2016-02-15.
^ Ivorra Castillo: Álgebra
^ Kramer, Jürg; von Pippich, Anna-Maria (2017). From Natural Numbers to Quaternions (İngilizce) (1st bas.). Switzerland: Springer Cham. ss. 78–81. doi:10.1007/978-3-319-69429-0. ISBN 978-3-319-69427-6.
^ Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. s. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. 2016-12-08 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2016-02-15.
^ ^a ^b ^c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. s. 83. ISBN 978-0-390-16895-5. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

Ayrıca bakınız

Sayı sistemleri

Karmaşık

:\;\mathbb {C}

Reel

:\;\mathbb {R}

Rasyonel

:\;\mathbb {Q}

Tam sayı

:\;\mathbb {Z}

Doğal

:\;\mathbb {N}

Sıfır: 0

Bir: 1

Sonlu ondalık sayı
İkili (sonlu ikili)
Devirli ondalık sayı

[5] Her bir sayı sistemi, bir sonraki sayı sistemine izomorfik bir şekilde eşlenerek ve bu sistem içerisinde gömülü bir alt küme oluşturarak daha kesin bir yapılandırma sunar.

[6] Kesirsiz ve ondalıksız sayıların tamamı tam sayılardır.

[Sozluk_2023-1] "Türkçe Sözlük Ara-Bul". www.dildernegi.org.tr. 26 Nisan 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Ekim 2023.

[Chicago_Press_2000-2] Science and Technology Encyclopedia (İngilizce). University of Chicago Press. September 2000. s. 280. ISBN 978-0-226-74267-0.

[earliest-3] Miller, Jeff (29 Ağustos 2010). "Earliest Uses of Symbols of Number Theory". 31 Ocak 2010 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Eylül 2010.

[Cameron1998-4] Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. s. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. 8 Aralık 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 15 Şubat 2016.

[Prep_2019-7] Prep, Kaplan Test (4 Haziran 2019). GMAT Complete 2020: The Ultimate in Comprehensive Self-Study for GMAT (İngilizce). Simon and Schuster. ISBN 978-1-5062-4844-8.

[Ulucay_1955-8] "On The Bloch-Landau Constants". Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A1 Mathematics and Statistics. Ankara Üniversitesi. 24 Şubat 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Şubat 2024. pozitif tam sayı, ile gösterilen iç açıları 33. harf sırasında bulunan |alıntı= parametresi line feed character içeriyor (yardım)

[Smedley_1845-9] Smedley, Edward; Rose, Hugh James; Rose, Henry John (1845). Encyclopædia Metropolitana (İngilizce). B. Fellowes. s. 537. An integer is a multiple of unity

[10] Encyclopaedia Britannica 1771, s. 367

[Pisano_1202-11] Pisano, Leonardo; Boncompagni, Baldassarre (transliteration) (1202). Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij [The Book of Calculation] (Latince). Sigler, Laurence E. tarafından çevrildi. Museo Galileo. s. 30. Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant.

[12] Encyclopaedia Britannica 1771, s. 83

[negmath-13] Martinez, Alberto (2014). Negative Math. Princeton University Press. ss. 80-109.

[Euler_1771-14] Euler, Leonhard (1771). Vollstandige Anleitung Zur Algebra [Complete Introduction to Algebra] (Almanca). 1. s. 10. Alle diese Zahlen, so wohl positive als negative, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden.

[Leeds_1989-15] The University of Leeds Review (İngilizce). 31-32. University of Leeds. 1989. s. 46. Incidentally, Z comes from "Zahl": the notation was created by Hilbert.

[Bourbaki_1951-16] Bourbaki, Nicolas (1951). Algèbre, Chapter 1. 2nd (Fransızca). Paris: Hermann. s. 27. Le symétrisé de N se note Z; ses éléments sont appelés entiers rationnels.

