Laplace dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Laplace
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Laplace dağılımları için olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterimleri
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Laplace dağılımlari için yığmalı dağılım fonksiyonu gösterimleri
Parametreler \mu\, konum (reel)
b > 0\, ölçek (reel)
Destek x \in (-\infty; +\infty)\,
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) \frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}b \right) \,
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF) metine bakın
Ortalama \mu\,
Medyan \mu\,
Mod \mu\,
Varyans 2\,b^2
Çarpıklık 0\,
Fazladan basıklık 3\,
Entropi \log_2(2\,e\,b)
Moment üreten fonksiyon (mf) \frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\! for |t|<1/b\,
Karakteristik fonksiyon \frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Laplace dağılımı Pierre-Simon Laplace anısına isimlendirilmiş bir sürekli olasılık dağılımıdır. Arka arkaya birbiriyle yapıştırılmış şekilde ve bir de konum parametresi dahil edilerek birleştirilmiş iki üstel dağılımdan oluştuğu için, çift üstel dağılımı adı ile de anılmaktadır. İki bağımsız ve tıpatıp aynı şekilde üstel dağılım gösteren bir rassal değişken bir Laplace dağılımı ile işlev görürler. Bu, aynen üstel dağılım gösteren rassal zamanda değerlendirilen Brown devinimine benzer.

Karekteristikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Olasılık yoğunluk fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer bir rassal değişken şu olasılık yoğunluk fonksiyonu gösteriyorsa, o rassal değişken bir Laplace(μ,b) dağılımı gösterir:

f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right) \,\!
    = \frac{1}{2b}
    \left\{\begin{matrix}
      \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu
      \\[8pt]
      \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu
    \end{matrix}\right.

Burada, μ konum parametresi ve b > 0 ölçek parametresi olurlar. Eğer μ = 0 ve b = 1, pozitif yarı-doğru tıpatıp 1/2 oran ile ölçeklenmiş bir üstel dağılımdır.

Laplace dağılımı icin olasılık yoğunluk fonksiyonu bir normal dağılımı anımsatmaktadır. Fakat normal dağılım ortalama μdan farkın karesi terimleri ile ifade edilirken, buna karşılık Laplace dağılım yoğunluğu ortalamadan mutlak farklar terimleri ile ifade edilmektedirler. Sonuç olarak normal dağılıma nazaran Laplace dağılım daha şişkin kuyruklar gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

(Eğer iki simetrik hal görülüp ayırt edilirlerse), Laplace dağılımının integralinin alınması kolaydır. Çünkü bu işlem için mutlak değer fonksiyonu kullanılır. Böylece yığmalı dağılım fonksiyonu şöyle bulunur:

F(x)\, = \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u

   = \left\{\begin{matrix}
             &\frac12 \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu
             \\[8pt]
             1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu
            \end{matrix}\right.
=0.5\,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-|x-\mu|/b))].

Ters yığmalı dağılım fonksiyonu şöyle verilir:

F^{-1}(p) = \mu - b\,\sgn(p-0.5)\,\ln(1 - 2|p-0.5|).

Laplace değişebilirlerinin üretilmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir rassal değişken olan Unun (-1/2, 1/2] aralığında bulunan tekdüze dağılımdan çekilmiş olduğu bilinirse, şu değişebilir

X=\mu - b\,\sgn(U)\,\ln(1 - 2|U|)

μ ve b parametreleri olan bir Laplace dağılımı gösterir. Bu sonuç yukarıda verilen ters yığmalı dağılım fonksiyonundan hemen çıkartılır.

Bir Laplace(0,b) değişebiliri Üstel(1/b) dağılım gösteren iki bağımsız ve aynen dağılım gösteren rassal değişken arasındaki fark olarak üretilebilir. Buna eşit olan bir şekilde, bir Laplace(0,1) değişebiliri, tekdüze dağılım gösteren iki bağımsız ve aynen dağılım gösteren rassal değişkenlerin oranının logaritması olarak üretilebilir.

Parametre kestirimi[değiştir | kaynağı değiştir]

N sayıda bağımsız ve aynı şekilde dağılım gösteren örneklemler x1, x2, ..., xN olarak verilsin, \muun kestirimcisi (yani \hat{\mu}) olarak örneklem medyanı alınsın[1], o halde b parametresinin kestirimcisi şu olur:

\hat{b} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} |x_i - \hat{\mu}|,

Bu bir maksimum olabilirlilik kestirimcisidir.

Momentler[değiştir | kaynağı değiştir]

\mu_r' = \bigg({\frac{1}{2}}\bigg) \sum_{k=0}^r \bigg[{\frac{r!}{k! (r-k)!}} b^k \mu^{(r-k)} k! \{1 + (-1)^k\}\bigg]

İlişkili dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eğer X \sim \mathrm{Ustel}(\lambda)\, ve X\,den bağımsız olan  Y \sim \mathrm{Bernoulli}(0.5)\, iseler, o halde

 X(2Y-1) \sim \mathrm{Laplace} (0,\lambda^{-1}) \, olur.

  • Eğer X_1 \sim \mathrm{Ustel}(\lambda_1)\, ve X_1dan bağımsız olan X_2 \sim \mathrm{Ustel}(\lambda_2)\, ise, o halde\lambda_1 X_1-\lambda_2 X_2 \sim \mathrm{Laplace}\left(0,1\right)\, olur .

İç kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynak[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Robert M.Norton,üstel dağılımı:değişkenler hesabı kullanarak bir maksimum olabilirlilik kestirimci bulunması The American Statistician, Cilt 38, No. 2. (May, 1984), say. 135-136