Beta dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Beta
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Beta dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Beta dağılımı için yiğmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler \alpha > 0 şekil (reel)
\beta > 0 şekil (reel)
Destek x \ [0; 1] icinde \!
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF) I_x(\alpha,\beta)\!
Ortalama \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Medyan
Mod \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! burada \alpha>1, \beta>1
Varyans \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
Çarpıklık \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Fazladan basıklık metine bakın
Entropi metine bakın
Moment üreten fonksiyon (mf) 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
Karakteristik fonksiyon {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında beta dağılımı [0,1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir.


Tipik karakteristikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Olasılık yoğunluk fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

0 ≤ x ≤ 1 aralığında ve α, β > 0 şekil parametreleri için beta dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, x değişkeni ve (1-x) yansımasının bir kuvvet fonksiyonudur ve şöyle ifade edilir:

\begin{align}
f(x;\alpha,\beta) & = \mathrm{constant}\cdot x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\
& = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \\[6pt]
& = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[6pt]
& = \frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
\end{align}

Burada \Gamma bir gama fonksiyonudur. \Beta beta fonksiyonu toplam olasılık integralinin daima bire eşit olmasını sağlamak için gerekli normalleştirme sabitidir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!

Burada \mathrm{B}_x(\alpha,\beta) bir tamamlanmamış beta fonksiyonu ve I_x(\alpha,\beta), düzenlenmiş beta fonksiyonu olurlar.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Momentler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir α ve β parametreli beta dağılımlı rassal değişken olan X için beklenen değer ve varyans formülleri şöyle verilir:

 
  \begin{align}
   \operatorname{E}(X)   = & \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \\
   \operatorname{Var}(X) = & \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
  \end{align}

Çarpıklık şöyle ifade edilir:


\frac{2 (\beta - \alpha) \sqrt{\alpha + \beta + 1} }   
        {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta}}. \,\!

Fazladan basıklık şudur:

6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}
{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}.\,\!

Enformasyon miktarları[değiştir | kaynağı değiştir]

İki beta dağılımı gösteren rassal değişken X ~ Beta(α, β) ve Y ~ Beta(α', β') olsun. X için enformasyon entropisi değeri şudur:


\begin{align}
H(X) &= \ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)
\end{align}
\,

Burada \psi bir digamma fonksiyonu olur.

Çapraz entropi şudur:

H(X,Y) = \ln\mathrm{B}(\alpha',\beta')-(\alpha'-1)\psi(\alpha)-(\beta'-1)\psi(\beta)+(\alpha'+\beta'-2)\psi(\alpha+\beta).\,

Bundan çıkarılır ki bu iki beta dağılımı arasındaki Kullback-Leibler ayrılması şöyledir:


 D_{\mathrm{KL}}(X,Y) = \ln\frac{\mathrm{B}(\alpha',\beta')}
                                {\mathrm{B}(\alpha,\beta)} -
                        (\alpha'-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta'-\beta)\psi(\beta) + 
                        (\alpha'-\alpha+\beta'-\beta)\psi(\alpha+\beta)

Şekiller[değiştir | kaynağı değiştir]

Beta olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametrenin aldığı değişik değere göre değişik şekiller gösterir.

  • \alpha < 1,\ \beta < 1 U-şekilli (kırmızı çizgi)
  • \alpha < 1,\ \beta \geq 1 veya \alpha = 1,\ \beta > 1 kesinlikle düşüş gösterir(mavi çizgi)
  • \alpha = 1,\ \beta = 1 tekdüze dağılım
  • \alpha = 1,\ \beta < 1 veya \alpha > 1,\ \beta \leq 1 kesinlikle artış gösterir (yeşil çizgi)
    • \alpha > 2,\ \beta = 1 kesinlikle konvekstir
    • \alpha = 2,\ \beta = 1 bir doğrudur
    • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 kesinlikle konkavdır
  • \alpha > 1,\ \beta > 1 tek modludur (mor ve siyah çizgiler)

Bunların yanında, eğer \alpha = \beta ise yoğunluk fonksiyonu 1/2 etrafında simetriktir (kırmızı ve mor çizgiler).

Parametre kestirimi[değiştir | kaynağı değiştir]

<

İlişkili dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak Gamma dağılımı gösteriyorlarsa yani X Gamma(α, θ) ve Y Gamma(β, θ) ise, o zaman
X / (X + Y)

ifadesinin dağılımı Beta(α,β) olur.

  • Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak biri Beta dağılımı ve diğeri 2β ve 2α serbestlik dereceleri ile Snedor'un F-dağılımı gösteriyorlarsa, yani X Beta (α,β) ve Y 'F(2β,2α) ise; o halde
Pr(X ≤ α/(α+xβ)) = Pr(Y > x) butun x > 0 için.
  • Eğer X \sim {\rm U}(0, 1]\, ifadesi bir tekdüze dağılım gösteriyorsa, o halde
X^2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \

veya Beta dağılımının özel bir hali olan 4 parametreli güç-fonksiyonu dağılımı için

X^2 \sim {\rm Beta}(0,1,1/2,1) \

olur.

  • Subjektif mantik konusunda ele alınan binom kanıları matematiksel olarak Beta dağılımı ile aynıdırlar .

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

B(i, j) tamsayı değerli i ve j için, 0 ve 1 aralığında tekdüze dağılım gösteren i+j-1 sayıda bağımsız rassal değişkenden oluşan bir örneklem içindeki sayıların (en küçükten en büyüğe doğru) sıralanması sonucu elde edilen sıralama içinde (i-1)inci sırada olan değerin dağılımını gösterir. Bu halde 0 ve x aralığı içinde yığmalı olasılık (i)inci en küçük değerin xden daha küçük olmasının olasılığını gösterir. Diğer bir şekilde ifade ile, bu yığmalı olasılık ortada bulunan rassal değişkenlerden en aşağı i tanesinin xden daha küçük değer göstermesi olayının olasılığıdır. Bu olasılık p parametreli bir binom dağılımının x'e toplanması ile elde edilir. Bu beta dağılımı ile binom dağılımı arasındaki yakın ilişkiyi açıkca gösterir.

Beta dağılımları Bayes tipi istatistik içinde çok geniş uygulama göstermektedir. Beta dağılımları (Bernoulli dahil) binom ve geometrik dağılımlar için bir sıra eşlenik-önseller sağlamaktadır. Beta(0,0) dağılımı uygunsuz önsel olduğu için birçok kere parametre değerlerinin bilinmezliğini temsil için kullanılmaktadır.

Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı içinde sınırlanmş olayların ortaya çıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi için kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolu kuramında, beta dağılımı ve üçgensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini için kullanılmaktadır. Proje idare ve kontrolu için çok kere kısa olarak yapılan hesaplarda, belli bir aktivite uzunluğu için Beta dağılımlarının ortalama ve varyans değerleri şu şekilde kullanılır:

 \begin{align}
  \mathrm{ortalama}(X) & {} = E(X)= \frac{a + 4b + c}{6}, \\
  \mathrm{std.sap.}(X) & {} = \frac{c-a}{6},
\end{align}

Burada a minimum değer, c maksimum değer ve b en mümkün olabilir değerdir.

Referanslar[değiştir | kaynağı değiştir]


Kaynak[değiştir | kaynağı değiştir]


Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • [1] Beta dağılımı- MathWorld.
  • [2] "Beta dağılımları" - Fiona Maclachlan, Wolfram Gösteri Projesi, 2007.
  • [3] Beta dağılımı - Genel görüş ve bir örnek - xycoon.com
  • [4].asp Beta dağılımı, brighton-webs.co.uk