[Birkhoff_1948-17] Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory. Revised. American Mathematical Society. s. 63. the set J of all integers

[Society_1960-18] Society, Canadian Mathematical (1960). Canadian Journal of Mathematics (İngilizce). Canadian Mathematical Society. s. 374. Consider the set Z of non-negative integers

[Bezuszka_1961-19] Bezuszka, Stanley (1961). Contemporary Progress in Mathematics: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2 (İngilizce). Boston College. s. 69. Modern Algebra texts generally designate the set of integers by the capital letter Z.

[edexcelc1-20] Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008

[21] LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.

[Mathews_1892-22] Mathews, George Ballard (1892). Theory of Numbers (İngilizce). Deighton, Bell and Company. s. 2.

[Betz_1934-23] Betz, William (1934). Junior Mathematics for Today (İngilizce). Ginn. The whole numbers, or integers, when arranged in their natural order, such as 1, 2, 3, are called consecutive integers.

[Peck_1950-24] Peck, Lyman C. (1950). Elements of Algebra (İngilizce). McGraw-Hill. s. 3. The numbers which so arise are called positive whole numbers, or positive integers.

[Hayden_1981-25] Hayden, Robert (1981). A history of the "new math" movement in the United States (PhD). Iowa State University. s. 145. doi:10.31274/rtd-180813-5631. A much more influential force in bringing news of the "new math" to high school teachers and administrators was the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Geçersiz |doi-access=free (yardım)

[NCTM_1959-26] The Growth of Mathematical Ideas, Grades K-12: 24th Yearbook (İngilizce). National Council of Teachers of Mathematics. 1959. s. 14. ISBN 9780608166186.

[Deans_1963-27] Deans, Edwina (1963). Elementary School Mathematics: New Directions (İngilizce). U.S. Department of Health, Education, and Welfare, Office of Education. s. 42.

[HarperCollins-28] "entry: whole number". The American Heritage Dictionary. HarperCollins.

[Brittanica_2020-29] Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; Brittanica_2020 isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)

[Lang_1993-30] Lang, Serge (1993). Algebra (3rd bas.). Addison-Wesley. ss. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.

[Warner_2012-31] Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. 2015-09-06 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2015-04-29.

[Mendelson_1985-32] Mendelson, Elliott (1985). Number systems and the foundations of analysis. Malabar, Fla. : R.E. Krieger Pub. Co. s. 153. ISBN 978-0-89874-818-5.

[Mendelson_2008-33] Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. s. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. 2016-12-08 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2016-02-15.

[34] Ivorra Castillo: Álgebra

[Kramer_2017-35] Kramer, Jürg; von Pippich, Anna-Maria (2017). From Natural Numbers to Quaternions (İngilizce) (1st bas.). Switzerland: Springer Cham. ss. 78–81. doi:10.1007/978-3-319-69429-0. ISBN 978-3-319-69427-6.

[Len_1999-36] Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. s. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. 2016-12-08 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2016-02-15.

[Campbell-1970-p83-37] Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. s. 83. ISBN 978-0-390-16895-5. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

[1]

[2]

[3]

[4]

[a]

