Doğrusal cebir

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Üç-boyutlu Öklid uzayı R3 bir vektör uzayıdır ve orijinden doğru ve düzlem yoluyla R3 vektör altuzayından geçiş

Doğrusal cebir ya da Lineer cebir; Matematiğin, yöneyler (vektör), yöney uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve dizeyleri (matris) inceleyen alanıdır. Yöney uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.

Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır. 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti. 1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre adlı kitabını yayınladı. Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan dizeyleri 1857 yılında tanıttı. Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20. yüzyılda yapmıştır.

Temelleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Doğrusal cebirin temelleri yöneylerin incelenmesinde yatar. Burda sözü edilen yöney, yönü ve büyüklüğü olan bir doğru parçasıdır. Yöneyler vektör olarak da bilinir. Yöneyler kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler. Böylece basit bir reel yöney uzayının oluşumu gösterilebilir.

Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir. 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir. N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır. Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder. Bu vektördeki her bir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz.

Matematikte, soruna doğrusal bir açıdan bakıp, dizey cebiriyle ifade ettikten sonra onu dizey işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir. Örneğin doğrusal denklem dizgeleri (sistem) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir.

Yöneyler ve Dizeyler[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıda üç boyutlu bir sütun yöneyi görülmektedir:

\mathbf{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}

Burada ise 4 boyutlu bir satır yöneyini görmekteyiz:

\mathbf{b}=\begin{pmatrix} 4 & 6 & 3 & 7 \end{pmatrix}

Son olarak 4 satır ve üç sutundan oluşan bir dizey örneğini şöyle gösterebiliriz:

\mathbf{M}=\begin{pmatrix}
8 & 2 & 9 \\ 
4 & 8 & 2 \\ 
8 & 3 & 7 \\ 
5 & 9 & 1 
\end{pmatrix}

Çalışmanın kapsamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Vektör uzayları[değiştir | kaynağı değiştir]

vektor uzayı doğrusal cebirin ana yapısıdır.Bir F alanı üzerinde bir vektör uzayı bir V kümesi ile birlikte iki ikili işlemdir.Vnin ögelerine vektör ve F in ögelerine skaler denir. .[1] Aşağıdaki listede diyelimki u, v ve w be V içinde keyfi vektörler , ve a ve b in F içinde skalerler olsun.

Aksiyom Açıklaması
toplamanın bileşimi u + (v + w) = (u + v) + w
toplamanın değişimi u + v = v + u
toplamaya göre etkisiz eleman Burada 0 ∈ V ögesi var, sıfır vektör denir, böylece her vV için v + 0 = v.
toplamaya göre ters eleman her v ∈ V için, burada bir −vV ögesi var, vnin toplamsal tersi denir , böylece v + (−v) = 0
vektör toplamının skaler çarpım üzerinde Dağılma özelliği   a(u + v) = au + av
sıralı alan toplamının skaler çarpımın üzerinde dağılması (a + b)v = av + bv
Alan çarpımı ile skaler çarpımı eşitliği a(bv) = (ab)v [nb 1]
skaler çarpımın etkisiz elemanı 1v = v, burada 1 F içinde çarpmaya göre etkisizdir.

Doğrusal dönüşümler[değiştir | kaynağı değiştir]

Verilen bir F alanı üzerinde V ve W iki vektör uzayı, bir doğrusal dönüşüm (ayrıca doğrusal gönderme, doğrusal gönderim veya doğrusal işlemci) bir göndermedir

 T:V\to W

bu toplam ve skaler çarpım ile uyumlandırılabilir:

 T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(av)=aT(v)

u,vV herhangi iki vektör ve bir skaler aF için.

toplanabilir herhangi iki vektör u, vV ve skaler a, bF için:

 \quad T(au+bv)=T(au)+T(bv)=aT(u)+bT(v)

Altuzay, germe ve taban[değiştir | kaynağı değiştir]

Yine diğer cebirsel nesnelerin teorileri ile analog olarak, lineer cebir vektör uzaylarının kendileri vektör alanlarının altkümeleriyle ilgilenmektedir, bu alt kümeler doğrusal alt uzayı olarak adlandırılır. Örneğin, aralık ve doğrusal bir eşleme bölgesinin hem çekirdek hem de alt uzayları vardır ve bu nedenle sık sık aralık alanı olarak adlandırılır ve boşuzay; bu altuzayların önemli örneklerdir. Bir altuzayı oluşturmanın bir diğer önemli yolu da doğrusal kombinasyona almaktır, v1, v2, …, vk vektörlerinin bir kümesi:

 a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k,

burada a1, a2, …, ak skalerlerdir.Vektörlerinin doğrusal tüm bileşimlerinin kümesi v1, v2, …, vk buna germe denir, bunun bir altuzay formudur.

