İkili işlem

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Eğer X bir kümeyse,  X \times X kümesinden  X kümesine giden bir fonksiyona X kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi f:X\times X \longrightarrow X olarak gösterirsek, f(x,y) yerine genellikle x+y, x \times y, x \star y ya da daha yaygın olarak xy yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her x, y \in X için, işlemin sonucu olan x \star y elemanının yine X kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, X = N (doğal sayılar kümesi) ise, x - y işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir. Örneğin, 5-7 = -2 bir doğal sayı değildir. Öte yandan x\star y = 3 + xy + x + y olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.

İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.

x+y yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her x, \, y için x\star y = y\star x olduğunda kullanılır.

İşlemlerde genellikle her x,\, y,\, z elemanı için (x\star y)\star z = x \star (y\star z) eşitliği aranır, örneğin x^3 elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için x\star (x\star x) = (x\star x)\star x eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.

Eğer her x \in X için ex = x eşitliğini sağlayan bir e\in X elemanı varsa, e'ye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer e soldan, f de sağdan etkisizse f = ef = e olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin x\star y = y olarak tanımlanan işlemde her x\in X soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.

Eğer her x \in X için ax = a ise a'ya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer a soldan, b de sağdan yutansa, o zaman a=ab=b olur.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer f,\, g\in Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her x\in X için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı Id_X olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]