[b]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

@@ 78. satır: / 78. satır: @@
 İlgili metin, <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin bir [[Öklid bölgesi]] (İng. ''Euclidean domain'') olarak tanımlandığını belirtmektedir. Bu durum, aynı zamanda <math>\mathbb{Z}</math>'nin bir [[esas ideal bölgesi]] (İng. ''principal ideal domain'') olduğunu gösterir ve her pozitif tam sayının, [[asal sayılar]]ın çarpımı şeklinde [[özünde benzersiz]] (İng. ''essentially unique'') bir biçimde ifade edilebileceğini ima eder.{{r|Lang_1993}} Bu durum, [[aritmetiğin temel teoremi]] olarak bilinir.
+==Sıralama teorisine ilişkin özellikler==
+<math>\mathbb{Z}</math>, herhangi bir [[tam sıralama]] özelliği gösteren, fakat ne [[Üst ve alt sınır|üst ne de alt sınır]] içeren bir kümedir. <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin sıralama ilişkisi aşağıdaki gibi ifade edilir:
+{{math|:... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...}}
+Bir tam sayının [[0|sıfır]] değerinden büyük olması durumunda ''pozitif'', sıfırdan küçük olması durumunda ise ''negatif'' olarak nitelendirilir. Sıfır değeri, ne negatif ne de pozitif olarak nitelendirilebilir.
+Tam sayılar arasındaki sıralama ilişkisi, cebirsel işlemlerle aşağıdaki biçimde uyum içindedir:
+{{math|''a'' < ''b''}} ve {{math|''c'' < ''d''}} olduğunda, {{math|''a'' + ''c'' < ''b'' + ''d''}} sonucu elde edilir.
+{{math|''a'' < ''b''}} ve {{math|0 < ''c''}} olduğunda, {{math|''ac'' < ''bc''}} eşitsizliği geçerlidir.
+Bunun sonucu olarak, <math>\mathbb{Z}</math> üzerinde tanımlanan bu sıralama ile birlikte, bir [[sıralı halka]] yapısını oluşturur.
+Tam sayılar, pozitif elemanları [[iyi sıralı]] olan tek ciddi [[tam sıralı]] [[Abel grubu]]dur.{{r|Warner_2012}}
+Bu, herhangi bir [[Noetherian halka]] [[değerleme halkası]]na (İng. ''valuation ring'') ya bir [[Cisim (cebir)|cisim]]—ya da [[ayrık değerleme halkası]] (İng. ''discrete valuation ring'') olduğu ifadesine eşdeğerdir.
+==Tanımlama==
+===Geleneksel tanımlama===
+Temel eğitim süreçlerinde, tam sayı kavramı, genellikle pozitif doğal sayılar kümesi, [[sıfır]] ve doğal sayıların negatif karşılıklarının birleşimi olarak sezgisel bir yaklaşımla tanımlanmaktadır. Bu tanım, formal bir yapıya kavuşturulabilir:{{r|Mendelson_1985}} başlangıçta, [[Peano aksiyomları]] temel alınarak <math>N</math> doğal sayılar kümesi inşa edilir. Ardından, <math>N</math> kümesi ile her elemanı arasında birebir eşleme bulunan ve <math>N</math> kümesinden [[Ayrık küme|ayrık]] bir <math>N^-</math> kümesi tanımlanır. Bu bağlamda, <math>N^-</math> kümesi için, örneğin, <math>\psi</math> eşlemesi <math>n \mapsto (1,n)</math> olacak şekilde <math>(1,n)</math> formundaki sıralı çiftler seçilebilir. Son adımda, 0 elemanı, ne <math>N</math> kümesinde ne de <math>N^-</math> kümesinde yer almayacak şekilde, örneğin <math>(0,0)</math> sıralı çifti olarak belirlenir. Böylelikle, tam sayılar kümesi, <math>N \cup N^- \cup {0}</math> birleşimi ile tanımlanmış olur.
+Geleneksel aritmetik işlemleri, tam sayılar kümesi üzerinde, pozitif sayılar, negatif sayılar ve sıfır olmak üzere, [[Parçalı fonksiyon|parçalı fonksiyonlar]] yardımıyla tanımlanabilir. Mesela, [[Tümleme (mantık)|negasyon]] işlemi şu şekilde ifade edilir:
+<math display="block">
+-x = \begin{cases}
+  \psi(x), & \text{eğer } x \in P \\
+  \psi^{-1}(x), & \text{eğer } x \in P^- \\
+, & \text{eğer } x = 0
+\end{cases}
+</math>
+Geleneksel tanımlama yöntemi, çeşitlilik arz eden durumların ortaya çıkmasına neden olur (her aritmetik işlemin, tam sayı türlerinin her birinin kombinasyonları üzerine tanımlanması gereklidir) ve tam sayıların aritmetik yasalarına olan uyumunun ispatı sürecini oldukça yorucu bir hale getirir.{{r|Mendelson_2008}}
+=== Sıralı ikili dizilerin eşdeğerlilik sınıfları ===
+[[Dosya:Relative numbers representation.svg|küçükresim|alt=Sıralı ikili dizilerin eşdeğerlilik sınıflarının görselleştirilmesi |Kırmızı işaretler, [[doğal sayılar]] kümesine ait sıralı ikili dizileri ifade etmektedir. Birbirine bağlı olan kırmızı işaretler, çizginin uç kısmındaki mavi tam sayı değerlerini temsil eden eşdeğerlilik sınıflarını gösterir.|upright=1.5]]
