Gamma dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Gamma
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Gamma dağılımları için olasılık yoğunluk fonksiyonlari grafiği
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Gamma dağılımları için yığmalı dağılım grafiği
Parametreler k > 0\, şekil (reel)
\theta > 0\, ölçek (reel)
Destek x \  [0; \infty)\!
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF) \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!
Ortalama k \theta\,\!
Medyan basit kapalı form yok
Mod (k-1) \theta\text{ for }k \geq 1\,\!
Varyans k \theta^2\,\!
Çarpıklık \frac{2}{\sqrt{k}}\,\!
Fazladan basıklık \frac{6}{k}\,\!
Entropi k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!
+ (1-k)\psi(k) \!
Moment üreten fonksiyon (mf) (1 - \theta\,t)^{-k}\text{ for }t < 1/\theta\,\!
Karakteristik fonksiyon (1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdir. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tamsayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre \frac{1}{\theta} olur.

Karakteristikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir rassal değişken olan Xin θ ölçek parametresi ve k şekil parametresi ile tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

X \sim \Gamma(k, \theta) \,\,\mathrm{ veya }\,\, X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta).

Olasılık yoğunluk fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

 f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} 
 \ \mathrm{ for }\ x > 0\,\, \mathrm{ and }\,\, k, \theta > 0.

Bu çesit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi \alpha = k ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi \beta = 1/\theta kullanılarak şöyle elde edilir:

 g(x;\alpha,\beta) = x^{\alpha-1}  \frac{\beta^{\alpha} \, e^{-\beta\,x} }{\Gamma(\alpha)}  \ \mathrm{for}\ x > 0 \,\!.
Eger \alpha bir pozitif tamsayı ise, o halde
 {\Gamma(\alpha)}=(\alpha - 1)!

Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yığmalı dağılım fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

 F(x;k,\theta) = \int_0^x f(u;k,\theta)\,du  
  =\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} \,\!

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Toplama[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer i = 1, 2, ..., N için rassal değişken Xiin dağılımı bir Γ(αi, β) olursa; o halde


\sum_{i=1}^N X_i
\sim
\Gamma  \left( \sum_{i=1}^N \alpha_i, \beta \right) \,\!

Ancak bütün Γ(αi, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

Ölçekleme[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi bir t için tX bir Γ(k, tθ) dağılımı goösterir; bu ifade θnın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

Üstel ailesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri k-1 ve -1/\theta; ve doğal istatistikleri X ve \ln(X) olur.

Enformasyon entropisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

\frac{-1}{\theta^k \Gamma(k)} \int_0^{\infty} \frac{x^{k-1}}{e^{x/\theta}} \left[ (k-1)\ln x - x/\theta - k \ln\theta - \ln\Gamma(k) \right] \,dx \!
= -\left[ (k-1) (\ln\theta + \psi(k)) - k - k \ln\theta - \ln\Gamma(k) \right] \!
= k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) + (1-k)\psi(k) \!

burada ψ(k) bir digama fonksiyonu olur.

Kullback–Leibler ayrılımı[değiştir | kaynağı değiştir]

'Gerçek' dağılım olan Γ(α0, β0) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:


D_{\mathrm{KL}}(\alpha,\beta || \alpha_0, \beta_0) = \log\left(\frac{\Gamma({\alpha_0})\beta_0^{\alpha_0}}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha_0}}\right)+(\alpha-{\alpha_0})\psi(\alpha)+\alpha\frac{\beta-\beta_0}{\beta_0}

Laplace dönüşümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:


F(s)=\frac{\beta^\alpha}{(s+\beta)^\alpha}.

Parametre tahmini[değiştir | kaynağı değiştir]

Maksimum olabilirlilik tahmini[değiştir | kaynağı değiştir]

Birbirlerinden bagimsiz ve ayni dagilim gosteren N sayida gozlem , , (x_1,\ldots,x_N), icin olabilirlik fonksiyonu sudur:

L(\theta)=\prod_{i=1}^N f(x_i;k,\theta)\,\!

Bundan bir log-olabilirlilik fonksiyonu turetilebiliriz:

\ell(\theta) = (k-1) \sum_{i=1}^N \ln{(x_i)} - \sum x_i/\theta - Nk\ln{(\theta)} - N\ln{\Gamma(k)}.

Bunun \theta'ya gore maksimim degerini bulmak icin bu log-olabilirlilik fonksiyonunun birinci turevini alip sifira esitlersek, θ parametresi icin maksimum-olabilirlilik kestirimini buluruz:

\hat{\theta} = \frac{1}{kN}\sum_{i=1}^N x_i. \,\!

BUnu tekrara log-degisebilirlilik fonksiyonuna koyarsak, elde edilen ifade su olur:

\ell=(k-1)\sum_{i=1}^N\ln{(x_i)}-Nk-Nk\ln{\left(\frac{\sum x_i}{kN}\right)}-N\ln{(\Gamma(k))}. \,\!

