Bernoulli dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Bernoulli
Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler 1>p>0\, (reel)
Destek k=\{0,1\}\,
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF) 
    \begin{matrix}
    q & \mbox{for }k=0 \\p~~ & \mbox{for }k=1
    \end{matrix}
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF) 
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{for }k<0 \\q & \mbox{for }0\leq k<1\\1 & \mbox{for }k\geq 1
    \end{matrix}
Ortalama p\,
Medyan yok
Mod \begin{matrix}
0 & \mbox{if } q > p\\
0, 1 & \mbox{if } q=p\\
1 & \mbox{if } q < p
\end{matrix}
Varyans pq\,
Çarpıklık \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
Fazladan basıklık \frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}
Entropi -q\ln(q)-p\ln(p)\,
Moment üreten fonksiyon (mf) q+pe^t\,
Karakteristik fonksiyon q+pe^{it}\,

Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve q=1-p olasılıkla başarısızlık ile 0 değeri alan bir ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim adamı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir.

Eğer X Bernoulli dağılımı gösteren bir rassal değişken ise;

 \Pr(X=1) = 1 - \Pr(X=0) = 1 - q = p.\!

Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu f şöyle ifade edilir:

 f(k;p) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {eger }k=1, \\
1-p & \mbox { eger }k=0, \\
0 & \mbox {diger hallerde.}\end{matrix}\right.

Bir Bernoulli rassal değişkeni X için beklenen değer

E\left(X\right)=p,

ve varyans

\textrm{var}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,

olur.

Bernoulli dağılımı için yüksek veya düşük p değerlerinde basıklık ölçüsü sonsuzluğa yaklaşır. Fakat p=1/2 için basıklık derecesi ölçümü -2 olup, bu değer diğer bütün olasılık dağılımlar için basıklık ölçüleri ile karşılaştırıldığında bunun en küçük olduğu görülür.

Bernoulli dağılımı üstel ailesi içinde bulunan bir dağılımdır.


İlişkili dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eger X_1,\dots,X_n bağımsız fakat aynen dağılım gösteren ve her biri p başarı olasılığı ile Bernoulli dağılımı gösteren rassal değişkenler olurlarsa,

Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{B}(n,p)

yani bir binom dağılımdir.

  • Kategorik dağılım herhangi bir sabit sayıda aralıklı değerler alan değiskenler ile Bernoulli dağılımının bir genelleştirilmesidir.

İçsel kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynak[değiştir | kaynağı değiştir]