Çarpma kuralı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Çarpma kuralı iki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Kuralı Gottfried Leibniz türettiği için bu kural Leibniz kuralı olarak da geçer. Kuralın matematiksel ifadesi f ve g sırasıyla f(x) ve g(x) ifadelerinin kapalı formu olmak üzere şöyle verilir:

\frac{d}{dx}(fg) = \left(\frac{df}{dx} \right )g + f\left( \frac{dg}{dx}\right )

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

Türevin tanımı kullanılarak iki fonksiyonun çarpımının türevine bakılırsa


\begin{alignat}{4}
 \frac{d}{dx}(fg) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\
                  & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
                  & = \lim_{h \to 0} g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
                  & = g(x)f'(x) + f(x)g'(x)\\
\end{alignat}

Yüksek matematik konuları

Temel Teori
Fonksiyonların limiti
Süreklilik
Vektör hesabı
Tensör hesabı
Orta değer teoremi

Türevleme

Çarpma kuralı
Bölme kuralı
Zincir kuralı
Örtülü türev
Taylor teoremi
Bağımlı oranlar
Türev listesi
L'Hopital Kuralı

İntegral alma

İntegral tablosu
Düzensiz integral
İntegral Alma Yöntemleri: Parçalama, Disk,
Silindirik kabuk, Yerdeğiştirme,
Trigonometrik yerdeğiştirme

Genelleme[değiştir | kaynağı değiştir]

F fonksiyonu N tane birbirinden farklı ancak aynı değişkene bağlı fonksiyonun çarpımı olsun.

F(x) = \prod_{i=1}^N f_i(x)

Bu ifadenin türevi yukarda yapılan ispata dayanılarak şu şekilde gösterilir:

 \frac{dF}{dx} = \sum_{k=1}^Nf_k'\prod_{i\neq k}^N f_i

Çarpımın ifadesindeki i, 1 'den N 'ye kadar k hariç her değeri alır.