Tüm sıfır katsayısı ile vektörlerinin herhangi bir sisteminin bir lineer kombinasyonu V sıfır vektörüdür.Bu lineer bir kombinasyonu olarak sıfır vektör ifade etmek için tek yoldur v1, v2, …, vk ise bu vektörler doğrusal bağımsızdır.Verilen bir vektörler kümesinin bu vektörlerinin bir uzay gerimi, eğer herhangi vektör w diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu(ve böylece kümeleri doğrusal bağımsız değildir), ise biz eğer w kümesinden germeyi kaldırırsak aynı kalacaktır. Böylece, doğrusal bağımlı vektörlerin kümesi bir doğrusal bağımsız alt kümesi aynı alt uzayı kapsar anlamında gereksizdir. Bu nedenle, bir vektör uzayı V yi geren vektörlerin lineer bağımsız kümesinin içinden daha çok ilgiliyiz, buna Vnin tabanı deriz. Vektörlerin herhangi kümesi that spans Vnin gerilmiş bir tabanını içerir, ve V içindeki vektörlerin herhangi doğrusal bağımsız kümesi bir tabana gerilebilir(yayılabilir).[2] Bu çıkıyor ki biz seçim aksiyomu olarak kabul edersek, her vektör uzayının bir tabanı var;[3] yine de, bu doğal olmayan baz olabilir, ve gerçekten de, hatta constructable olmayabilir. Örneğin, burada Kesirli üzerinde bir vektör alanı olarak kabul edilen reel sayılar için bir temel var, ama hiçbir açık temel inşa edilmemiştir.

V vektör uzayının herhangi iki tabanı aynı kardinalitesi varsa, buna Vnin boyutu denir. Bir vektör uzayının boyutu vektör uzayı için boyut teoremi ile iyi-tanımlıdır. Eğer Vnin bir tabanı ögelerin sonlu sayısı varsa, V ye bir sonlu-boyutlu vektor uzayı denir. Eğer V sonlu-boyutludur ve U Vnin bir altuzayıdır, ise dim U ≤ dim V.Eğer U1 ve U2 Vnin altuzayı, ise

\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2).[4]

Bir çoğu sonlu boyutlu vektör alanlarına önemi sınırlar. Lineer cebir temel bir teoremi aynı boyutun tüm vektör uzaylarının izomorf olduğunu belirtiyor,[5] esyapının karakterize edilmesi için bir kolay bir yol verir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Şablon:Harvard citations
  2. ^ Axler (2004), pp. 28–29
  3. ^ The existence of a basis is straightforward for countably generated vector spaces, and for well-ordered vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
  4. ^ Axler (2204), p. 33
  5. ^ Axler (2004), p. 55
  1. ^ Bu aksiyom bir işlemin bileşimi varsayımı değildir,burada sorun içinde iki işlem, skaler çarpım: bv; ve alan çarpımı: ab.

İleri okuma[değiştir | kaynağı değiştir]

Tarih
  • Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra" ([1]), American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
  • Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.
tanıtım ders kitapları
  • Bretscher, Otto (June 28, 2004), Linear Algebra with Applications (3rd bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0 
  • Farin, Gerald; Hansford, Dianne (December 15, 2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2 
  • Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (November 11, 2002), Linear Algebra (4th bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-008451-4 
  • Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra, http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ 
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th bas.), Wiley International 
  • Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd bas.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
  • Kolman, Bernard; Hill, David R. (May 3, 2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0 
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th bas.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8 
  • Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd bas.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2 
  • Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st bas.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9 
  • Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd bas.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0 
  • Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th bas.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 
ileri ders kitapları
Çalışma kılavuzları ve anahatları
  • Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6 
  • Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd bas.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9 
  • Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3 
  • McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3 
  • Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Vikikitap
Vikikitapta bu konu hakkında daha fazla bilgi var:

Çevrimiçi Kitaplar[değiştir | kaynağı değiştir]