Matris normal dağılım

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları içinde matris normal dağılımı tek değişebilirli normal dağılımının çoklu değişebilirli olarak genelleştirilmesidir.

Matris normal dağılım gösteren çoklu rassal değişkenler matrisi, (rassal matris) X (n × p) için olasılık yoğunluk fonksiyonu matris terimleriyle şu şekli almaktadır:


p(\mathbf{X}|\mathbf{M}, {\boldsymbol \Omega}, {\boldsymbol \Sigma})
=(2\pi)^{-np/2} |{\boldsymbol \Omega}|^{-n/2}  |{\boldsymbol  \Sigma}|^{-p/2}
\exp\left(    -\frac{1}{2}    \mbox{tr}\left[      {\boldsymbol  \Omega}^{-1}      (\mathbf{X} - \mathbf{M})^{T}      {\boldsymbol  \Sigma}^{-1}      (\mathbf{X} - \mathbf{M})    \right]  \right).

Burada M matrisi n × p, Ω matris p × p ve Σ matrisi n × n.

İki kovaryans matrisini tanımlamak için çeşitli alternatifler bulunmaktadır. Bir alternatif şöyle ifade edilir:


    {\boldsymbol  \Sigma} = E[  (\mathbf{X} - \mathbf{M})(\mathbf{X} - \mathbf{M})^{T}]\;,\;\;\;\;
    {\boldsymbol  \Omega} = E[  (\mathbf{X} - \mathbf{M})^{T} (\mathbf{X} - \mathbf{M})]/c,

Burada c bir sabit olup Σ matrisine bağımlıdır ve uygun bir güç normalleştirme işleminin yapılmasını sağlamak için kullanılmaktadır.

Matris normal dağılımın şu şekilde çokdeğişirli normal dağılım ile bağlantısı bulunmaktadır: Eğer mutlaka


    \mathrm{vec}\;\mathbf{X} \sim N_{np}(\mathrm{vec}\;\mathbf{M}, 
    {\boldsymbol \Omega}\otimes{\boldsymbol \Sigma}),

ifadesi geçerli ise

\mathbf{X} \sim MN_{n\times p}(\mathbf{M}, {\boldsymbol \Omega}, {\boldsymbol \Sigma})

olur. Burada \otimes Kronecker çarpımıdır ve \mathrm{vec}\;\mathbf{M} de \mathbf{M} ifadesinin vektörleştirilmesini gösterir.

İçsel kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynak[değiştir | kaynağı değiştir]