+Çağdaş küme teorisine dayalı matematikte, aritmetik işlemilerin herhangi bir özgül durum ayrımına gerek kalmadan tanımlanabilmesine imkan veren daha soyut bir yapı tercih edilmektedir.<ref>Ivorra Castillo: ''Álgebra''</ref>{{r|Kramer_2017}}{{r|Len_1999}} Bu bağlamda, tam sayılar, [[doğal sayı]]lardan oluşturulan [[sıralı ikili]] çiftlerin denklik sınıfları olarak formel bir biçimde kurulabilir {{math|(''a'',''b'')}}.{{r|Campbell-1970-p83}}
+Sezgisel olarak, {{math|(''a'',''b'')}} ifadesi, {{math|''b''}}'nin {{math|''a''}}'dan çıkarılması sonucunu temsil eder.{{r|Campbell-1970-p83}} {{nowrap|1 − 2}} ile {{nowrap|4 − 5}} gösterimlerinin aynı sayısal değeri temsil ettiği öngörümüzü teyit etmek amacıyla, bu ikili diziler üzerinde belirli bir kural çerçevesinde bir [[denklik bağıntısı|denklik ilişkisi]] {{math|~}} tanımlamaktayız:
+:<math>(a,b) \sim (c,d) </math>
+yalnızca ve yalnızca
+:<math>a + d = b + c. </math>
+Tam sayılar üzerinde gerçekleştirilen toplama ve çarpım işlemleri, doğal sayılara uygulanan benzer işlemler temel alınarak tanımlanabilir;{{r|Campbell-1970-p83}} {{math|[(''a'',''b'')]}} gösterimi, içerisinde {{math|(''a'',''b'')}} ögesini barındıran denklik sınıfını ifade etmek için kullanılır ve bu durumda işlemler şu şekilde ifade edilir:
+:<math>[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].</math>
+:<math>[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].</math>
+Bir tam sayının negatif değeri (veya toplamsal ters öge), ilgili ikilinin elemanlarının yer değiştirilmesiyle elde edilir:
+:<math>-[(a,b)] := [(b,a)].</math>
+Dolayısıyla, çıkartma işlemi, toplamsal ters ögenin eklenmesi şeklinde tanımlanabilir:
+:<math>[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)].</math>
+Tam sayılara ilişkin standart sıralama kuralı aşağıdaki gibi ifade edilir:
+:<math>[(a,b)] < [(c,d)]</math> [[ancak ve ancak]] <math>a+d < b+c.</math>
 ===Arşiv===
@@ 509. satır: / 564. satır: @@
 |isbn=978-0-201-55540-0
 |pages=86–87
+}}</ref>
+<ref name="Warner_2012">{{cite book
+|title=Modern Algebra
+|series=Dover Books on Mathematics
+|first=Seth
+|last=Warner
+|publisher=Courier Corporation
+|year=2012
+|isbn=978-0-486-13709-4
+|at=Theorem 20.14, p.&nbsp;185
+|url=https://books.google.com/books?id=TqHDAgAAQBAJ&pg=PA185
+|access-date=2015-04-29
+|archive-url=https://web.archive.org/web/20150906083836/https://books.google.com/books?id=TqHDAgAAQBAJ&pg=PA185
+|archive-date=2015-09-06
+|url-status=live
+}}</ref>
+<ref name="Mendelson_1985">{{cite book
+|last1=Mendelson
+|first1=Elliott
+|title=Number systems and the foundations of analysis
+|date=1985
+|publisher=Malabar, Fla. : R.E. Krieger Pub. Co.
+|isbn=978-0-89874-818-5
+|page=153
+|url=https://archive.org/details/numbersystemsfou0000mend/page/152/mode/2up
+}}</ref>
+<ref name="Mendelson_2008">{{cite book
+|title=Number Systems and the Foundations of Analysis
+|series=Dover Books on Mathematics
+|first=Elliott
+|last=Mendelson
+|publisher=Courier Dover Publications
+|year=2008
+|isbn=978-0-486-45792-5
+|page=86
+|url=https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86
+|access-date=2016-02-15
+|archive-url=https://web.archive.org/web/20161208233040/https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86
+|archive-date=2016-12-08
+|url-status=live
+}}</ref>
+<ref name="Kramer_2017">{{Cite book
+|last1=Kramer
+|first1=Jürg
+|title=From Natural Numbers to Quaternions
+|last2=von Pippich
+|first2=Anna-Maria
+|publisher=Springer Cham
+|year=2017
+|isbn=978-3-319-69427-6
+|edition=1st
+|location=Switzerland
+|pages=78–81
+|language=en
+|doi=10.1007/978-3-319-69429-0
+}}</ref>
+<ref name="Len_1999">{{cite book
+|title=Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School
+|series=The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series
+|first=Len
+|last=Frobisher
+|publisher=Nelson Thornes
+|year=1999
+|isbn=978-0-7487-3515-0
+|page=126
+|url=https://books.google.com/books?id=KwJQIt4jQHUC&pg=PA126
+|access-date=2016-02-15
+|archive-url=https://web.archive.org/web/20161208121843/https://books.google.com/books?id=KwJQIt4jQHUC&pg=PA126
+|archive-date=2016-12-08
+|url-status=live
+}}</ref>
+<ref name="Campbell-1970-p83">{{cite book
+|author=Campbell, Howard E.
+|title=The structure of arithmetic
+|publisher=Appleton-Century-Crofts
+|year=1970
+|isbn=978-0-390-16895-5
+|page=[https://archive.org/details/structureofarith00camp/page/83 83]
+|url-access=registration
+|url=https://archive.org/details/structureofarith00camp/page/83
 }}</ref>

