Aritmetiğin temel teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

i) Birden büyük her doğal sayı, sonlu sayıda birtakım asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini ifade eden teoremdir. ii) Bu ayrılış ise sıra düşünülmeksizin tektir.

İspatı[değiştir | kaynağı değiştir]

i) Bu teorem'in ispatı, olmayana ergi yoluyla yapılır. Teoremin gerçek olmadığı varsayılır ve bir çelişki aranır. a)Söz konusu sayı asal sayı ise 1 ile kendisinin çarpımına eşit olacağından teorem ispatlanır. b)Sayı asal sayı değil ise kabulden hareket ederiz. Varsayalım ki "c" asal çarpanlarına ayrılamayan en küçük doğal sayı olsun. Bu durumda c asal olamayacağından 1<n ve m<c olacak şekilde m ve n doğal sayıları vardır ki c = m.n elde edilir. Fakat c sayısını asal çarpanlarına ayrılamayan en küçük doğal sayı aldığımız halde, bu kabuller altında m ve n asal çarpanlarına ayrılmış oldu. Bu durumda bir çelişkiye varıldığından ispat tamamlanmış olur.

ii) c sayısı asal sayı ise yukarıdaki ispata benzer şekilde bir ile kendisinin çarpımına eşittir. Eğer c bileşik sayı ise tanım gereği m ve n doğal sayıları vardır ki 1<m<c ve 1<n<c olmak üzere m.n=c şeklinde yazılabilir. m ve n doğal sayılarının her ikisinin de asal olması durumunda teorem ispatlanmış olur. Eğer değilse aynı yorumlar m ve n için de yapılarak tümevarımla ispatlanmış olur.