Öklid uzayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Üç boyutlu Öklid uzayındaki her bir nokta üç koordinat ile ifade edilir.

Matematikte Öklid uzayı, Öklid geometrisinin üç boyutlu uzayıdır ve bu kavramlar, çok boyutlu olarak genelleştirilir. “Öklid” terimi bu uzayları, Öklid geometrisi olmayan eğimli uzaydan ve Einstein'nın genel görelilik kuramından ayırt eder. Bu adı Yunanlı matematikçi Öklid'den dolayı almıştır.

Modern matematikte Öklid uzayını ifade etmek için kartezyen koordinat sistemi ve analitik geometri kavramları çok yaygın olarak kullanılır.

Reel koordinat uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

Reel sayılar kümesi R ile gösterilsin. Herhangi bir pozitif n tamsayısı. Rde n boyutlu vektör uzayında tüm n katlı reel sayılardan oluşsun. Bu Rn sembolü ile gösterilir ve bazen reel koordinat uzayı olarak adlandırılır. Rnde bir eleman şöyle yazılabilir;

\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n),

Her bir xi, bir reel sayıdır. Rndeki vektör uzayı işlemleri şöyle ifade edilir;

\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n),
a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n).

Rn vektör uzayı doğal taban ile gösterilir:


\begin{align}
\mathbf{e}_1 & = (1, 0, \ldots, 0), \\
\mathbf{e}_2 & = (0, 1, \ldots, 0), \\
& {}\,\,\,  \vdots \\
\mathbf{e}_n & = (0, 0, \ldots, 1).
\end{align}

Rnde keyfi bir vektör, aşağıdaki biçimde yazılabilir;

\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i.

Rn, bir n boyutlu vektör uzayında prototip örnektir. Aslında her reel n boyutlu vektör uzayı V, Rn izomorfizmasıdır.

Öklid yapısı[değiştir | kaynağı değiştir]

Öklid uzayı, bir reel koordinat uzayında daha fazlasıdır. Öklid geometrisinde işlem yapmak için noktalar arasındaki mesafeden ve çizgi veya vektörler arasındaki açıdan da bahsetmek gerekir. Bu nicelikleri elde etmenin doğal yolu, Rn'de nokta çarpım kullanmak gerekir. Herhangi x ve y iki reel nvektörü nokta çarpımı şöyle ifade edilir;

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.

Sonuç daima bir reel sayıdır. Ayrıca xin kendisi ile nokta çarpımı hiçbir zaman negatif olmaz. Bu çarpım, bir x vektörünün "uzunluğunu" ifade etmemizi sağlar, şöyle ki;

\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}.

Bu uzunluk fonksiyonu, gerekli norm özelliğini sağlar ve Rnde Öklid normu olarak adlandırılır.

θ (0° ≤ θ ≤ 180°), x ile y arasındaki sabit açıdır (periyodik olmayan) ve şöyle ifade edilir;

\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)

burada cos−1, arccos'un ters trigonometrik fonksiyonudur.

Son olarak, Rndeki bir metriği (uzaklık fonksiyonunu) ifade etmek için aşağıdaki norm kullanılabilir;

d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.

Bu uzaklık fonksiyonu Öklid uzaklığı olarak adlandırılır ve Pisagor teoreminin bir biçimi olarak görülebilir.

Reel koordinat uzayı ile bu Öklid yapısı Öklid uzayı olarak adlandırılır ve daha çok En sembolü ile gösterilir. (Çoğu yazar, Öklid uzayında çalışırken Öklid yapısının anlaşılması için Rn sembolünü kullanmayı tercih eder).

T doğrusal dönüşümlerine yönelimi ifade etmek için Öklid uzayı dönüşü (rotasyonu) kullanılır. Bunlar açı ve uzaklıkla belirtilir;

T\mathbf{x} \cdot T\mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y},
|T\mathbf{x}| = |\mathbf{x}|.

Matrisde dönüş, özel ortogonal matrislerdir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]