Bunu k'ye gore maksimumunu bulmak icin birinci turevini aliriz ve bunu sifira esitleriz. Sonus sudur:

\ln{(k)}-\psi(k)=\ln{\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\right)}-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\ln{(x_i)} \,\!

Burada

\psi(k) = \frac{\Gamma'(k)}{\Gamma(k)} \!

olup bir digamam fonksiyonudur.

k icin kapali-sekilli bir cozum bulunmamaktadir. Bu fonksiyon numerik olarak, hesaplamaya uygun davranis gosterir ve bunun icin bir numerik cozum istenirse, ornegin numerik Newton Yontemi, sonuclar yeterli dakik olur. Bu numerik cozumler icin ilk deger ya "momentler metodu" kullanilarak bulunur ya da su yaklasim kullanilabilir:

\ln(k)-\psi(k) \approx \frac{1}{k}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{12k+2}\right). \,\!

Eger su ifadeyi kullanirsak

s = \ln{\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\right)} - \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\ln{(x_i)},\,\!

k yaklasik su degerdedir:

k \approx \frac{3-s+\sqrt{(s-3)^2 + 24s}}{12s}

Bu genellikle gercek degerden +/- %1,5 hatali olabilecegi bulunmustur. Bu ilk tahminin Newton-Raphson yontemi icin iyilestirilmesi Choi ve Wette (1969) soyle verilmistir:

k \leftarrow k - \frac{ \ln k - \psi\left(k\right) - s }{ 1/k - \psi'\left(k\right) }

burada \psi'\left(\cdot\right) trigamma fonksiyonunu (yani digamma fonksiyonunun birinci turevini) ifade eder.

Digamma ve trigamma fonksiyonlarini cok dakiklikle hesaplamak guc olabilir. Fakat, su verilen yaklasim formulleri kullanarak birkaca onemli ondalikli sayiya kadar iyi yaklasim sayilarai bulmak imkâni vardir:


\psi\left(k\right) = \begin{cases}
\ln(k) - ( 1 + ( 1 - ( 1/10 - 1 / ( 21 k^2 ) ) / k^2 ) / ( 6 k ) ) / ( 2 k ), \quad k \geq 8 \\
\psi\left( k + 1 \right) - 1/k, \quad k < 8
\end{cases}

ve


\psi'\left(k\right) = \begin{cases}
( 1 + ( 1 + ( 1 - ( 1/5 - 1 / ( 7 k^2 ) ) / k^2 ) / ( 3 k ) ) / ( 2 k ) ) / k, \quad k \geq 8, \\
\psi'\left( k + 1 \right) + 1/k^2, \quad k < 8.
\end{cases}

Ayrintilar icin bakiniz Choi ve Wette (1969).

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata[değiştir | kaynağı değiştir]

Bilinen degerde k ve bilinmeyen degerde '\theta, icin theta icin sonrasal olasilik yogunluk fonksiyonu (\theta icin standard olcek-degeistilmez oncel kullanarak) su elde edilir:


P(\theta | k, x_1, ..., x_N) \propto 1/\theta \prod_{i=1}^N f(x_i;k,\theta).\,\!

Su ifade verilsin

 y \equiv \sum_{i=1}^N x_i , \qquad  P(\theta | k, x_1, \dots , x_N) = C(x_i)  \theta^{-N k-1} e^{-y / \theta}. \!

Bunun θ entegrasyonu degiskenlerin degistirilmesi yontemi kullanilarak mumkun olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin

\scriptstyle \alpha = N k,\ \  \beta = y

parametreleri olan bir gamma dagilimi gosterdigi ortaya cikartilir.


\int_0^{\infty} \theta^{-N k-1+m} e^{-y / \theta}\, d\theta = \int_0^{\infty} x^{N k -1 -m} e^{-x y} \, dx = y^{-(N k -m)} \Gamma(N k -m). \!

Momentler (m ile m = 0) orantisi alinarak hesaplanabilir:


E(x^m) = \frac {\Gamma (N k -m)} {\Gamma(N k)} y^m, \!

Buna gore theta'nin sonsal dagiligiminin ortalama +/- standart sapma kestiriminin soyle olur:

 \frac {y} {N k -1} +/- \frac {y^2} {(N k-1)^2 (N k-2)}.

Gamma dağılım gösteren rassal değişken üretimi[değiştir | kaynağı değiştir]

İlişkili dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Özel dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • X \sim \mathrm{SkewLogistic}(\theta)\,, then \mathrm{log}(1 + e^{-X}) \sim \Gamma (1,\theta)\,

-->

Diğerleri[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eger X bir Γ(k, θ) dagilimi gosterirse 1/X k ve θ-1

parametreleri olan bir ters-gamma dagilimi gosterir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]