g t d Sayılar
Sayılabilir küme	Doğal sayılar ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Tam sayı ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Rasyonel sayılar ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Çizilebilir sayılar Cebirsel sayılar ( $\scriptstyle \mathbb {A}$ ) Periyotlar Hesaplanabilir sayılar Tanımlanabilir gerçel sayılar Aritmetik sayılar Gaussyen tam sayılar
Kompozisyon cebiri	Bölüm cebiri: Reel sayılar ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Karmaşık sayılar ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Dördey ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Sekizeyler ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ )
Split türleri	$\scriptstyle \mathbb {R}$ üzerinde: • Split-karmaşık sayılar • Split-dördeyler $\scriptstyle \mathbb {C}$ üzerinde: • Split-sekizeyler • Bikompleksler • Bidördeyler • Bisekizeyler
Diğer hiperkarmaşık sayılar	İkil sayılar İkil dördeyler İkil-karmaşık sayılar Hiperbolik dördeyler Onaltıyeyler ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Split-bidördeyler Çoklukarmaşık sayılar Geometrik cebir Fiziksel uzay cebri Uzay-zaman cebri
Diğer türler	Kardinal sayılar Genişletilmiş gerçek sayılar İrrasyonel sayılar Bulanık sayılar Hiper gerçek sayılar Levi-Civita cismi Surreal sayılar Aşkın sayılar Ordinal sayılar p-sel sayılar (p-sel solenoidler) Süperdoğal sayılar Süper gerçek sayılar
İlgili diğer kavramlar	Çift ve tek sayılar Devirli sayılar Hiperbolik sayılar Sonluötesi sayılar Cayley–Dickson yapısı Tessarine Musean hipersayısı ∞ (sonsuz) Tam sayı dizileri Büyük sayılar (Googol) Matematik sabitleri Nominal sayılar Asal sayılar Bileşik sayılar Sanal sayılar Arkadaş sayılar Mükemmel sayılar Eksik sayılar Artık sayılar Üçgensel sayılar Karesel sayılar Kare-üçgensel sayılar Beşgensel sayılar Dörtyüzlüsel sayılar Harshad sayıları Yarım tam sayılar Palindromik sayılar Lasa sayısı
Sınıflandırma Liste