Mükemmel sayı

Mükemmel sayı, sayılar teorisinde, kendisi hariç pozitif tam bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayı. Diğer bir ifadeyle, bir mükemmel sayı, bütün pozitif tam bölenlerinin toplamının yarısına eşittir.

Çift mükemmel sayılar

Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: 2^p−1(2^p−1). p sayısı ise asal bir sayıdır. Buna göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:

p = 2:   2¹(2²−1) = 6

p = 3:   2²(2³−1) = 28

p = 5:   2⁴(2⁵−1) = 496

p = 7:   2⁶(2⁷−1) = 8128.

2^p−1(2^p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardan biri olabilir:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609.

Bu sayılar arasında başka mükemmel sayılar (çift veya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.

Tek mükemmel sayılar

Tek mükemmel sayıların varlığı veya yokluğu tam olarak kanıtlanamamıştır. Ama hiç olmadıkları veya olabildiğince az oldukları düşünülmektedir.

Diğer özellikler

• Bu sayılar ve 1 hariç diğer çarpanları 1/a şeklinde yazılarak toplanırsa sonuç 1 olur. 1/a + 1/b + 1/c =1 denkleminde a=2,b=3 ve c=6 olmalıdır. 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e =1 denkleminde de a=2,b=4,c=7,d=14 ve e=28 olmalıdır.

Kaynakça

• Euclid, Elements, Kitap IX, Öneri 36. Önerinin ingilizce çevirisi ve öneri ile ilgili tartışma için: D.E. Joyce's website.