Beklenen değer

Beklenen değer bir rassal değişkennin alabileceği bütün değerlerin, olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Ağırlıklı ortalama olarak da düşünülebilir ki ağırlık katsayıları verilen olasılık kütle fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Tanım

Beklenen değer, beklenen değer işlemcisi E ile gösterilir. Rassal değişkennin sürekli veya ayrık olması durumuna göre beklenen değer şu şekilde hesaplanır.

$E[\Chi] = \begin{cases} \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx, & \Chi: \mbox{ surekli} \\ \sum_i x_i p(x_i), & \Chi: \mbox{ ayrik} \end{cases}$

Beklenen değerin başka gösterimleri $m_{\Chi}$, $\mu_1$ ($\mu$ merkezsel moment) ve $E(\Chi)$ olarak verilir. Yukarıdaki tanımda f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur, p(x) ise olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır. E işlemcisi doğrusal bir işlemcidir. İki fonksiyon da normalize oldukları için sabit bir değerin beklenen değeri kendisine eşittir.

Özellikler

• $E[k]=k: k\in\mathbb{R}$
• $E[a\Chi+b]=aE[\Chi] + b: a,b\in\mathbb{R}$

İspat

$E[a\Chi+b]\,$	$=\int_{-\infty}^{\infty}(ax+b)f(x)dx$
	$=a \begin{matrix}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx} \\ E[\Chi] \end{matrix} + b \begin{matrix}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx} \\ 1 \end{matrix}$
	$=aE[\Chi] + b\,$

• $E[a\Chi + bY+c]=aE[\Chi]+bE[Y]+c: a,b,c\in\mathbb{R}$
• $E[\Chi Y]\neq E[\Chi]E[Y]$ (Eğer X ve Y ilişkisiz ise $E[\Chi Y]=E[\Chi]E[Y]$)