Çarpma kuralı

Çarpma kuralı iki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Kuralı Gottfried Leibniz türettiği için bu kural Leibniz kuralı olarak da geçer. Kuralın matematiksel ifadesi f ve g sırasıyla f(x) ve g(x) ifadelerinin kapalı formu olmak üzere şöyle verilir:

$\frac{d}{dx}(fg) = \left(\frac{df}{dx} \right )g + f\left( \frac{dg}{dx}\right )$

İspat

Türevin tanımı kullanılarak iki fonksiyonun çarpımının türevine bakılırsa

$\begin{alignat}{4} \frac{d}{dx}(fg) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & = \lim_{h \to 0} g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & = g(x)f'(x) + f(x)g'(x)\\ \end{alignat}$

Yüksek matematik konuları

Temel Teori Fonksiyonların limiti Süreklilik Vektör hesabı Tensör hesabı Orta değer teoremi

Türevleme

Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital Kuralı

İntegral alma

İntegral tablosu Düzensiz integral İntegral Alma Yöntemleri: Parçalama, Disk, Silindirik kabuk, Yerdeğiştirme, Trigonometrik yerdeğiştirme

Genelleme

F fonksiyonu N tane birbirinden farklı ancak aynı değişkene bağlı fonksiyonun çarpımı olsun.

$F(x) = \prod_{i=1}^N f_i(x)$

Bu ifadenin türevi yukarda yapılan ispata dayanılarak şu şekilde gösterilir:

$\frac{dF}{dx} = \sum_{k=1}^Nf_k'\prod_{i\neq k}^N f_i$

Çarpımın ifadesindeki i, 1 'den N 'ye kadar k hariç her değeri alır.